2023届福建省福州第三中学高三上学期第四次质量检测数学试题含解析

2023届福建省福州第三中学高三上学期第四次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知命题，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出、中的不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得，解得，即，

由可得，即，

，所以，是的充分不必要条件，

故选：A.

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．

【详解】解：，，，即，所以

故选：B

3．的展开式中的系数是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】C

【分析】由二项式展开式的通项公式找出含的项，然后系数相加即可.

【详解】由知展开式中含有的项为：

和 ，

所以展开式中的系数为：4+8=12

故选：C．

4．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：

①与的夹角为；

②；

③；

④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.

其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.

【详解】对于①，因为八边形为正八边形，所以，

所以与的夹角为，①错误；

对于②，，显然不成立，②错误；

对于③，，所以，，所以，③正确；

对于④，，向量在向量上的投影向量为，④正确，

故选：B.

5．已知抛物线在点处的切线与双曲线:（，）的一条渐近线平行，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将抛物线标准方程化为，由导数的几何意义计算切线斜率，由平行得出双曲线的渐近线斜率（注意双曲线焦点位置），进一步计算可得双曲线的离心率.

【详解】抛物线即函数的图象，

则，

由导数的几何意义可知，抛物线在点处切线斜率，

∵该切线与双曲线:（，）的一条渐近线平行，

∴双曲线的渐近线的斜率，

∴双曲线的离心率.

故选：C.

6．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ）

A．72 B．108 C．216 D．432

【答案】C

【分析】先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分到三个检测点，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，由乘法原理计算可得．

【详解】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.

故选：C.

7．定义在R上的函数的值域为，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正余弦的关系可得，通过赋值法即可逐一求解.

【详解】由，所以，

因为，所以

令，则，，所以选项A错误；

又，取得，，

则，所以选项B错误；

取 得，

取得，

所以 ，所以，

所以选项C错误，选项D正确.

故选：D

8．在空间直角坐标系中，已知圆在平面内，．若的面积为，以为顶点，圆为底面的几何体的体积为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求的面积为，利用点到直线的距离和勾股定理求得高，然后求的面积，根据高为的坐标，利用公式求出体积.含有参数,求分母最小值，则整体最大值.

【详解】因为圆的方程，所以.故，到平面的投影为，过作垂线交与点,故是的高，，所以到直线的距离为，，故，所以.因为圆的底面半径为，所以圆底面积，又，所以. ，当时，取得最小值为，故 .

故选：B.

二、多选题

9．已知为等差数列，为其前项和，则下列结论一定成立的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】A.设等差数列的公差为，由，得到判断；B.由，得到为递增数列判断；C.由判断；D. 由，求得首项和公差判断.

【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，所以，则，故A正确；

因为，所以，所以为递增数列，但不一定成立，如，故B不正确；

因为，当且仅当时取等号，故C正确；

因为解得，则，得，故D正确.

故选：ACD

10．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）

A．在区间上有且仅有个不同的零点

B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.

【详解】解：由函数（），

令，，则，，

函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，

由，得，即，

则，，，，

即，

，C正确；

对于A，，，

，

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；

对于B，周期，由，则，

，

又，所以的最小正周期可能是，故B正确；

对于D，，，

又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；

故选：BC．

11．已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（    ）

A．的最小值为 B．最大值为45

C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为

【答案】ACD

【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值.

【详解】对于A, 的最小值为的最小值,

因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确；

对于B，设是圆的切线，切点为，则,

所以

因为，所以，

所以，所以，所以最大值为，

故B错误；

对于C，设，，

所以

，

当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确；

对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点,

取得最大值，

不妨设在第一象限，则点在第四象限，

设直线代入整理得，

所以，则，因为，所以.

所以，解得，所以，即,

此时

当与圆相切于点时，,

,

所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确.

故选:ACD.

12．已知定义域为R的奇函数满足：当时，；当时，．下列说法正确的有（    ）

A．的周期为2

B．当时，

C．若，，则

D．若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是

【答案】BD

【分析】根据所给条件求出函数在上的解析式，再根据奇偶性求出函数在上的解析式，即可判断A、B，根据等比数列求和公式求出，再求出其最大值，即可求出的取值范围，即可判断C，将方程的根问题转为与在上恰有三个交点，画出函数图象，利用导数的几何意义求出参数的取值范围，即可判断D；

【详解】解：因为当时，；当时，，

所以当时，

又是定义在上的奇函数，所以当时，故A错误，B正确；

因为

，

所以，因为在上单调递减，所以，

所以，故C错误；

因为方程在上恰有三个根，则与在上恰有三个交点，

因为直线恒过定点，所以，

其中为点和连线的斜率，所以；

为与曲线相切时的斜率，设切点为，则，

因为，所以，所以切线方程为，

将点代入可得，解得，

所以，所以，故D正确；

故选：BD

【点睛】关键点点睛：对于方程的根的个数通常转化为函数与函数的交点问题，数形结合法是解决这类问题较好的选择.

三、填空题

13．已知直线，，且，则这两条直线之间的距离为___________.

