2023届湖南师大附中第三次月考试题

湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C. 或 D.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D. 大小无法确定

3. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ）

A.  B. 4 C. 3 D. 2

5. 已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，其中e为自然对数的底数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分：

9. 给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A. 若，则是钝角

B. 若，则，A，，一定共面

C. 过点且在轴截距相等的直线方程为

D. 直线的倾斜角的取值范围是

10. 已知奇函数的周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，可得到函数的图像，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数

B. 函数在区间上单调递增

C. 函数的图像关于直线对称

D. 当时，函数的最大值是

11. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（    ）

A. 存在点，使得

B. 线段长度取值范围是

C. 当点与点重合时，四棱锥的体积为

D. 设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为

12. 数列满足，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若且，数列单调递减

B. 若存在无数个自然数，使得，则

C. 当或时，的最小值不存在

D. 当时，

三､填空题：本题共4小题，母小题5分，共20分.

13. 已知，则是的_____条件．（在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

14. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．

15. 已知点O是△ABC外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．

16. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.

四､解答题：本题共6小题，共70分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．

18. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，D为边BC上一点，若．

（1）证明：

①AD平分∠BAC，

②；

（2）若，求的最大值．

19. 汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到7下面的统计表：

（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．

①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，老吉将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．

附： 回归方程，，．

20. 如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.

（1）若点为棱中点，证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.

21. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

22. 已知函数．

（1）当时，，求实数m的取值范围；

（2）若，使得，求证：．