2023届广东省六校联盟高三上学期第二次联考数学试题含解析

2023届广东省六校联盟高三上学期第二次联考数学试题

一、单选题

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求出集合，列举法写出集合，由交集的定义求即可.

【详解】由，得，所以,又

所以

故选B．

2．若且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】若，满足，此时，排除充分性，

若，满足，此时，排除必要性，

故选：D

3．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.

【详解】由对任意，都有成立可得，

在上单调递减，

所以 ，解得，

故选:C.

4．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，作出函数简图，数形结合列指数不等式，并求解.

【详解】是定义在上的偶函数，在上是增函数，

且，作出函数的简图，如图所示，

则时，，

或，所以可得不等式的解集为.

故选：B

5．若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，一步步化简为只含的式子再代入即可解出答案.

【详解】，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：C.

6．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.

【详解】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，

所以其最小正周期为，则.

所以.

将函数的图象向左平移个单位长度后，

可得的图象，

又因为是奇函数，令，

所以.又，

所以.

故.

当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；

当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；

在上，，单调递增，故C正确；

在上，，单调递减，故D错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（　　）(附：

A．23% B．37% C．48% D．55%

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时C的比值即可求解.

【详解】解：依题意得，当时，，

当时，，

∴，

∴的增长率约为.

故选：C

8．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，令，可求得，再根据函数的对称性可得及，再令，可求得，即可得出答案.

【详解】解：因为函数满足，

所以，所以，

又的图象关于直线对称，

所以，且，

则，

所以，

所以，

无法求出.

故选：A.

二、多选题

9．下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据指对幂函数的单调性结合中间量即可比较，结合选项即可得结果．

【详解】解：函数，在上单调递增，∴，故A错误；

函数，在上单调递减，，函数，在上单调递增，，

，故B正确；

函数单调递减，，故C正确；

，故D错误，

故选：BC．

10．已知，，则（    ）

A．的最大值是 B．的最小值是

C． D．

【答案】BC

【分析】求得，利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；利用基本不等式可判断B选项的正误；构造函数，其中，利用函数的单调性可判断C选项的正误；构造函数，其中，利用函数单调性可判断D选项的正误.

【详解】，，所以，，，所以，.

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最小值是，B选项正确；

对于C选项，，令，其中，

则，所以，函数在区间上单调递减，

因为，所以，，即，C选项正确；

对于D选项，，

构造函数，其中，则，

所以，函数在区间上为减函数，，，

即，D选项错误.

故选：BC.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

11．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数

C．的最大值为 D．若，则

【答案】BCD

【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.

【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；

对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；

对于C，因，即是奇函数，

又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，

当时，，令，得，即，

当时，，当时，，则在上递增，在上递减，

因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，

由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；

对于D，由选项C得，，，，

又，则，

所以当时，，D正确．

故选：BCD

12．设函数，若恒成立，则满足条件的正整数k可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】将转化为，构造，再构造，利用导数推得在上存在零点，进而求得，故得，从而可得答案.

【详解】当时，恒成立，即在上恒成立，

令，则，，

再令，则，

故在上单调递增，

又因为，，

所以在上存在零点，且，

所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；

故，

因为，故，所以由得.

故选：AB.

三、填空题

13．已知函数是偶函数，则实数______

【答案】1

【分析】由偶函数的性质可知，再由不恒为0，可得的值.

【详解】因为是偶函数，

所以由得，，即，故，

因为，所以不恒为0，故.

故答案为：1.

14．写出一个定义域为值域为的函数_______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为，值域为的函数容易联想到定义域为，值域为三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案.

【详解】令，则易知其定义域为，而由得，即的值域为，故满足题意.

显然也满足题意，即答案不唯一，这里以为代表.

故答案为：.

15．已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义先求出，进而得到关系，再由均值不等式可得出答案.

【详解】设直线与曲线相切于点

由函数的导函数为，则

解得

所以，即

则

当且仅当，即时取得等号.

