2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题含解析

2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合，再由交集的概念求解即可.

【详解】.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由全称命题的否定即可选出答案.

【详解】命题“，”的否定是 “，”

故选：C.

3．已知，则“"是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案.

【详解】由“"成立可推出，继而可得到；

当时，比如，推不出成立，

故“"是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.

【详解】由题意知，，

当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，

即 ，解得.

故选：C.

5．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据不等式的解集可得关系，代入不等式，然后转化为整式不等式求解即可.

【详解】解：因为关于x的不等式的解集为

，

则

所以不等式的解为或.

故选：A.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据且趋近0时判断，最后利用的零点进行判断，即可得到答案

【详解】解：因为，所以，解得，

则的定义域为，关于原点对称，

由可得，

发现，故为奇函数，故B错误；

当且无限接近0时，，所以此时，故A错误；

因为当即，解得，所以在轴正半轴的第一个零点是，第二个零点是，第三个零点是，第四个零点是，第五个零点是，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C错误；

故选：D

7．若，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角差的正弦公式可得，由诱导公式及的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.

【详解】解：∵，∴.

由，可得，

即.

∴，∴.

∵，∴，且.

由于函数在上单调递增，∴，即.

故选:C.

8．已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，设，进而通过数形结合求得答案.

【详解】由可得：，设，，时，，单调递增，时，，单调递减，则当时函数取得最大值，如示意图：

由图可知，当时，整数解超过了2个，不满足题意；当时，需满足得：．

故选择：D．

【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．若，则的最大值是 -1

B．若，，都是正数，且，则的最小值是3

C．若，，，则的最小值是2

D．若实数，满足，则的最大值是

【答案】ABD

【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；

对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；

对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；

对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.

【详解】对于A，因为，所以，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为-1，故A正确；

对于B，因为，，都是正数，且，所以，

所以

，

当且仅当，即即时等号成立，

所以的最小值为3，故B正确；

对于C，因为，，所以，

即（当且仅当时等号成立），

因为，所以，

所以，所以，

解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为4，故C错误；

对于D，令，，则，，

因为，所以，同号，则，同号，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值是，故D正确，

故选：ABD．

10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中则经过分钟后物体的温度将满足且）.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值

A．若，则

B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟

C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降

D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多

【答案】ABC

【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．

【详解】由题知，

A：若，即，所以，则，A正确；

B：若，则，则，

两边同时取对数得，所以，

所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；

C：表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故正确；

为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误.

故选：ABC．

11．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】构造函数，利用导数判断在上的单调性，再由为偶函数，得为奇函数，从而判断出在上的单调性，再结合选项逐一判断即可.

【详解】解：当时，，即，

所以，

构造函数，则，

∴当时，单调递减，又由题意可得是偶函数，

∴是奇函数，则当时，也单调递减．

对于A，∵，∴，∴，

即，∴，故A正确；

对于B，∵，∴，∴，即，可得，故B错误；

对于C，∵，，即，∴，

即，∴，故C错误；

对于D，∵，， ，

，即，∴，故D正确．

故选:AD．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.

12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    )

A．

B．若，则函数的最小正周期为；

C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解

D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

【答案】ABD

【分析】A：在上单调，，，故；

B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；

C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；

D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.

【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；

B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.

C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.

D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.

三、填空题

13．已知集合，集合，______.

【答案】

【分析】解分式不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得.

【详解】因为，等价于，解得，

由，即，即，所以，即；

所以，，

所以，因此，.

故答案为：

14．若，，则___________.

【答案】-1

【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简可得到或，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

所以，即或,

当时，

因为，所以，

所以，所以，所以，

所以.

当时，即，

所以，

所以，则.

因为，所以，所以，

故不符合题意，应舍去，

综合以上，

故答案为：-1

15．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.

【详解】解：∵时，，

∴在上的图象与上的图象关于对称，

不妨设,如图：

可得，.

∴.

∴

，.

令，

则原式化为，其对称轴为，开口向上，

∴在上单调递增.

∴.

∴的取值范围为.

故答案为:.

16．已知，若对任意的不等式恒成立，则实数的最小值为_______.

【答案】

【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为恒成立. 令，判断出的单调性，转化为恒成立.利用分离参数法得到，令，利用导数求出，即可求出实数的最小值.

【详解】恒成立，等价于，

令，则，

则，所以当时都有，所以单调递增.

所以不等式转化为，即，即，即，即.

令，则.

当都有，所以单调递增；当时，都有，所以单调递减.

所以

所以，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】恒成立问题的处理：

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值.

四、解答题

17．已知，，，，求：

(1)的值；

(2)的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，

（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.

【详解】(1)因为，，

所以，，

所以，

，

所以

.

(2)因为，，

所以，

所以，

所以.

18．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上的极值和最小值．

【答案】(1)

(2)在上有极大值，无极小值，且，

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；

（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.

【详解】(1)，结合题意可得解得，

故，经检验符合题意.

(2)由（1）知．

令，解得x＞3或，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，

故在上有极大值，无极小值，且，

又因为，，，故在上的最小值是．

19．已知.

(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间；

(2)若时，方程恰好有三个解，求实数的取值范围

【答案】(1)，单调递减区间为：；

(2).

【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得，利用正弦函数的性质即得；

（2）由正弦函数的性质可得，进而即得．

【详解】(1)因为

因为最小正周期，又，

所以，即

令，解得，

所以的单调递减区间为；

(2)因为时，恰好有三个解，

即恰好有三个解，

所以，

即，解得，

所以实数的取值范围是.

20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；

(3)利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)选择，理由见解析

(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元

(3)

【分析】(1)由表格数据分析变量与变量的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为，由条件可得，利用函数的单调性求的最小值，由此可得k的取值范围．

【详解】(1)由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．

(2)把，，分别代入，得

解得，，

∴，．

∴当时，y有最小值，且．

故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．

(3)令，

因为存在，使得不等式成立，

则．

又在上单调递减，在上单调递增，

∴ 当时，取得最小值，且最小值为，

∴．

21．设函数，且是定义域为R的奇函数，且的图象过点．

(1)求和的值；

(2)若R，，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数m，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】(1)直接利用奇函数可得到t的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a；

(2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可；

 (3)令 换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出即可.

【详解】(1)∵f（x）是定义域为R上的奇函数，

且，∴，

∴ ，此时，满足，

故符合题意，

∵函数的图象过点，∴，即，

解得或，因为且，

∴．

(2)由（1）知，

由，得，

∵为奇函数，∴，

为R上的增函数，

∴对一切R恒成立，即对一切R恒成立，

故，解得．

(3)由题意

设则，

∵，∴，记，

∴函数在有最大值为1，

①若对称轴，

∴，不合题意．

②若对称轴，

综上所述：故存在实数，使函数g（x）在上的最大值为1．

22．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当，求函数的最大值；

(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）求出函数的导函数，分、和三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；

（3）利用分析法可得只需证，即证，令，只需证，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】(1)解：当时，，

，，切线方程为：.

(2)解：，

①当时，，在[1，2]单调递减，

②当时，

在单调递增，

③当时，，

（i）当即时，

在单调递减，上递增

（ii）当即时，

在单调递减，，

综上：.

(3)证明：要证，

只需证，

只需证，

因为，，

两式相减得：.

整理得.

所以只需证，

即证，

即，不妨设，令，

只需证，

只需证，

设，

只需证当时，即可.

，

在单调递减，

当时，，

在单调递增，当时，

原不等式得证.

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．