2023届陕西省咸阳市咸阳中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省咸阳市咸阳中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省咸阳中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题 一、单选题1．设全集 ，集合，则图中的阴影部分表示的集合是（    ）A．​ B．C． D．​【答案】A【分析】利用集合的基本运算求解即可.【详解】全集 ，集合，集合，图中所示的阴影部分为，故选：A.2．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据分式不等式的解法求的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可.【详解】当时，有或，所以是的充分条件，但不是必要条件.故选：A3．已知集合，，则中元素的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.4．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.【详解】∵为上的偶函数，∴，又当时，，∴，当时，，∴.故选：A.5．设奇函数 在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由奇函数性质得在上的单调性，利用奇函数的性质化简不等式，然后分类讨论由单调性求解．【详解】∵为奇函数，函数​在​上单调递增，∴在上单调递增，又​，∴，，即，当 时，上式化为，解得​;当 时，上式化为，解得​，​原不等式的解集是或​.故选：D.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.【详解】因为，星的星等是，星的星等是，所以，故选：A7．“ ”的一个充分条件是（    ）A． B．  C． D．【答案】D【分析】解不等式直接证明，或举特例判断.【详解】根据得为任意实数，所以A错；由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；因为，所以，所以能推出，满足题意，D 正确.故选： D.8．设函数的最大值为a，最小值为b，则(    )A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用分类常数法化简f(x)解析式为，根据为奇函数，根据奇函数的图像性质即可求解.【详解】∵，函数为奇函数，由于奇函数的图象关于原点对称，∴，从而，故选：D．9．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合对称性求得的取值范围.【详解】依题意，，关于对称.不妨设，则，，所以，即.故选：D10．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先将题意转化为对，，都有，构造函数得到在为减函数，从而得到，恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案.【详解】因为对，，都有成立，所以对，，都有.设，则在为减函数.，等价于，恒成立，即，恒成立.设，，所以，，为减函数，，，为增函数，所以，所以，即.故选：C11．实数，，，满足：，，则的最小值为（    ）A．0 B． C． D．8【答案】D【分析】由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.【详解】由，则，又，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得：，与平行的直线的斜率为1，∴，解得或（舍，可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为：.故选：D.12．已知函数，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函数的图象，利用图象可比较出的大小，再利用二次函数的性质可求得结果【详解】因为，所以，因为，所以，作出函数的图象，如图所示，由题意可知直线与函数的图象的交点分别为，由图可知，因为，所以，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以故选：D 二、填空题13．“ ”是“”的________条件.【答案】充分不必要【分析】化简可得然后根据充分性与必要性的定义即可作出判断【详解】由可得“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要14．已知函数的定义域是，且在为单调递增函数，则满足条件的________. （写出一个满足条件的函数即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据的定义域、对称性、单调性写出符合题意的一个函数解析式.【详解】表示的图象关于直线对称，的定义域是，且在上递增，则在上递减，函数符合题意.故答案为：（答案不唯一）15．已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________.【答案】【分析】求出A的坐标，代入直线方程即可得，从而所求式子整理成，结合基本不等式即可求出最小值.【详解】因为函数，恒过点，所以，代入直线的方程得，其中，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为: 16．已知函数，若，且，则的最小值是_____.【答案】【分析】根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.【详解】因为函数在上递增,在上也递增,且时,,所以,所以,,所以,即,所以,,令,则,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,所以时,取得最小值.即的最小值是:.故答案为: .【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题. 三、解答题17．已知函数(1)计算；；的值；(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；(3)求的值．【答案】(1)1；1；1；(2)；证明见解析；(3) 【分析】（1）利用函数解析式代入法去求解即可解决；（2）结合（1）的结果，归纳出，利用函数解析式代入即可证明；（3）利用（2）的结论及的值即可求得的值．【详解】（1）；；（2）结合（1）的结果，归纳出，证明如下：（3）由（2）可知，则18．已知函数​.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求​.【答案】(1)答案详见解析(2) 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）根据（1）的结论，通过在区间上的最大值与最小值来求得.【详解】（1）因为​，所以​.①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，在区间上，，递增；在区间上，，递减.（2）由（1）可知：①当时，在上单调递增，；②当，即时，在上单调递减，；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，，故当时，​；当时，​；综上可得:​.19．已知函数（其中e为自然对数的底数，…）．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数a的值．【答案】(1)(2)1 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程；（2）设，求得，当时，求得单调递增，且，不满足恒成立；当时，求得，得到，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而得到答案.【详解】（1）解：当时，，则，即切点为，又由，则切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为．（2）解：设，则．当时，，单调递增，，不满足恒成立；当时，在上单调递减．在上单调递增．所以的最小值为,即，即，设，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故的解只有．综上可得，实数的值为．20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．【答案】(1)(2)100百辆时，1300万元 【分析】（1）分和，由利润=销售额减去成本求解；（2）由（1）的结果，利用二次函数和对勾函数的性质求解.【详解】（1）解：由题意得当，，当时，，所以；（2）当时，，当时，，当时，由对勾函数，当时，，时，，时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元21．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）利用的导数去讨论的单调性；（2）构造新函数转化成新函数最大值不大于0去求的取值范围．【详解】（1），若，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若时，，所以在上单调增；若，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立．设，，则．设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，若时，，所以在上单调递减，则，解得．若时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则时，，不合题意，故实数的取值范围为．22．已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.【详解】（1）当时，，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域为(0，+∞)， .当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.由题意可得：.由及得：.欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.由得 .所以令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.综上x1+x2>2e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数判断单调性，证明不等式．