2022-2023学年九年级数学上学期期末考前必刷卷02

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末考前必刷卷02，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年九年级数学上学期期末考前必刷卷02
（考试范围：九年级全册 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题(共12分)
1．(本题2分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（    ）

A． B． C． D．
2．(本题2分)抛物线（a、b为常数，且）上有两点，．若，则下列结论正确的是（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．(本题2分)如图，，点D在边上（与B、C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．(本题2分)2011年春季因干旱影响，政府鼓励居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
4
5
6
8
9
户数
4
5
7
3
1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法错误的是（     ）A．中位数是6吨 B．平均数是5.8吨
C．众数是6吨 D．极差是4吨
5．(本题2分)如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
6．(本题2分)如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中说法正确的是（    ）

A．①③④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．①③⑤
二、填空题(共20分)
7．(本题2分)已知：，若，求___________．
8．(本题2分)如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 _____cm．

9．(本题2分)一元二次方程的两根为和，则_____．
10．(本题2分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，把△ABC分别绕直线AC，AB旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S2-S1|=_______（平方单位）．

11．(本题2分)如图所示，抛物线的顶点为点，与y轴交于点．若平移该抛物线使其顶点P由移动到，此时抛物线与y轴交于点，则的长度为 _____．

12．(本题2分)一辆汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是，则汽车刹车后最远可以行驶_______m．
13．(本题2分)如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是___________．

14．(本题2分)Rt△ABC中，，，AB=，则AC= ____________ ．
15．(本题2分)如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且．若半圆的直径为13，，则的长为______．

16．(本题2分)如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H．若=，则的值________．

三、解答题(共88分)
17．(本题6分)计算及解方程：
(1)
(2)．

18．(本题6分)2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1

根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数．

19．(本题8分)四张卡片上分别标有1，2，3，4它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
(1)请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
(2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．(本题8分)在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．
(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B，求AP的长；

(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且．

①试说明PO＝DB，
②求扇形AOB的面积．（结果保留）
21．(本题8分)如图①，某儿童医院门诊大厅收费处正上方的“蜘蛛侠”雕塑有效缓解了就医小朋友的紧张情绪．为了测量图②中“蜘蛛侠”BE的长度，小莉在地面上F处测得B处、E处的仰角分别为37°、56.31°．已知，F到收费处OA的水平距离FC约为16 m，且F与BE确定的平面与地面垂直．求“蜘蛛侠”BE的长度．（参考数据：，，，）








22．(本题8分)如图，是一块三角形的铁皮，长为，边上的高长为，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边在上，其余两个顶点E，H分别在上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．

23．(本题8分)杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度．

24．(本题8分)一商店销售某种商品， 平均每天可售出20件， 每件盈利40元． 为了扩大销售、 增加盈利， 该店采取了降价措施， 在每件盈利不少于25元的前提下， 经过一段时间销售， 发现销售单价每降低1元， 平均每天可多售出2件．
(1)若销售单价降低5元， 那么平均每天销售数量为多少件？
(2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价多少元？
(3)当每件商品降价多少元时， 商店可获得最大利润？ 最大利润为多少元？
25．(本题8分)已知二次函数．
(1)当时，此函数图象与轴有一个交点在轴左侧，求的取值范围；
(2)当时，若存在实数，使得当时，成立，求c的最大值；
(3)，时，此时函数在的最大值为0，最小值为，求和的值．


26．(本题10分)如图①，在正方形中，点E与点F分别在线段上，且四边形是正方形．

(1)求证：，．
(2)如图②若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形时．
①若，，过点E作，分别交于点N，M．求：的值；
②在第①条件下，当为等腰三角形时，求的长．

27．(本题10分)【数学概念】
若等边三角形的三个顶点D、E、F分别在△ABC的三条边上，我们称等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．
【概念辨析】
（1）下列图中△DEF均为等边三角形，则满足△DEF是△ABC的内接正三角形的是 ．
A．　　　　B．
C．
【操作验证】
（2）如图①．在△ABC中，∠B＝60°，D为边AB上一定点（BC＞BD），DE＝DB，EM平分∠DEC，交边AC于点M，△DME的外接圆与边BC的另一个交点为N．
求证：△DMN是△ABC的内接正三角形．