故答案为：8

16．已知函数，直线l的方程为，过函数上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】利用已知将转化为点P到直线l的距离为d，即可得出当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，再通过求导，令导数等于直线l的斜率，即可得出点P的坐标，再通过点到直线的距离得出d，即可代入与d的关系式得出答案.

【详解】设点P到直线l的距离为d，

点P作与l夹角为，

，即，

要使最小，只需d最小即可，

则当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，即d最小，

设，

求导得，

即时d最小，此时，

，

则，

则，

故答案为：.

四、解答题

17．设函数.

(1)解关于x的不等式；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集；

（2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围.

【详解】(1)

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

(2)

因为，所以由可化为：，

因为（当且仅当，即时等号成立），

所以.所以a的取值范围为.

18．如图，在四边形中，

(1)求角的值；

(2)若，，求四边形的面积

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.

【详解】(1)

，

因为，得，

或，

解得或，因为，得，

(2)在中，，

在中，，

，

，，得，

，所以四边形的面积为

19．已知函数

(1)当时，求函数的极值

(2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)极大值为，极小值为.

(2)

【分析】(1)直接利用导函数求极值即可；(2)首先结合已知条件得到，然后求解不等式即可.

【详解】(1)由题意可知，的定义域为，，

当时，，

则或；，

故在和上单调递增，在上单调递减，

故的极大值为，极小值为.

(2)由题意可知，有唯一的正解，从而，

结合极值点定义可知，二次函数有两个不同的零点，，

从而由韦达定理可知，，即，

从而，

因为，从而，

故关于的不等式的解集为.

20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足.

(1)证明

(2)求所有正整数k，m的值，使得和同时成立

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由结合已知条件得，，进而得到，再利用正弦定理边化角即可求解；

（2）由得， , 再利用正余弦定理化简得  ，结合条件得，即  ，再分析求解即可.

【详解】(1)因为，

所以，即，

因为，所以，即，

由正弦定理得，其中为的外接圆半径，

所以.

(2)由，可知，

则由正、余弦定理得到，

化简得，

因为，，所以，

即，

因为均为正整数，所以由可知为2的正整数因式1或2，故，

所以，即，

所以.

21．某同学用“五点法”画函数）在某一个周期内的函数图象列表并填入的部分数据如下表

(1)求出的解析式，并写出上表中的x1；

(2)将的图象向右移个单位得到的图象，若总存在，使得成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据表格中的数据列出方程组求解即可求解；

（2）根据图象变换先求出的表达式，然后令，，则原问题转化为在有解，令，，然后分和两种情况讨论，求出的最大值即可求解.

【详解】(1)解：由题意，，解得，

所以，；

(2)解：因为函数的图象向右平移个单位得到的图象，

所以，

所以若总存在，使得成立即为总存在，使得成立，

设，则，且在有解，

令，，

当，即时，，

所以；

当，即时，，

所以，与相矛盾，舍去.

综上，.

22．已知函数，其中

(1)若，证明f（x）在 上存在唯一的零点.

(2)若，设为在上的零点，证明：在 上有唯一的零点，且

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)依题意转化为有唯一解即可;(2)利用等量替换，放缩转化为即可证明.

【详解】(1)令,即,即,

令

因为,所以恒成立,

所以在单调递增,

且,

,即，

由零点存在性定理知时,存在唯一零点,

所以时方程有唯一解,

所以f（x）在 上存在唯一的零点.

(2)由，得，

令

当时，恒成立，

所以函数在上单调递增，

且，

所以存在唯一，使得，

所以在单调递减，单调递增，

，

所以存在唯一的，使得，

从而在 上有唯一的零点.

由题可知，，得，，

，得，

令

当时，恒成立，

所以在上单调递增，

则，即恒成立,

又因为时，所以，

因为所以，

令在上单调递增，

，

所以有唯一解，

即，所以，即，

所以要证，只用证，

由 得，，得，

令，，

令解得令解得，

所以在单调递减，单调递增，

所以，即恒成立，

因为，所以则有

所以，

所以，所以,得证.

【点睛】利用放缩,等量替换将多元转化为单元函数进行证明是不等式证明的常用方法.