2023届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题含解析

2023届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题

一、单选题

1．若集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知，，再根据题意求即可得答案.

【详解】解：函数的定义域为，故，

因为，

所以 ，即，

所以图中阴影部分表示的集合是

故选：B

2．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】C

【分析】由题可得，然后根据对数的定义及运算法则即得.

【详解】由题可得，

∴，，

∴.

故选：C.

3．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为．最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.

【详解】根据题意，最短拉索的锚，满足，，

且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，

则，即点，

同理，

又，即点，

所以，，

故选：C.

4．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ）

A． B． C．或 D．2或

【答案】C

【分析】根据已知条件利用余弦定理直接计算即可.

【详解】在中，，，，

由余弦定理得，

，即，

解得或，

故选：C

5．重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为，，，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率加法公式计算可得答案.

【详解】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以

有两家准点送到的概率为,

有三家准点送到的概率为，

则至少有两家准点送到的概率为.

故选：B.

6．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数为奇函数，求出在上的解析式，从而问题转化为：当时，解不等式：，解此不等式要借助导数来解决；当时，解不等式：．分段求解不等式即可得到答案．

【详解】∵为定义在上的奇函数

∴当时，

不等式等价于：

当时，解不等式：

令，

∴，在单调递减

∵

∴使得

∴在单调递增，在单调递减

∵

∴当时,的解集为，即的解集为；

当时，解不等式：

化简为，即，解得．

综上，不等式在的解集为．

故选：D．

7．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得.

【详解】解：求导有，

因为函数有唯一的极值点，

所以，有唯一正实数根，

因为，

所以在上无解，

所以，在上无解，

记，则有，

所以，当时，，在上递减，

当时，，在上递增．

此时时，有最小值，

所以， ，即，

所以，即的取值范围是

故选：A

8．若角，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，进而得，进而结合函数的单调性得，进而得，，再根据三角恒等变换得，最后根据求解即可.

【详解】解：令，

因为，所以，所以．

所以，，故，

所以，

因为函数单调递增，

所以的范围是，

因为，，

所以，即，解得，

所以，，

因为，，

所以，

所以，

所以，．

又因为，且，所以．

又因为，，所以，

所以．

所以，

所以．

故选：D

二、多选题

9．已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．函数的最大值为1 D．的正态曲线关于对称

【答案】AC

【分析】根据正态曲线的对称性逐一分析判断ABD即可，根据二次函数的性质即可判断C.

【详解】解：因为随机变量，

所以的正态曲线关于对称，故D错误；

，

所以，

又，

所以，故A正确，B错误；

，

当时，函数取得最大值1，故C正确.

故选：AC.

10．已知正数，满足，若存在正数，使得成立，则实数的可能取值是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】CD

【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】由题可知存在正数，使得成立，

所以，

因为正数，满足，

所以

，当且仅当时，取等号，

∴.

故选：CD.

11．已知函数，直线和点是的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上为单调函数 D．函数在区间上有23个零点

【答案】ABD

【分析】根据三角函数的性质结合条件可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.

【详解】由题可知的最小正周期为，

所以，

由，，，又，

所以，，

所以为偶函数，故A正确；

因为，为一个对称中心，故B正确；

当时，，所以函数区间上不单调，故C错误；

由，，可得，所以，，

即函数在区间上有23个零点，故D正确．

故选：ABD.

12．已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】将问题转化为有两个不同实数根，且，进而构造函数，利用导数研究函数性质可得，且，进而判断AB，再结合基本不等式可以判断C；将D选项转化为讨论，进而结合函数的单调性进一步转化为讨论是否成立，再令换元求解即可判断D.

【详解】解：因为函数有两个不同零点，且

所以有两个不同实数根，且，

令，

由于，故为偶函数，

，

当时，，在上单调递增，

所以，当时，在上单调递减，

所以，，

因为当趋近于时，也趋近于，

所以，有两个不同实数根，则，且，故A错误，B正确

因为，

所以，

由基本不等式：

所以，故C正确

对于D，由得等价于，

由在单调递增，，，

所以，等价于 ，

由于显然成立，

故只需考虑是否成立即可；

令，则

所以，令，

所以，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，当时取最小值，，故成立，

所以，D选项正确.

故选：BCD

三、填空题

13．某中学为了掌握学校员工身体状况，偶尔会采用抽检的方式来收集各部门员工的健康情况．为了让样本更具有代表性，学校对各部门采用分层抽样的方法进行抽检．已知该校部门、部门、部门分别有40、60、80人，各部门员工不存在交叉任职情况，若共抽检了90人，则部门抽检人数为______．

【答案】20

【分析】根据分层抽样的定义计算即可

【详解】由题意得从部门抽检人数为（人），

故答案为：20

14．若，且，则______．

【答案】

【分析】由题知，进而结合二倍角公式和正弦的和角公式化简求值即可.

【详解】解：因为，且，

所以，

所以

故答案为：

15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．

【答案】

【分析】根据题意得，进而联立直线与椭圆方程得，，进而令，则，再代入值计算即可得答案.

【详解】解：如图所示，由椭圆定义可得，，

设的面积为，的面积为，因为，

所以，，即，

设直线，则联立椭圆方程与直线，可得

，

所以，，

令，则，

当时，有.