【知识应用】
（3）如图②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是边AB上的动点，若边BC上存在一点E，使得以DE为边的等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．设△DEF的外接圆⊙O与边BC的另一个交点为K，则DK的最大值为 ，最小值为 ．


答案与解析
1
2
3
4
5
6
A
C
D
D
C
A
1.A
【分析】将求sinB的值转化为求sin∠ACD的值，然后根据角的正弦值与三角形边的关系，求角的正弦值．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠B＝∠ACD．
∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．
故选：A．
【点睛】本题利用了锐角三角函数的概念和在直角三角形中，同角的余角相等而求解．
2．C
【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．
【详解】抛物线的对称轴是y轴，当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
由题意知，在其图象上有两点，，若，则，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．
3．D
【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
①正确；
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
，
∴②正确；

∵，
∴，
∴③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴④正确；
∴正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据平均数、中位数、众数和极差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A、20个数据的中位数是第10、11个，都是6，
则中位数=（6+6）÷2=6(吨)，故该选项正确，不符合题意；
B、平均数=（4×4+5×5+6×7+8×3+9×1）÷20=5.8(吨)，故该选项正确，不符合题意；
C、数据6出现7次，次数最多，所以6是众数，故该选项正确，不符合题意；
D、极差为9-4=5(吨)，故该选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
5．C
【分析】先根据圆周角定理求出 ，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】∵
∴
∵四边形 内接于
∴
∴
则
故选：C．
【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

6．A
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出,则得到，于是可对③进行判断；通过点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，由代入则可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线经过点 ，
∴时，，
∴，所以②错误；
∵对称轴为直线，且经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴，
∴,
∴，所以③正确；
∵点离对称轴要比点离对称轴要远，
∴，所以④正确．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，有最大值，
∴（其中），
∴（其中），
∵
∴，所以⑤正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．
【分析】根据比例的性质得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值，掌握比例的性质是解题的关键．
8．##
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm．
故答案为：（5﹣5）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
9．2046
【分析】据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出再整体代入即可求出结论．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为和，

故答案为：2046．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到．
10．
【分析】根据题意可得把△ABC绕直线AC旋转一周得到的是圆锥，绕AB旋转一周得到的是两个圆锥拼接而成的，然后根据圆锥的表面积计算公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴，
把△ABC绕直线AC旋转一周得到的是圆锥，则有：
以BC为半径的圆的周长为：，底面积为：，
圆锥的侧面积为，
∴；
把△ABC绕直线AB旋转一周得到的是两个圆锥拼接而成的，则有：
∴所得圆锥底面积的半径为：，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆锥的表面积及勾股定理，熟练掌握圆锥表面积计算公式及勾股定理是解题的关键．
11．
【分析】先求出平移前抛物线解析式，进而根据平移规律求出平移后的抛物线解析式，求出点即可得到答案．
【详解】解：设平移前抛物线解析式为，
代入得，
∴，
∴平移前抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与y轴的交点坐标，求二次函数解析式，正确求出平移后的二次函数解析式是解题的关键．
12．
【分析】把二次函数化成顶点式，求最值即可．
【详解】解：，
汽车刹车后到停下来前进了，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
13．4
【分析】易证，可得：，再由两平行线间的距离相等，即可得出，结合，即可得出，可求解的长．
【详解】解：如图所示：过作于，交于,

∵的面积是，,
∴,
∴，
∴，
正方形内接于，
，设，
，，
，
∴
，
∴,
∵，
∴,
，
又∵，，
，，
∴
∵，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明是解题的关键．
14．
【答案】1
【分析】根据的余弦进行计算即可．
【详解】解：Rt△ABC中，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握特殊角得三角函数值是解题的关键．

15．##
【分析】先连结，根据判定，再根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得和的长，再根据面积法即可求得的长．
【详解】连结，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即为等腰三角形，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理的推论等知识，掌握圆周角定理的推论是解答本题的关键．
16．
【分析】先利用已知条件证明BCECDG，然后连接EH．根据，求出DE即可解决问题．
【详解】解：连接EH．

