2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（线段问题）

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（线段问题）

1．在中，，，点为外一点，连接，连接交于点，且满足．

(1)如图1，若，，求的长．

(2)如图2，点为线段上一点，连接、，过点作交的延长线于点，若，，求证：；

(3)如图3，点为线段上一点，，点是直线上的一个动点，连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，点是线段上的一个动点，连接、，若，，请直接写出的最小值．

2．如图①，在中，．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

(1)①当时，　   　；②当时，　   　．

(2)试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．

(3)当旋转到A，D，E三点共线时，直接写出线段的长．

3．已知三角形绕点A旋转得到．

(1)如图，，，，若，，求的长．

(2)如图，连接，，若且，若点是线段的中点，连接，，求证．

(3)如图，三角形绕点A旋转得到，若，，，和所在的直线交于点，直接写出的最大值．

4．[操作]如图1．是等腰直角三角形，，D是其内部的一点，连接．将绕点（顺时针旋转90°得到，连接，作直线交于点F．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)[探究]如图2，连接图1中的，分别取的中点M、N、P，作．若，则的周长为　　　　

5．如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变）

(1)如图①，若，求证：；

(2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

(3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由．

6．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题

问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角α=       时，△AMC是等腰三角形；

(2)深入探究：

敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；

(3)再探究：

在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；

(4)拓展延伸：

在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

7．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD

(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．

8．如图，己知，，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．

(1)如图1，当，，三点在同一直线上时，

①求证：；

②判断与的数量关系为______，请说明你的理由；

(2)将图1中绕点逆时针旋转一周，旋转过程中能否为等腰直角三角形？若能，请直接写出中边BC绕点B逆时针旋转的角度；若不能，请说明理由．

9．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，．

【问题提出】

(1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______；

【尝试解决】

(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；

【类比应用】

(3)如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．

10．如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E是BC的中点，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边ADFE．

(1)四边形ADFE是 　   　形；

(2)如图2，将图（1）中的△DCF绕点D旋转至△DMA，连接ME，求线段ME的长；

(3)如图3，在上述四边形ADFE中，连接DE，点M是射线EF上一动点，将△DMF绕着点D旋转至△DNA，P、O分别是DE，DN的中点，连接QP，求QP的最小值．

11．如图①，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．

(1)【问题发现】如图②，当时，与的数量关系为__________，与的数量关系为________．

(2)【类比探究】如图③，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；

(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长．

12．用矩形ABCD作如下探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形，连接BD．

(1)【探究1】如图1，当时，点恰好在DB延长线上．若，求BC的长．

(2)【探究2】如图2，连接，过点作交BD于点M．线段与DM相等吗？请说明理由．

(3)【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交，于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

13．如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．

(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．

(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；

(3)如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若，求GC的长．

14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线BC上一点，作直线AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，连接CE．

(1)当点D在如图1的位置时，请直接写出线段EA、EB、EC之间的数量关系；

(2)当点D在如图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；

(3)当点E是线段AD中点时，请直接写出tan∠ADC的值．

15．在与中，连接，点、分别为和的中点，与所在直线交于点．

(1)【观察猜想】

如图①，若，，，与的数量关系是________， ________；

(2)【类比探究】

如图②，若，，，请写出与的数量关系与的度数，并就图②的情形说明理由；

(3)【解决问题】

如图③，，，，将绕点进行旋转，当点落在的边所在直线上时，请直接写出的长．

16．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P，Q是分别在射线CA，CB上，AP＝BQ．将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到PE．

(1)如图1，点P在线段AC上，若点E在BC上，P，Q在直线AB异侧，求EC的长．

(2)如图2，点Q在线段BC上，若tan∠PQB＝，求ED的长．

(3)以D，P，E为顶点的三角形能否是直角三角形？若能，求出线段BQ的长；若不能，请说明理由．

17．已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．

(1)如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120°得到线段DF，连接BF．

①依题意补全图1；

②此时EM与BF的数量关系为：　   　，∠DBF＝　   　°．

(2)如图2，若DM＝2MC，在边AB上有一点N，使得∠NDM＝120°．直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．

18．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．

猜想证明：

(1)四边形BE'FE的形状是______；

(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；

(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长．

参考答案：

1．(1)

(3)

2．(1)；

(2)无变化

(3)的长为13或

3．(1)

(3)

4． (2)；

(3)．

5． (2)成立，

(3)不成立，，

6．(1)60°或15°

(3)

(4)能，∠α=30°或60°

7．(1)AD＝2PD

(2)成立，

(3)

8．(1)①答案见解析；②AC=CN，

(2)△CAN 能为等腰直角三角形，旋转的角度是60°或240°

9．(1)等边三角形

(2)

(3)

10．(1)菱形

(2)

(3)

11．(1)，

(2)变化，，

(3)或

12．(1)

(2)相等，

(3)，

13．(1)BF=DE，BF⊥DE；

(2)CF的最大值为，最小值为

(3)

14．(1)

(2)不成立，

(3)或

15．(1)2MN=BD，60；

(2)2MN= BD， ∠BPM =90°；

(3)MN的长为，或．

16．(1)

(2)

(3)能，4

17．(1)②EM＝BF， 120°

(2)BN+ND＝CD，

18．(1)正方形

(2)CF＝FE'

(3)