【答案】##

【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，再由两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】因为直线，，且，

则，解得：，

所以，即，

所以这两条直线之间的距离为，

故答案为：.

14．如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________.

【答案】399

【分析】方法一：设点到平面的距离为，根据的体积可得，再代入棱台的体积公式求解即可；

方法二：延长交于一点，设为，根据台体体积为锥体体积之差求解即可.

【详解】方法一：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，

得四棱锥的体积为，得.

所以棱台体积为.

方法二：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，

得四棱锥的体积为，得.

由棱台定义知，延长交于一点，设为，设棱锥的高为，

则棱锥的高为，由三角形相似可得，得，

于是棱台体积3）.

故答案为：399

15．若角的终边经过点，且，则实数___________.

【答案】

【分析】由题意可得角是第一象限的角，且，根据诱导公式可得，不妨取，代入中利用两角和的正切变形公式化简可求出的值

【详解】因为角的终边经过点，

所以

因为，，

所以角是第一象限的角，

所以，

不妨取，则，

所以

，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．

【详解】设，，，

，则，

，则，，

，则，，点在渐近线上，

所以，，

由得，所以，又，

所以，所以．

故答案为：．

四、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，.已知，且.

(1)证明：；

(2)若的外接圆半径为，求的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再根据完全平方公式计算可得；

（2）依题意可得，由正弦定理求出，分和两种情况讨论，当利用余弦定理求出、，再根据三角形面积公式计算可得；

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理可得，即，

所以，所以或，

所以或，

若，又，则，不满足，故舍去，

所以；

（2）解：因为且，所以，即，

又的外接圆半径，由正弦定理，即，

因为，所以或，

若又，由余弦定理，即，

解得或（舍去），所以，

所以

若又，由余弦定理，即，

解得或（舍去），所以，

所以

所以的面积为或.

18．如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F – AE – P的余弦值；

(3)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)直线AG不在平面AEF内，详见解析．

【分析】（1）由题可证PA⊥CD，从而可证CD⊥平面PAD；

（2）以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面AEF的法向量后可求二面角的余弦值；

（3）利用与平面的法向量是否垂直可得解.

【详解】（1）因为平面，平面，所以PA⊥CD，

又因为AD⊥CD，，

所以CD⊥平面PAD.

（2）过A作AD的垂线交BC于点M.

因为PA⊥平面ABCD，平面，

所以PA⊥AM，PA⊥AD，

以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.

则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，

所以，，，，

所以，.

设平面AEF的法向量为，

则即，

令，则，，故，

又平面PAD的法向量为，

所以，

∴二面角平面角余弦值为.

（3）直线AG不在平面AEF内，理由如下：

因为点G在PB上，且，故，

所以，.

由（2）知，平面AEF的法向量，

所以，所以直线AG不在平面AEF内.

19．已知为正项数列的前n项和，，且（且）.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用来求数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法来求得.

【详解】（1）依题意，，（且），

，

当时，，

，负根舍去.

当时，，

，

整理得，而，

所以，

所以数列从第项起是公差为的等差数列，

所以，

所以.

（2）当时，，

当时，，

所以①，

②，

①-②得

，

所以，

也符合上式，所以.

20．已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为，．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于、(不与A、B重合)两点，直线与直线交于点，求证：、、三点共线．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)依题意可得，再根据离心率求出，最后根据，求出，即可求出椭圆方程；

(2)设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线的方程，即可求出点坐标，再表示出、，作差判断，即、、三点共线．

【详解】（1）由长轴的两个端点分别为，，可得，

由离心率为，可得，∴，

又，解得，

∴椭圆的标准方程为；

（2）由题可知若l斜率存在，且斜率不为零，故设的方程为，设，，，，

由得，，

则，，所以

∴，直线的方程为，∴，

∴，，

∴

，即，

∴、、三点共线．

21．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.

(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；

(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.

【答案】(1)B类服装单件收益的期望更高

(2)n可取的最大值为3，（元）

【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；

（2）由题知B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，……，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.

【详解】（1）设A类服装､B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则

，

，

，故B类服装单件收益的期望更高；

（2）由题意可知，，

，，

，，

.

因为，，

所以当时，n可取的最大值为3.

（元），

因为，

所以（元）.

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，证明：当时，．

【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减；

(2)证明见解析﹒

【分析】(1)求f(x)的导数，根据导数值的正负即可判断f(x)的单调性；

(2)化简不等式，构造函数，求g(x)的导数并利用m≤1进行放缩，提公因式后构造函数，求h(x)导数判断其在单调性并求出其值域，从而可判断正负，从而可判断g(x)单调性和范围得到结论．

【详解】（1）当时，，

则，

令，得或，令，得，

∴在和上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，要证明，即证明．

令，

则，

令，则，

当时，，∴，

故，即在上单调递增，故时，，

∴，∴，即在上单调递增，

∴，即原命题得证．

【点睛】本题第二问关键点在于利用m的范围进行放缩，再求判断正负时，将恒为正的作为公因式提取出来，将问题转化为对较易研究的函数的值域的求解．