∵BFE是由BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
在BCE和CDG中，
，
∴（AAS）；
∴CE=DG，
由折叠可知BC=BF，CE=FE，
∴∠BCF=∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，BC=CD，
∴∠BCG=∠HGF，
∵∠BFC=∠HFG，
∴∠HFG=∠HGF，
∴HF=HG，
∵，
设CE=2x，则BC=CD=3x，FE=CE=2x，
∴DE=CD－CE=x，
设HF=HG=a，
∴DH=DG－HG=2x－a，
∴由折叠可知∠BFE=∠BCE=90°，
∴∠EFH=90°，
∴，
∴，
∴x=4a或0（舍弃），
∴DH=2x－a=7a，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
17．【答案】(1)；
(2)，．

【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及去绝对值，然后计算加减法；
（2）利用公式法求解即可．
（1）
解：


；
（2）
解：∵a=3，b=-2，c=-2，
∴＞0，
则，
即，．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，解一元二次方程等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练地运用公式法是解（2）的关键．

18．(1)40，96，92.5
(2)九年级成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数为980人

【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1），
故；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的第10、11个数分别为92、93，故中位数；
故答案为：40，96，92.5；
（2）九年级的成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级。
（3）（人），
答：估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数为980人．
【点睛】本题考查统计图的应用、方差、众数、中位数以及平均数等知识，掌握方差、众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
19．(1)；
(2)游戏不公平．理由见解析

【分析】（1）利用树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5占4种，利用概率的概念即可求得抽到的数字之和为5的概率；
（1）利用树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽到的数字都是奇数的占2种，一奇一偶的占8种，利用概率的概念即可求解．
【详解】（1）解：列举所有等可能的结果，画树状图：

共有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5的占4种，
∴P（抽到的数字之和为5）；
（2）解：游戏不公平．理由如下，
列举所有等可能的结果，画树状图：

共有12种等可能的结果，其中抽到的数字都是奇数的占2种，一奇一偶的占8种，
∴P（抽到的数字都是奇数）；
P（抽到的数字是一奇一偶的）；
，
∴游戏不公平．
【点睛】本题考查了利用树状图求概率的方法：先利用树状图展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占的结果数m，则这个事件的概率．
20．(1)
(2)①见解析；②

【分析】（1）利用折叠的性质和解直角三角形求得OP的长即可；
（2）①连接OD，利用平行线的性质和折叠的性质分别证得，即可；
②只要求得即可求解
(1)
连接交于点，由折叠可知，BP垂直平分，，，．

∵与圆相切，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中， ，
∴．
∴．
(2)
①连接OD，
∵点D为的中点，

∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，同理可得：，所．
②在①的基础上，可证得．
所以．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦之间的关系，弧长公式，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
21．m
【分析】过点E作EG⊥CF于点G，EH⊥AC于点H，在Rt△BCF中，由tan∠BFC=tan37°=可得BC的长．设BH=EH=CG=x m，在Rt△EFG中，由tan∠EFG=tan56.31°=可得x的值，进而在Rt△BEH中由sin∠HBE=sin45°=，即可求得答案．
【详解】解：过点E作EG⊥CF于点G，EH⊥AC于点H，

在Rt△BCF中，∠BFC=37°，CF=16m，
tan∠BFC=tan37°=，
∴BC=12．
∵∠ABE=45°，
∴BH=EH，
设BH=EH=CG=x m，
在Rt△EFG中，EG=HC=（12+x）m，FG=（16-x）m，∠EFG=56.31°，
tan∠EFG=tan56.31°=，
解得x=4.8，
经检验，x=4.8为原方程的解，且符合题意，
∴BH=4.8m，
在Rt△BEH中，sin∠HBE=sin45°=，
解得BE=．
则“蜘蛛侠”BE的长度为m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

22．长为，宽为
【分析】设矩形的长为，的高为h，再判定，进而利用相似三角形的性质可得，代入数据可得，表示出的面积，再根据矩形的面积是三角形面积的一半可得，解方程即可．
【详解】解：设矩形的长为，的高为h，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即：，
，
∴矩形宽为，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴这个矩形的长为，宽为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和解一元二次方程，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
23．雷峰塔的高度为米
【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明，利用相似比得到②，由①②得，解得的长，据此求解即可求出的长．
【详解】解：根据题意得米，米，米，米，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
由①②得，解得（米），
把代入①得，解得（米），
答：雷峰塔的高度为米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
24．(1)平均每天销售数量为30件
(2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价10元
(3)当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元

