2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期期初联考数学（理）试题含解析

2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期期初联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式，可得集合，由二次函数的值域可得集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】由得：，因为， 所以，

由得：，

所以，

故选：D．

2．已知复数满足，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】将已知条件表示出，在根据模长公式求解即可.

【详解】设（），则由，得

，由复数相等的充要条件，得，解得，，故，所以．

故选: C.

3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：、、、、、，

其中是质数的有：、，故所求事件的概率为.

故选：A.

【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.

4．已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】两个不同的平面，，直线平面，

当时，或，不充分；当时，，必要.

故选：B.

5．如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可

【详解】由图可知，

所以，

故选：A.

6．下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.

【详解】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；

②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；

③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；

④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；

故选：C.

7．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.根据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为，随高度的变化而变化，变化的关系式为，则该零件的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一致，由祖眶原理，该零件的体积等于该半球的体积，从而可得答案.

【详解】由祖眶原理，该零件在高为的水平截面的面积为.

而恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一致，

所以该零件的体积等于该半球的体积：

故选：C

8．若，则（    ）

A．图像关于直线对称 B．图像关于对称

C．最小正周期为 D．在上单调递增

【答案】B

【解析】分别取特值可判断ACD不正确，由可判断B正确.

【详解】对于A，由于，，

所以图像不关于直线对称，A错误；

对于B，由于，

所以图像关于对称，正确；

对于C，，，

所以不是函数的周期；

对于D，，所以在上不是单调递增.

故选：B.

9．设，随机变量的分布

则当在内增大时，（    ）A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

【答案】D

【分析】求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.

【详解】因为分布列中概率之和为1，可得，

∴，∴当增大时，减小，

又由，

可知当在内增大时，减小.

故选：D.

10．已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题设条件可得函数为周期函数且周期为2，结合函数的奇偶性可得，，再根据函数在上的单调性可得三者之间的大小关系.

【详解】因为定义在上的偶函数，所以，

因为，所以，即，

所以是以2为周期的周期函数，

又在上递减，所以在递增，

又，，

，

而，在递增，

故，即，

故选：A.

【点睛】方法点睛：函数值的大小比较，一般需要利用函数的奇偶性和单调性把要比较的值转化为同一个单调区间上，转化时注意利用指对数的运算性质.

11．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据函数图象得到、的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.

【详解】根据图象可得，周期，因为，所以，，

将代入可得，解得，因为，所以，所以，，因为，所以向左平移个单位长度即可得到的图象.

故选：B.

12．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用椭圆和双曲线的定义把，用长半轴长和实半轴长表示，再用余弦定理求得与的关系，从而得的等式，结合已知可求得．

【详解】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，

则，解得，

中由余弦定理得，即，

所以，

，，又，，所以，

，所以．

故选：B．

二、填空题

13．已知向量满足，且，则__________．

【答案】

【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.

【详解】因为，所以，

，所以，

所以，.

故答案为：.

14．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则__________．

【答案】

【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理计算可得．

【详解】解：，，的面积为，，解得，

由余弦定理得，，则，

由正弦定理，即，解得.

故答案为：.

15．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．

【详解】由不等式解集知，由根与系数的关系知

，则，

当且仅当，即时取等号．

故答案为：．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

三、双空题

16．设函数

①若，则的最小值为________；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．

【答案】     －1    

【分析】①代入a＝1，根据指数函数和二次函数单调性即可求最值；

②分a≤0，0＜2a＜1，0＜a＜1≤2a，a≥1四种情况讨论f(x)零点即可.

【详解】①a＝1时，

x＜1时，f(x)，x≥1时，f(x)≥f()＝－1，

∴f(x)的最小值为－1；

②a≤0时，＞0，在x≥1时也为正，f(x)无零点；

故a＞0，

令＝0得，x＝，令＝0得，x＝a或2a，

当0＜2a＜1，即0＜时，f(x)不可能有两个零点，

当0＜a＜1≤2a，即≤a＜1时，x＝2a为f(x)零点，

∵，故＝0也有解，即x＝也为f(x)零点，故f(x)有两个零点满足题意；

当a≥1时，x＝a或2a均为f(x)的零点，故＝0在x＜1时无解，则≤0a≥2；

综上，.