故答案为：

16．已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】易得，分和两种情况讨论，当时，由恒成立，得，利用导数求出函数的最小值，分析即可得出答案.

【详解】解：显然，若，当时，有，

而，矛盾，∴，

令，则恒成立，即，

，

因为与在都是增函数，

所以函数在是增函数，

又，当时，，

所以存在使得，

在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

且，

，

∴，，

∴，

当且仅当，即时取等号，

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立的问题，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论思想及隐零点问题，有一定的难度.

四、解答题

17．设正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用，求得通项公式，利用的前项公式求得，进而求得.

（2）利用错位求和法求得数列的前项和.

【详解】(1)由题意知，①，可得②，

两式相减得：，整理得：，

即，因为，所以．

令可得：，解得，即，所以．

所以．

所以，，所以，又因为，所以，所以．

(2)令，前项和为，

则有：，

等式两边同乘以2有：，

两式相减得：，

整理化简得：．

18．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式化简函数得，然后由可求出函数的增区间，

（2）由三角函数图象变换规律求出，令，由求出的范围，再利用正弦函数的性质可求得结果.

【详解】(1)化简得：

令，，

解得，，

所以函数的增区间为．

(2)将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，得

，

再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得，

再将函数图象向上平移个单位，得到函数，

令，则的取值范围是，

则的取值范围是，

所以的取值范围是．

19．如图，在三棱锥中，底面是边长为6的等边三角形，且满足，，分别为，的中点，，平面．

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在内，由已知条件可证得，进而由平面，可证得面，从而可证得结论，

（2）由（1）可知即是二面角的平面角，则，则可求得，，在可求得结果.

【详解】(1)证明：因为，，

所以，，

因为，分别为，的中点，

所以∥，，

因为，所以，

在内，取中点，连接交于，

则，，

，则，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，

所以

所以；

又平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

(2)由（1）可知：即是二面角的平面角，所以

又，所以．

又是边长为6的等边三角形，

所以，则，．

由面可得，即是与平面所成的角

在中，

即与平面所成的角的正切值为．

20．重庆位于北半球亚热带内陆地区，其气候特征恰如几句俗谚：春早气温不稳定，夏长酷热多伏旱，秋凉绵绵阴雨天，冬暖少雪云雾多．尤其是10月份，昼夜温差很大，某数学兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了2021年10月某六天的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

其中：，，2，3，4，5，6，参考数据：，，．

(1)根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，且相关系数，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）；

(2)分析数据发现：第六日就诊人数，第一日就诊患者中有3个小孩，其他患者全是大人，现随机的从第一日所有就诊患者中选出2人，若2人中至少有一个小孩的概率为；

①求的值；

②若，求，，，的值（只写结果，不要求过程）．

（参考公式：，，）

【答案】(1)

(2)① ；②，，，

【分析】（1）先根据已知数据求出，，再由相关系数求出，从而可求出，进而可求出回归方程，

（2）①根据题意得，解方程可求出，②由，和，结合可求得结果.

【详解】(1)因为，

所以，

因为，，

所以，得，

因为，

所以，

因为

，，

所以，

所以，，

即线性回归方程

(2)①由题意可得：2人中至少有一个小孩的概率为，得：

所以或（舍）

②由（1）得，

因为，，

所以，得，

因为，

所以，

所以，

因为，，

所以，，，.

21．已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．

(1)求直线斜率的取值范围；

(2)设，，的面积分别是，，，求的范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，求出得到双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线斜率的取值范围；

（2）由直线与渐近线联立可求出两点的坐标，再求出到两条渐近线的距离，，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于的函数关系式，即可得到答案.

【详解】(1)因为双曲线的右焦点为，故，

由得，所以双曲线的方程为，，

设直线的方程为，联立双曲线方程得，

，解得，

即直线的斜率范围为；

(2)设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，

而，，

，

所以

由，

，

所以，，

∵，∴.

22．已知函数，

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设函数，，若对于曲线上的任意点，在曲线上仅存在唯一的点（异于点），使曲线在，处的切线的交点在轴上，求正整数的最小值．

（参考数据：，，，）

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，

(2)3

【分析】（1）先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，然后利用导数求出时，函数的单调区间，从而可求出函数的单调区间，

（2）由导数的几何意义结合已知可得，构造函数，然后通过对单调性的判断，得，令，利用导数求出其最值，从而可正整数的最小值.

【详解】(1)函数的定义域为，

因为

所以为偶函数

当时，，

所有，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，；

(2)由题意，令，

在点处的切线方程，即，

在点处的切线方程，即，

即

令，

因为为偶函数，由题可得：在单调，

当时，，

因为，当，，则，

所以对恒成立，即，

令，

①当时，，单调递增，

所以存在，使，且时，单调递减，时，单调递增

②当时，，，当时，单调递增

③当时，令，

所以当时，令单调递减，且，

所以存在，使，且时，，单调递增，且时，，单调递减，由，，所以

所以，所以，

所以，，易得：，单调递增，

即：，，而，

所以的最小正整数为3．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，第（2）问解题的关键是由题意结合导数的几何意义将问题转化为，然后构造函数，由其单调性再次转化为，再次构造函数，利用导数求出其最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.