2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题

1．如图，在中，，，点在边上，连接，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)______，______，的最小值是______；

(2)当时，求的长；

(3)连接，若的面积为，求的值．

2．如图①，在中，．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

(1)①当时，　   　；②当时，　   　．

(2)试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．

(3)当旋转到A，D，E三点共线时，直接写出线段的长．

3．已知三角形绕点A旋转得到．

(1)如图，，，，若，，求的长．

(2)如图，连接，，若且，若点是线段的中点，连接，，求证．

(3)如图，三角形绕点A旋转得到，若，，，和所在的直线交于点，直接写出的最大值．

4．已知和均为等腰直角三角形，其中，，，，连接，点F是的中点，连接、．

(1)如图，点E在线段上，且，，求线段的长；

(2)如图，连接，求证：；

(3)如图，，，将绕着点B逆时针旋转，将线段沿直线翻折得到线段，连接，当CF最大时，请直接写出的长度．

5．[操作]如图1．是等腰直角三角形，，D是其内部的一点，连接．将绕点（顺时针旋转90°得到，连接，作直线交于点F．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)[探究]如图2，连接图1中的，分别取的中点M、N、P，作．若，则的周长为　　　　

6．如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变）

(1)如图①，若，求证：；

(2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

(3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由．

7．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；

(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．

8．在△ABC中，，，点P在平面内不与点A，C重合，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图①，当，的值是       ，直线与直线相交所成的较小角的度数是         ．

(2)如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由．

(3)当时，若点E，F分别是中点，点P在直线上，请直接写出当C，P，D在同一直线上时，求的值．

9．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题

问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角α=       时，△AMC是等腰三角形；

(2)深入探究：

敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；

(3)再探究：

在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；

(4)拓展延伸：

在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

10．正方形和，连接，．

(1)发现：当正方形绕点旋转，

①与之间的数量关系是__________；

②与之间的位置关系是__________；

(2)探究：

①当正方形的边在上时，直接写出__________；

②当正方形绕点旋转时，是否为定值；如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请简要说明理由．

11．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD

(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．

12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．

(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；

(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）

13．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．

(1)若，求的长度；

(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；

(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．

14．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：

如图1-1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度数．

(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到，连接，得到等边．请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数；

(2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P．如图2，连接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，连接PA，PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，连接BQ，取BQ的中点M，连接AM，PM，试判断是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．

15．在中，，点D、E分别在AC、BC边上．

(1)如图1，若D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，则______；

(2)如图2，若D为AC边上任意一点，，则______；

(3)如图3，在图2的基础上将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，猜想的值，并证明你的结论；

(4)如图4，在（3）的条件下，当将旋转，使点E在线段AD上时，若，请直接写出BE的长，不必写出求解过程．

16．综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：．

李伟同学是这样解决的：

将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论．

(1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长；

(2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由．

17．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在边DG和DE上，连接AE，BG．

(1)猜想线段BG和AE的数量关系是 　   　；

(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，若BC＝DE＝8，当AE＝AG时，直接写出AF＝　   　．

18．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P．

(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：        、            ．

(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．

(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长．

(4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值．

参考答案：

1．(1)；；

(2)或

(3)或

2．(1)；

(2)无变化

(3)的长为13或

3．(1)

(3)

4．(1)8

(3)

5． (2)；

(3)．

6． (2)成立，

(3)不成立，，

7．(1)，

(2)是等腰直角三角形，

(3)

8．(1)1，

(2)，，

(3)或

9．(1)60°或15°

(3)

(4)能，∠α=30°或60°

10．(1)①；②

(2)①；②为定值，定值为

11．(1)AD＝2PD

(2)成立，

(3)

12． (2)∠DAE＝∠BAC，

(3)DE＝BD

13．(1)

(3)

14．(1)150°

(2)BP2=PC2+2AP2，

(3)是定值，

15．(1)

(2)

(3)，

(4)

16．(1)

17．(1)BG=AE

(2)结论成立，

(3)或

18．(1)AECD，AE＝2CD

(3)或

(4)4+2