2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（面积问题）

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（面积问题）

1．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．

(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；

(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，

①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．

2．如图，矩形中，为等边三角形．点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接．

(1)求证：；

(2)当三条线段的和最小时，求的长；

(3)若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动．E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒．

①求t为何值时，与相似；

②求的面积S的最小值．

3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．

（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且∠BAD＝30°，AD＝　 　；

（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADC＝45°，求证：BD＝AD；

（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接出△PAB面积的最大值 　 　．

4．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，AD＝AE，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF．

（1）请判断△CEF的形状，并说明理由；

（2）将（1）中△ADE绕点A旋转，连接CE，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）若AB＝6，AD＝4，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点B，E，D三点共线时，请直接写出△CEF的面积．

5．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；

(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．

6．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．

(1)如图1，求证：；

(2)当，时，求的面积；

(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

7．如图1，在中，，点D是边上的一点，且，过点D做边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________；

(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；

(3)【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．

8．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；

(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；

(3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．

9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．

(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=　    （用含a的代数式表示）；

(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当       时，△CAD的面积最大，最大面积是     ．

10．如图，在中，，，点D是外一动点，连接，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到，连接，，与交于点F，且．

（1）如图1，若，求的长；

（2）如图2，若点H、G分别为线段、的中点，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，若，将绕点F顺时针旋转角，得到，连接，取中点Q，连接，当线段最小时，请直接写出的面积．

11．如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P.

（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．

（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转，

①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；

②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．

12．直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△．

(1)如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；

(2)在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE．

①当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；

②当时，求AD的长．

13．在中中．，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．

(1)如图1，点E在点B的左侧运动；

①当，时，则_________°；

②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．

(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．

(3)点E在射线CB上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．

14．（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　；

（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；

（3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长．

15．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．

(1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE统看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由；

(2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由；

(3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积．

16．如图，在等腰和等腰中，．

(1)观察猜想：如图1，点在上，线段与的关系是_________；

(2)探究证明：把绕直角顶点旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)拓展延伸：把绕点在平面内转动一周，若，，、交于点时，连接，直接写出最大面积_________．

17．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．

18．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是        ，∠MNP的大小为        ；

(2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值．

参考答案：

1．(1)∠ADF=45°，AD=DF；

(2)①成立，②1≤S△ADF≤4.

2． (2)

(3)①；②

3．（1）；（3）

4．（1） △CEF是等腰直角三角形，；（2）成立；（3）或．

5．(1)，

(2)是等腰直角三角形，

(3)

6． (2)6

(3)

7．(1)，；

(2)无变化

(3)或．

8．(1)S△DEF＋S△CEF＝S△ABC

(2)上述结论S△DEF＋S△CEF＝S△ABC成立

(3)S△DEF－S△CEF＝S△ABC

9．(1)

(2)AE=BE+CF；

(3)CD⊥AC；2

10．（1）；（3）．

11．（1）BE=AD，BE与AD互相垂直，证明详见解析；（2）①AP=；②最小47，最大72

12．(1)＝；

(2)① （0﹤﹤2）；②AD=1或．

13．(1)①30；②AC+CF=CE；

(2)CA-CF=CE；

(3)当点E在点B左侧运动时，y=；当点E在点B右侧运动时，y=．

14．（1）；（2），见解析；（3）

15．(1)全等；

(2)；

(3)

16．(1)，；

(2)结论仍成立，

(3)．

17．(1)PM=PN，PM⊥PN．

(2)△PMN是等腰直角三角形．

(3)S△PMN最大=

18．(1)MN＝NP，∠MNP＝60°；

(2)△MNP是等边三角形，

(3)△MNP面积的最大值是32．