2023届陕西省咸阳市高新一中高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题含解析

2023届陕西省咸阳市高新一中高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．下列函数中，在区间上为增函数的是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，y，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

对于B，y＝lnx，为对数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；

对于C，y＝sinx，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；

对于D，y＝2﹣x＝（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．

3．若是周期为π的奇函数，则可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，若，则为偶函数，不符合题意；

若，则，奇函数且周期为，符合题意；

若，则为偶函数，不符合题意；

若，则周期为，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，着重考查了推理与运算能力.

4．若函数 则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可求出答案.

【详解】当时，单调递增，，

当时，单调递减，，

所以函数的值域是：

故选：A

【点睛】本题主要考查分段函数求值域，求出每段函数的值域，再求并集即可，属于基础题.

5．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知 推不出；

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a

【答案】B

【分析】根据中间量以及作商法比较大小.

【详解】∵，

∴，

∴a>b，∴a>b>c，

故选：B.

7．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

, 

将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

, 

再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为

,

，

可得函数图象的一个对称中心为，故选D.

【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．

8．已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数是R上的偶函数得到的对称轴，然后根据得到函数在上的单调性，进而得到函数在R上的单调性，最后求得答案.

【详解】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.

故选：C．

9．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数为偶函数，以及在时的单调性即可由排除法解出．

【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以错误；当时，，由可得，所以函数在上递减，在上递增，所以错误；而，排除，所以正确．

故选：D．

10．已知函数，若，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.

【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，

当直线介于与轴之间符合题意，

直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为

，

求其导数可得，因为，故，

故直线的斜率为，

故只需直线的斜率.

故选：D

【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.

11．若函数在上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：对恒成立，

故，即恒成立，

即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．

【解析】三角变换及导数的应用

【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.

12．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

二、填空题

13．不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】先将原不等式变形为，然后利用指数函数的单调性求解即可.

【详解】由，得，

所以，即，

得，解得或，

所以不等式的解集为，

故答案为：

14．已知函数若，则________.

【答案】或

【分析】根据函数值分和两种情况讨论即可得解.

【详解】解：当时，则，所以，

当时，则，所以，

综上，或.

故答案为：或.

15．若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为________.

【答案】．

【分析】由题设命题的否定，原不等式在上无解求得的范围后，再求其在实数集中的补集即得．

【详解】原不等式在R上有解，

它的否定是不等式在上无解，

则，解得，

因此不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解时．

故答案为：．

16．①函数的图象过定点；

②是方程有两个实数根的充分不必要条件；

③的反函数是，则；

④已知在区间上单调递减，则实数a的取值范围是.

以上结论正确的是___________.

【答案】①④

【分析】根据指数型函数过定点、充分不必要条件、反函数、对数型复合函数单调性的知识确定正确答案.

【详解】①，当时，，所以过定点，①正确

②，方程有两个实数根.，与有两个交点，结合图象可知，.

所以是方程有两个实数根的必要不充分条件，②错误.

③，的反函数是，③错误.

④，在区间上单调递减，

则，所以④正确.

故答案为：①④

三、解答题

17．设函数．

(1)证明：函数是偶函数；

(2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数的单调区间，并说明在各个单调区间上的单调性；

(4)求函数的值域．

【答案】(1)证明见解析；

(2)作图见解析；

(3)单调区间为，在区间和上单调递减，在和上单调递增；

(4).

【分析】（1）写出的解析式，在利用判断出函数是偶函数.

（2）先把函数解析式去掉绝对值，化简为分段函数，在画出图像即可.

（3）观察图像得出单调增减区间.

（4）分别求出在每一段上的最大值与最小值，在结合两段函数找出最大值与最小值，即可求出值域.

【详解】(1)证明：∵函数的定义域关于原点对称，

且，即，∴是偶函数．

(2)当时，．

当时，．

即

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．

(3)单调区间为，在区间和上单调递减，在和上单调递增．

(4)当时，函数的最小值为，最大值为；

当时，函数的最小值为，最大值为．故函数的值域为．

18．已知函数.

(1)若 ， 求 的取值范围;

(2)当时， 求函数 的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可；

（2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.

【详解】(1)令，，可整理为，则即，解得，所以，解得，

所以.

(2)当时，，因为，且当，有最小值；

当或3时，有最大值4；

所以的值域为.

19．已知集合 ， ．

(1)求集合；

(2)若 ，求实数 的取值范围；

(3)若 ，求实数 的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)；

(3)．

【分析】（1）由补集定义得结论；

（2）由包含关系得不等式组，求解可得；

（3）由，则，然后分类讨论：按和分类．

【详解】(1)因为，所以或；

(2)因为，所以，解得；

(3)，则，

若即，则，满足题意；

若，则，由题意，解得，

综上，．

20．已知数列{}满足，．

(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．

【详解】(1)由题意可得：

∵

所以是首项为2，公比为2的等比数列

则，即

因此{}的通项公式为

(2)由（1）知，令则

所以．

．

综上．

21．已知函数（是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）先求出函数的导函数,将代入可得在此切点处的斜率,再由曲线方程可求出切点坐标,利用点斜式式写出切线方程；

（2）求出的导函数函数,令为,再求的导函数,去判断的单调性,再进一步判断的单调性,可求出的最小值,将恒成立问题转为关于的不等式即可.注意对的分类讨论.

【详解】（1）当时，有，

则．

又因为，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）因为，令，

有（）且函数在上单调递增，

当时，有，此时函数在上单调递增，则，

（ⅰ）若，即时，有函数在上单调递增，

则，所以不等式恒成立；

（ⅱ）若，即时，则在存在，

此时函数在 上单调递减，上单调递增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

当时，有，则在存在，此时上单调递减，上单调递增，

所以函数在上先减后增．

又，则函数在上先减后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是对函数求导，再构造函数，再对其求导（），再通过讨论的正负，求解的最小值，使其大于等于即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先得出圆的直角坐标方程再化为极坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】(1)由已知，得圆心C的直角坐标为，半径为2，

∴圆C的直角坐标方程为

即

故圆C的极坐标方程为.

(2)由（1）知，圆C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，

整理得，，    

设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－2cosφ，t1t2＝－3，

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若对任意，都存在，使得成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，和去绝对值后再分段求解不等式即可；

（2）依题意可得，再分别根据的单调性，分别求得的最小值即可

【详解】(1)函数可表示为，

当时，由得，

当时，由得（舍去），

当时，由得，

综上所述，不等式的解集为

(2)由（1）知在上单调递减，上单调递增，所以；

依题意可得

∵在上单调递增，

∴

∴，

即，∴a的取值范围为．