故答案为：－1；﹒

四、解答题

17．在中，内角所对的边分别为，且.

(1)求角的大小:

(2)若点为的中点，且,求的值的值

【答案】（1）；（2）

【详解】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件 转化为 ，从而求得，结合三角形内角的取值范围，求得，第二问利用余弦定理，得到 ，将代入上式，整理得到，结合正弦定理求得.

详解：（1）在中，

由正弦定理得 ，

，，则，，

（2）在中，由余弦定理得 ，

在中，由余弦定理得 ，

， ，整理得，，

由正弦定理得

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到，在求角的时候，必须将角的范围写上.

18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

【答案】（1）万；（2）应着重提高30-50这个年龄段的签约率，理由见解析.

【解析】（1）根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段的居民人数，再求和，即可得出结果；

（2）根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以上的人数，即可确定结果.

【详解】（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；

在60-70岁的签约人数为：万；

在70-80岁的签约人数为：万；

在80岁以上的签约人数为：万；

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；

（2）年龄在10-20岁的人数为：万；

年龄在20-30岁的人数为：万.

所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为万，签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率.

19．如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点.

(Ⅰ)求证：//平面；

(Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【分析】(Ⅰ) 取的中点，连接、，即可证明，，从而得到面面，即可得证；

(Ⅱ) 连接，为二面角的平面角，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】解：(Ⅰ)取的中点，连接、，因为为的中点，为的中点，所以，，又，所以，因为面，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，因为面，所以平面；

(Ⅱ)连接，因为底面是边长2的等边三角形，，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以

故直线与平面所成角的正弦值为；

20．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由．可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；

（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．

【详解】(1)解：由，可得，

代入．

解得或（舍），

所以抛物线的方程为：．

(2)解:由题意可得，直线的斜率不为0，

设直线的方程为，设，

由，得，从而，

则．

所以，

，

∵，

∴，

故，

整理得．即，

从而或，

即或．

若，则，过定点，与Q点重合，不符合；

若，则，过定点．

综上，直线过异于Q点的定点．

21．已知函数.

（1）若在单调递增，求a的值；

（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）由在单调递增，利用导数知在上恒成立即可求参数a的值；（2）由有，利用二阶导数可知在上单调递增，进而可知，使得，则有的单调性得最小值，结合并构造函数可求取值范围，进而利用导数研究的单调性即可求范围；

【详解】（1），又在单调递增，

∴，即在上恒成立，

（i）当时，，则需，故，即；

（ii）当时，，则；

（iii）当时，，则需，故，即；

综上所述：；

（2），，，

∵，有，

∴在上单调递增，又，，

∴，使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故的最小值为，

由得，因此，

令，，则，

∴在上单调递增，又，，，

∴取值范围为，

令（），则，

∴函数在上单调递增，又，，

∴，即函数的值域为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，，直线的参数方程为（为参数，），直线，垂足为.以为坐标原点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)分别写出曲线与直线的极坐标方程；

(2)设直线､分别与曲线交于､与､，顺次连接､､､四个点构成四边形，求.

【答案】(1)曲线极坐标方程为，直线的极坐标方程且.

(2).

【分析】（1）首先将、化为普通方程，再应用公式法求曲线与直线的极坐标方程，最后由两线垂直写出的极坐标方程.

（2）由题设知，令，，联立（1）中所得极坐标方程，结合韦达定理求值即可.

【详解】(1)由的参数方程，可得，则，即，

∴.

由题设知：为，故的极坐标方程为，又，

∴为且.

(2)由题设知：，

若，,

联立与：，可得，，

联立与：，可得，，

∴.

∴.

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；

（2）分析可得知，使得或成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，．

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时．

因此，当时，不等式的解集为；

（2）当时，可化为，

所以，或，

即存在，使得或．

，因为，所以，则，

，因为，所以，所以，

因此，实数的取值范围为．