2023届贵州省遵义市高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含解析

2023届贵州省遵义市高三上学期第一次统一考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：C.

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数除法运算可得，由此可求得复数的模长.

【详解】，.

故选：A.

3．若是方程的根，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据方程的根和函数的零点的关系可得为函数的零点，结合零点存在性定理确定的范围.

【详解】设，因为是方程的根，

所以为函数的零点，

因为函数，在上都为单调递增函数，

所以在上单调递增，又，，

所以函数的零点一定在区间内，

所以，

故选：A.

4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.

【详解】因为，故为了得到函数的图象，

只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，

故选：C.

5．下列说法正确的是（    ）

A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“，使得”的否定是：“，均有”

D．命题“若，则”为真命题

【答案】D

【分析】利用否命题、充分必要条件、命题的否定、逆否命题分析判断得解.

【详解】A. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，所以选项A错误；

B. ，所以或， “”是“”的充分不必要条件，所以选项B错误；

C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以选项C错误；

D. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题正确，所以原命题为真命题，所以选项D正确.

故选：D

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数说明函数在上的单调性，即可判断.

【详解】解：定义域为，且，

故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A，

令，即，解得，

又，故排除D，

当时，则，

所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递增，故排除C；

故选：B

7．如图1．规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定维续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中第5行正方形的个数为（    ）

A．5 B．8 C．13 D．16

【答案】B

【分析】设为第行中正方形的个数，为第行中三角形的个数，再推断与下一行的关系，从而得到第5行正方形的个数.

【详解】解：设为第行中正方形的个数，为第行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，

则有，，

整理得，且，，

则，，.

所以第5行的正方形的个数为8.

故选：B

8．已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可.

【详解】由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），，

，即面积的最大值为.

故选：A.

9．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据条件明确函数的周期性为4，则，结合所给分段函数，即可得到结果.

【详解】∵为偶函数，，

∴，即，即函数的周期为4，

∴，

又当时，，

∴.

故选：C

10．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：

①在区间上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是；

③的取值范围是；

④在区间上单调递增．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④

【答案】B

【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.

【详解】由函数，

令，则

函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，

由，得，则，

即，，故③正确；

对于①，，，

当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；

对于②，周期，由，则，，

又，所以的最小正周期可能是，故②正确；

对于④，，，又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．

故正确结论的序号是：②③

故选：B

【点睛】方法点睛：函数的性质：

(1) .

(2)周期

(3)由 求对称轴，由求对称中心.

(4)由求增区间；由求减区间.

11．已知函数，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性，对函数求导并判断其单调性，比较三个数值的大小，进而利用单调性做出判断.

【详解】由题意可知：函数为偶函数，

当时，函数，则，

当时，；当时，；

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

因为函数为偶函数，所以，

作差：，所以，

又因为，所以，

所以，而函数在上单调递减，

所以，也即，

故选：.

二、多选题

12．若函数在区间内不存在最小值，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】先求函数的最小值点，由区间内不存在最小值，判断区间端点与最近的最小值点的大小，解出的取值范围，最后根据范围选择可能的取值即可.

【详解】令，得为函数的最小值点，

当时，是区间右侧第一个最小值点，

因为区间内不存在最小值，

所以，满足条件的的值有，.

故选：CD.

三、填空题

13．已知数列的前项和满足，则______．

【答案】18.

【分析】根据数列的前n项和公式，利用即可求得答案.

【详解】由题意数列的前项和满足，

则,

故答案为：18.

14．已知，则曲线在处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程.

【详解】解：因为，所以，，

则，

即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

故答案为：

15．已知函数，的解集为______．

【答案】

【分析】先利用导数判断出单调性，利用单调性解不等式即可.

【详解】定义域，，则，故在上单调递减，于是，解得，解集为.

故答案为：

16．设函数，若函数存在最小值，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【详解】当时，函数，函数在上单调递减，所以有，

当时，函数在上单调递增，此时，

因为存在最小值，

所以有，化简可得，而，所以，

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时当时，函数有最小值为，

因为存在最小值，

所以有，故，而，所以，

综上所述：， 所以的取值范围为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知，．

(1)求的值：

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 原式两边同时平方，用同角的平方和关系可得到结果.

(2)用二倍角公示将化简，通过辅助角公示可以将原式化简为，利用第一问的答案即可得到结果.

【详解】（1），，

得

（2）==.

由可知，.

.

18．已知函数 在处取得极值2．

(1)求的值；

(2)若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；

（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．

【详解】（1），

依题意，，解得，

经检验，，符合题意，

，的值分别为，；

（2）由（1）可得，，方程有三个相异实根，

即的图象与直线有三个不同的交点，

，

令，解得或，令，解得，

在单调递增，在单调递减，

且，

，即实数的取值范围为．

19．在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．

问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．

(1)求；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的性质，设出相应的基本量，列出相应的方程即可求出；

（2）利用裂项相消求和法进行求解即可.

【详解】（1）方法1：选①和③

，整理得，设等差数列的公差为，则有

，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，

方法2：选①和②

，，所以，，设等差数列的公差为，则有，

化简得，解得，，则，

方法3：选②和③，

，可得，，设等差数列的公差为，则有

，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.

（2），

20．的内角的对边分别是，且，

(1)求角的大小；

(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可；

（2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

化简得，

所以由余弦定理得，又因为，

所以.

（2）如图所示

因为即，

化简得①,

又由余弦定理得即②，

①②联立解得（舍去）或，

所以.

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）利用导数与单调性的关系，分大于或小于等于零两种情况进行讨论，可得答案；

（2）整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性求其值域，由于含有参数，则利用分情况讨论，可得答案.

【详解】（1）由，则，

当时，，则在上单调递增；

当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；

故当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由，，整理可得，

令，则，

当时，在上，恒成立，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，

，符合题意；

当时，由（1）可得，

令，即，此时恒有，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，

，符合题意；

当时，，不符合题意.

综上，解得.

【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证分离出并购的函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，首先分解因式，再利用分类讨论，可得答案.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于，两点，点，求的值．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程；

(2).

【分析】（1）由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得，结合韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求.

【详解】（1）因为，又，，所以，即，曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入方程，并整理得，

设A，B的对应的参数分别是则，，所以，

∵，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得，，，

∴.

23．设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；(2) .

【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．

详解：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．