2023届天津市宝坻区第一中学高三上学期第二次阶段性练习数学试题含解析

2023届天津市宝坻区第一中学高三上学期第二次阶段性练习数学试题

一、单选题

1．设集合.则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.

【详解】因为，，

所以，因此，

所以，故本题选A.

【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.

2．设，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．

【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，

若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，

故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．

3．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】计算特殊值，，利用排除法可得是正确选项．

【详解】，排除A、D；，排除B；

故选：C.

【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过特殊值结合排除法得出正确结论，有时可研究函数的性质如单调性、奇偶性、对称性等，函数值的正负及变化趋势等．

4．已知函数（其中，，）的部分图像如下图，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由图像最高的与最低点x的距离得出的周期，通过周期得到；

再由函数最小值点的x值与三角函数性质得出；

再由图像上两点代入得出，；

通过周期得到即可代入得出答案.

【详解】设图中最高点的，

由正弦型函数的性质可得是的一条对称轴，则，

则由图可得，

则，

，

，

，且为最小值点的x值，

，即，

，

，

，

由图知上的点与，

代入得：，

化简为，解得，

则，

的周期为，

.

故选：B.

5．已知，，，则、、的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先与0比较，c小于0，再a与b比较，即可判断大小.

【详解】，

因此

故选：C.

【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.

6．已知等比数列的公比为，前项的和为，且成等差数列，则（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据等差中项及等比数列前项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.

【详解】因为成等差数列，

所以.

因为等比数列的前项的和为，

所以，即，解得，

又因为等比数列的公比为，

所以由得，即，解得或.

故选：A.

7．已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数得出函数在上的单调性，再由奇偶性得出在定义域上的单调性，由单调性即可比较大小.

【详解】的因为定义在R上的函数的图象关于y轴对称，是定义在R上的偶函数，

所以是定义在R上的奇函数，

又因为时，，在上是增函数，

所以是定义在R上的增函数，

因为，所以.

故选：A.

8．已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（    ） 个.

①的最小正周期为；

②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数；

③函数在区间上是减函数；

④“函数取得最大值”的一个充分条件是“”

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】利用二倍角公式进行化简得，求出最小正周期；利用左加右减得出为偶函数；，函数单调递减；令，求出函数取最大值时x的集合.

【详解】

（1）最小正周期为 ；

（2）的图象向左平移个单位得到

，

，

所以 为偶函数；

（3）当 时，，

所以函数在上单调递减；

（4）令 ，得到，

并且，

函数取得最大值”的一个充分条件是“”.

所以正确的有3个.

故选：D

【点睛】二倍角公式的熟练运用，将函数化简为最简形式，求最小正周期，平移，单调区间，以及最值等都要熟练掌握.

9．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.

【详解】由函数的解析式可知函数在区间上单调递增，

当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，

且函数在处满足：，解得：，故，

方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，

绘制函数的图像如图中虚线所示，

令可得：，

由可知，，

则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，

原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，

很明显当，即时满足题意，

当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，

由函数的解析式可得：，故：，则，

切点坐标为，从而：，即.

据此可得：的取值范围是.

故选D.

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

10．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数__________．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用该复数为纯虚数可求得实数的值.

【详解】为纯虚数，

则，解得.

故答案为：.

11．已知函数，是的导函数，则______．

【答案】

【分析】根据商的导数的计算公式求出，然后便可得出的值．

【详解】因为，所以；

故答案为：．

12．计算：______．

【答案】

【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得.

【详解】解：

．

故答案为：．

13．等差数列的前n项和为，若，则______

【答案】

【解析】结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差，然后再由等差数列的通项公式，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

所以.

故答案为：.

14．设，，若，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.

【详解】由题意，因为满足，

所以，且，

则，

当且仅当且，

即时取得最小值.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题

15．设函数．

（1）若，求．

（2）在锐角中，为锐角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，．求b．

【答案】（1）；（2）.

【解析】利用二倍角公式及降幂公式进行化简，（1），求得与，再运用和差公式以及二倍角公式求值；（2）由，求得，再运用余弦定理求值.

【详解】（1）,

由，得，，

故，，

；

（2）由（1）得，且，

得，，

又为锐角三角形，

，

在由余弦定理可知，

故.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

16．已知向量和向量，且.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为2；（2）2.

【分析】由整理可得：；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用求得，利用正弦定理求得结果.

【详解】由得：

则：

（1）最小正周期为：

当时，

（2）由得：，则

由正弦定理可知：，即

【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.

17．已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，再根据公式进行计算可得数列的通项公式；

（2）先分为奇数和为偶数分别计算出数列的通项公式，在求前项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前项和.

【详解】（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，

，，

对于数列：当时，，

当时，，

当时，也满足上式，

，.

（2）由题意及（1），可知：

当为奇数时，，

当为偶数时，，

令，，则

，

，

，

两式相减，可得，

，

，

，

，

.

【点睛】关键点点睛：第二问中当为奇数时，求出，并对进行裂项为是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.

18．已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和；

(3)求证：.

【答案】(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，可得，，即可求得的通项公式；当时，得到，当时，利用，可判断为首项为3，公比为3的等比数列，即可求解；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可；

（3）由（1）结合等比数列的前项和公式可得.

方法一：由可得，利用错位相减法求得，进而证明；

方法二：结合二项式定理可得，根据不等式的性质可知，再利用错位相减法求解，即可证明；

方法三：用分析法证明，再结合等比数列的前项和证明即可.

【详解】（1）数列是等差数列，设公差为d，

，

化简得，

解得，，

∴，.

由已知，

当时，，解得，

当时，，

∴，，

即，

∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，

∴，.

（2）由（1）可得，，

∴，

∴

（3）由（1）可得，，

则，

方法一：

∵，

∴，

令，

，

两式相减可得

，

∴，

∴

方法二：

∵时，

，

根据“若，，则”，可得，

∴，

令，

，

两式相减可得

，

∴

∴，

∴

方法三：

令，下一步用分析法证明“”

要证，即证，

即证，

即证，

当，显然成立，

∴，

∴

【点睛】证明数列不等式，放缩法是其中一种重要的方法，放缩的目的是为了转化为等差数列，等比数列及相关数列，则可利用公式进行求解，需注意放缩的范围不能过大.

19．已知，

（1）求在处的切线方程以及的单调性；

（2）对，有恒成立，求的最大整数解；

（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.

【答案】（1）切线方程为；单调递减区间为，单调递增区间为（2）的最大整数解为（3）证明见解析

【解析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；

（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；

（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；

【详解】解：（1）

所以定义域为

；

；

所以切线方程为；

，

令解得

令解得

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）等价于；

，

记，，所以为上的递增函数，

且，，所以，使得

即，

所以在上递减，在上递增，

且；

所以的最大整数解为.

（3），得，

当，，，；

所以在上单调递减，上单调递增，

而要使有两个零点，要满足，

即；

因为，，令，

由，，

即：，

而要证，

只需证，

即证：

即：由，只需证：，

令，则

令，则

故在上递增，；

故在上递增，；

.

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.

四、双空题

20．如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,||=2,E为BC边(包含端点)上一点,则||的取值范围是_____,的最小值为_____.

【答案】          .

【解析】时，长度最短，与重合时，长度最长．然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值．

【详解】根据菱形性质可得OC,则BO.

(1)作AF⊥BC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即||∈;

(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:

则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),

所以BC:y,设E(m,)

则,其中m

对称轴为m,故当m时最小,最小值为.

故答案为：；．

【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可．