【分析】（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，利用总利润=每件盈利×平均每天的销售量，即可得到关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合题意，即可得出结论；
（3）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据总利润=每件盈利×平均每天的销售量，列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【详解】（1）解：根据题意可得：
(件)
答：平均每天销售数量为30件；
（2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据题意得：

∴，
∵
∴
∴
答：若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价10元；
（3）解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：

∵，
∴当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和一元二次方程的应用，找出相等关系，根据题意正确列出二次函数的解析式和一元二次方程是解本题的关键．
25．(1)
(2)
(3)，或2

【分析】（1）把代入可得，然后令，可得，再根据有一个交点在y轴左侧，可得 ，即可求解；
（2）根据题意可得当y取1时，c有最大值，从而得到，即可求解；
（3）把，代入解析式可得此时二次函数图象的对称轴为直线，然后分三种情况，结合二次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
令，则，
解得：，
有一个交点在y轴左侧，
，
；
（2），
函数表达式为，
存在实数 ，使时，，
当y取1时，c有最大值，
，
，
当 时，c的值最大，最大值为；
故答案为： ．
（3）解：，，
，
∴此时二次函数图象的对称轴为直线，
∵函数在的最大值为0，最小值为，
当时，当时，函数值最小，此时，
解得：或（舍去），
当时，，
若，即，则时，函数值最大，
∴，
解得：（舍去）或2；
若，即，则时，函数值最大，
∴，
解得：（舍去）或0；
当时，时有最小值，时，函数值最大，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，时有最大值，时，函数值最小，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述，，或2．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
26．(1)证明见解析
(2)①；②或或

【分析】（1）如图1，根据证明，可得，及，则，所以；
（2）①如图所示，连接交于点O，连接，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质得：进而根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，则再证明，得即可得到答案；②先根据，设，分三种情况：（i）当时，如图3，根据等腰三角形三线合一的性质和中位线定理可得x的值，从而计算的长；（ii）当时，如图4，证明，列比例式可得的长，从而根据，求得x的值，同理可得的长；（iii）当时，如图5，根据，可得x的值，同理可得的长．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴ 即．
（2）解：① 如图所示，连接交于点O，连接，  
∵四边形是矩形，
∴
在中，（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴

∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
同（1）可证
∴，
∴ 即；
②∵
∴
∴设
分三种情况：
（i）当时，如图3，过E作于H，则，

∴
∵，
∴，
∴
由勾股定理得：  
∴，
即，
∴；
（ii）当时，如图4，过D作于H，

∴ ，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（iii）当时，如图5，

∴
∴
∴
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等等，掌握相关的性质定理，并采用分类讨论的思想是解题的关键．
27．（1）C；（2）证明见解析；（3）2，．
【分析】（1）由概念即可得；
（2）由等弧所对的圆周角相等和角平分线定理即可证得；
（3）
【详解】（1）由概念即可得答案为：C;
（2）∵DE=DB，∠B=60°
     ∴∠DEB=∠B=60°
     ∴∠DMN=∠DEB=60°
     ∴∠DEC=180°-∠DEB=120°
     ∵EM平分∠DEC
     ∴∠DEM= ∠DEC=60°
     ∴∠DNM=∠DEM=60°
     ∴∠NDM=180°-∠DMN-∠DNM=60°
     ∴∠NDM=∠DMN=∠DNM=60°
     ∴△DMN是正三角形
∵由概念得△DMN是△ABC的内接三角形
∴△DMN是△ABC的内接正三角形.
（3）2 ；
思路：①最大值
如图，当 K 与C 重合时， DK 最大，而△ BDK 是等边三角
形，所以 DK = BK = BC = 2

②最小值
如右图，设 DK=BD=BK=x ，则CK=2- x .

由手拉手模型：△ BDK 和△ DEF 都是等边三角形，且共点 D.易证△ BDE @ △ KDF .
∴ BE= KF
∵∠DKF=∠BDK= 60°，o∴ KF / / AB
∴
即
下面在图中求AB，

AB=,


∵BE≤BC=2，


【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题，解题关键是利用等弧所对的圆周角相等.