2023届贵州省六校联盟高三上学期11月高考实用性联考卷（二）数学（文）试题含解析

秘密★启用前

2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（二）

文科数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知i为虚数单位，若，则（    ）

A.1 B. C. D.2

3.“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度.在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子.而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若2023年6月星期一比星期四少一天，星期四和星期五一样多，则该月7日可能是星期（    ）

A.日 B.一 C.二 D.三

4.已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（    ）

A.必要不充分条件  B.充分不必要条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

5.已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

6.函数在上的图象大致为（    ）

A. B. C. D.

7.如图甲是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆，然后恢复直立状态，将图甲的模型抽象成一个圆锥和半球的组合体，如图乙，已知不倒翁在一定角度范围内“不倒”，那么模型中半球的质量应不小于圆锥质量，若半球的密度是圆锥的2倍，则圆锥的高与底面半径之比至多为（    ）

A.4 B.2 C.1 D.

8.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9.设函数，则下列说法正确的是（    ）

A.若把的图象向右平移个单位长度，所得函数图象与图象重合

B.的图象关于直线对称

C.的最大值为1

D.是奇函数但不是周期函数

10.在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（    ）

A. B.6 C. D.4

11.如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，，……，则第8行第4个数（从左往右数）为（    ）

A. B. C. D.

12.已知双曲线与抛物线有公共焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若点满足，双曲线的离心率为，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量，且，则______.

14.已知实数，满足若，则的最小值为______.

15.如图甲所示，在矩形中，，，，分别为，的中点.将四边形沿折起，使得的大小为120°，如图乙所示，现将一体积为的小球放入几何体中（假设该几何体封闭），则取得最大值时小球的半径为______.

16.若曲线的图象总在曲线的图象上方，则的取值范围是______.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；

（2）先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.

18.（本小题满分12分）

已知数列，满足，.

（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项积.

19.（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.

（1）试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；

（2）求点到平面的距离.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，.若的周长为6，面积为.

（1）求曲线的方程；

（2）设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设射线和射线分别与曲线交于，两点，求面积的最大值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知对应的三边分别为，，.

（1）若，，是正实数，求证：，当时，等号成立；

（2）求证：.

2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（二）

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1.∵，2，4，∴，4，8，∴，∴，故选C.

2.∵，∴，，∴，故选B.

3.根据题意可列出符合要求时间表：

故选D.

4.，即，∴曲线是圆

，∴“”是“”的必要不充分条件，故选A.

5.，∴，，，故选D.

6.∵，∴，∴为奇函数，排除A，B，又∵，排除C，故选D.

7.设圆锥的高为，底面半径为，圆锥密度为，则圆锥的质量为，半球的质量为，由题意有，∴，所以圆锥的高与底面半径之比至多为4，故选A.

8.∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，故选B.

9.选项A：对，，选项A不正确；选项B：对，，选项B不正确；选项C：，令，，则，，令，当，，，，当，，，，所以最大值为1，选项C正确；选项D：对，

，故是奇函数，而

，故是周期函数，选项D不正确，故选C.

10.∵，∴，

∴，∴，∵，∴，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴

，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为，故选C.

11.设第行第个数为，，，，，故，，，，，，故选A.

12.如图，因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又，则，易得，设点，则，解得；则由等面积可知：，解得，则，则，，又点在渐近线上，即，即，又，所以，化简得，故，故选A.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13.∵，∴，∴.

14.由图可知，在点处取到最小值，.

15.折叠后的几何体为直三棱柱，当小球与上下底面都相切时，此时小球半径为，则，.当小球与三棱柱侧面都相切时，即此时为的内切圆.设此时小球半径为，

，，解得，要使小球能放入几何体中，则.

16.∵的图象与关于直线对称，即问题转化为曲线总在直线下方，当直线与曲线相切时，设切点，则切线斜率，又，∴，解得，要满足题意，.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解：（1）由已知，∴，……（2分）

记平均成绩为，.……（5分）

（2）先用分层抽样的方法从分数在和的同学中抽取5名同学，

则应从中抽取1人，记为，中抽取4人，记为，，，.……（8分）

从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：

，，，，，，，，，，

又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：

，，，，，共6种.……（10分）

故所求概率.……（12分）

18.（本小题满分12分）

（1）证明：，两边取对数，

，∴，

∴数列是等比数列，公比，首项，……（4分）

∴，，. ……（6分）

（2）解：由（1）可得，∴，

∵，∴，.……（12分）

19.（本小题满分12分）

解：（1）只需要在平面内过点作的平行线，即可使满足题意.

证明：

又∵，∴，得证.……（5分）

（2）连接交于，连接，由题意易知，，

在中，，

同理：在中，，

∴为等腰三角形，即，又，

∴，在中，，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴点到平面的距离转化为点到平面的距离为，

设点到平面的距离为.∴，

∴，……（8分）

又∵，

∴在中，，

同理，∴，……（10分）

所以，点到平面的距离.……（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（1）由题意可知

从而，椭圆的方程为：.……（4分）

（2）设，，，设（，且），

所以，，

于是，，，，

从而①，②，

又点，在椭圆上，即，③，，④，

由并结合③④可得，即点总在定直线上.……（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（1）函数的定义域为，，……（1分）

令得，，

①当时，若，则；若，则，故在，上单调递增，在上单调递减；……（3分）

②当时，若，则；若，则，故在上单调递增，在，上单调递减.……（5分）

（2）（ⅰ）由（1）知，

当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减，

因为，，所以当，

即当时，在区间和内各有一个零点，……（7分）

令，则，

所以当时，，即在上单调递增，

故恒成立，即在上恒成立.

从而当时，由可得，

取，则当时，，

所以，由零点存在定理知在存在唯一零点，

因此，当时，有且仅有3个零点.……（9分）

（ⅱ）当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减.

，，所以当，

即时，在区间和内各有一个零点，

当且时，，同理可得，

由零点存在定理知在上存在唯一零点，……（11分）

综上所述，当时，函数存在3个不同零点.……（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

解：（1）易知曲线的普通方程：，……（2分）

因为，，

所以曲线的极坐标方程为：.……（5分）

（2）由题意及（1）知，

，

∴，

因为，所以.

从而的面积最大值是.……（10分）

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

证明：（1）由柯西不等式易知，

所以，当且仅当时，等号成立.……（5分）

（2）由（1）可得

，

当且仅当时取等号成立.……（10分）