2023届河南省高三部分校高中毕业班阶段性测试（二）数学（文）试题含解析

2023届河南省高三部分校高中毕业班阶段性测试（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的交并补运算及数轴法求得结果.

【详解】由得，则，故

因为，所以，

所以由数轴法可得．

故选：C.

2．下列函数是偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义判断即可.

【详解】解：对于A：为奇函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，

故为奇函数，即B错误；

对于C：定义域为，且，

所以为奇函数，故C错误；

对于D：定义域为，且，

故为偶函数，故D正确；

故选：D

3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦、余弦公式计算即可判断选项.

【详解】由题意知，设坐标原点为，则，，

由三角函数的定义，得，

所以，

，

当时，；当时，.

故选：D.

4．在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为（    ）

A．0.5461 B．0.5519 C．0.5505 D．0.5736

【答案】B

【分析】利用诱导公式进行化简，然后查表即可得到结果.

【详解】由题意，，查表可．

故选：B.

5．一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高（单位：cm）与温度（单位：℃，）满足关系式，市场中一吨这种蔬菜的利润（单位：百元）与，的关系为，则的最大值为（    ）

A．1095.4 B．995.4 C．990.4 D．895.4

【答案】A

【分析】代入y得，结合均值不等式即可得最大值.

【详解】，

当且仅当时，等号成立.

故选：A.

6．已知函数，在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】要使分段函数在定义域上单调递增，需要在每一段上为单调递增函数，且左端点值小于等于右端点的值，确定不等式组，求出实数的取值范围

【详解】由题意得：，解得：.

故选：D

7．“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的几何意义及点斜式，将过点处可作两条切线的问题转化为方程有两解，进而转化为函数有两个零点，构造函数，再利用导数法求函数的最值即可求解.

【详解】设切点为，因为，所以，

所以切线方程为，又过点，

所以，即，

因为过点可以作两条切线，所以方程有两个解.

设，则有两个零点.

,

令，则，解得，

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减；

当时，取得极大值，也是最大值为，

要使有两个零点.需满足，解得，

所以过点可以作两条与曲线相切的直线”的充要条件是.

故选：C.

8．已知函数的一个极大值点为，若在区间上单调递增，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据极大值点的条件求出，再根据单调性求出的范围，从而得到的最大值.

【详解】依题意，于是，，即，，结合可得，，于是，此时，根据正弦函数的单调递增区间得：的单调递增区间满足，即，即在上递增，令，则在上递增，又在区间上单调递增，故，，结合得.

故选：A

9．已知函数与的图象交于点P，过点P作轴的平行线，该直线与函数的图象交于点Q，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，根据求出，结合求出，计算即可.

【详解】由题意知，设点，，

因为函数与函数图象交于点P，

所以，即，

又，有，

解得或(舍去)，所以，

由，得.

又直线轴，且与函数交于点Q，

则，

所以.

故选：A.

10．若函数满足：对任意非零实数x，均有，则我们称函数为“倒数偶函数”，若是倒数偶函数，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】利用可得出关于、的方程组，解出、的值，可得结果.

【详解】因为，

由于，即，

整理可得

，

所以，，即，解得或，

故选：C

11．已知函数则方程在区间上的实根个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由分段函数的性质分两种情况讨论，通过导数分析函数的单调性，即可得到根的个数.

【详解】因为，

所以，

所以或，

当时，

，或，

此时，

令，得，

时，，时，，

所以在单调递减，在单调递增；

，

故此时或无解，

所以此时无实根.

当时，

令，则，

或，

或，

由上一种情况可知：，

而，

所以此时或有解，

又由单调性可知：

当时只有一个解，

当时有两个解，

所以共有三个实数根.

故选：C.

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于，所以构造函数，利用导数判断其单调性，从而可比较出的大小，再由结合的单调性可判断的大小，从而可比较出三个数的大小.

【详解】，

令（），则，

当时，，所以在上递减，

因为，所以，所以，

所以，

因为，

所以，

因为在上递增，所以，

所以，所以，

所以，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，利用其单调性比较大小，属于较难题.

二、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据根号下大于等于0，再跟对数型函数特点得到，解出分式不等式即可.

【详解】由题意得，则，即，即，则，

，所以定义域为，

故答案为：.

14．已知，则______．

【答案】

【分析】对两边同时平方化简可求出，代入即可得出答案.

【详解】对两边同时平方可得：，

，

所以，

解得：，

所以.

故答案为：

15．已知函数在上单调递增，若，且，则的解集为______.

【答案】

【分析】依题意可得的图像关于点对称，即可得到，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】解：因为，所以的图像关于点对称，

因为，所以，又在上单调递增，

所以等价于，所以，即，

所以原不等式的解集为；

故答案为：

16．已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为______.

【答案】．

【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，由锐角三角形得出角范围，从而得的范围，由正弦定理得，再化为的三角函数，由的范围得出结论．

【详解】由已知，由正弦定理得，

所以，，则，

是锐角三角形，

所以，，所以，，

所以．

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

(1)求的解析式；

(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．

【答案】(1);

(2)与.

【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式；

（2）结合函数特点，分与两种情况下进行求解.

【详解】(1)的图象向右平移个单位长度，得到,

再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

(2)，

当时，，所以，

因为，所以，

故当，即时，取得最大值，最大值为2；

当时，，所以，

因为，所以，

故当，即时，取得最大值，最大值为2；

两者取到的最大值相同均为2，

综上：求在区间上的所有最大值点有与.

18．如图所示，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影为，，，且．

(1)求A与C两点的海拔高度差；

(2)已知该地大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是（），是海平面大气压强，设A，C两处测得的大气压强分别为，，估计的值．

参考数据：，．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）如图两点的海拔高度差为可求解；（2）利用公式即可求解.

【详解】(1)如图，作,

所以，

在△中，因为，

所以，由正弦定理得 ,

解得，同理，

作,

所以，

所以两点的海拔高度差为.

(2)设A，C两处的海拔高度为，

由题可知，

由得，，

所以估计的值为.

19．已知函数的图象关于原点对称．

(1)求的单调区间和最值；

(2)若存在实数满足，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）首先根据函数关于原点对称求出参数，的值，然后利用导数求解函数的最大值与最小值即可.

（2）首先令，将原式分参整理成，然后构造新函数，通过导数求解的值域，进而求出的取值范围.

【详解】(1)关于原点对称，.

，，

，.

得，经验证符合题意；

，

当时，，

在上单调递增；

当或时，，

在和上单调递减；

当时，，当时，，

，.

的最小值为，最大值为.

(2)由，得，

由（1）易知，，

令，，

得.

令，

，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

，，，

，

的值域为，

.

20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)若，D为边上一点，且，求的值.

【答案】(1)；

(2)2．

【分析】（1）由二倍角公式变形后可得；

（2）中由余弦定理求得，然后求得，在中由余弦定理求得，从而可得结论．

【详解】(1),

；

(2)由余弦定理，，，

，

记，

由得，解得（负值舍去），

即，所以，．

21．已知函数．

(1)设曲线在点处的切线为，求与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若，证明：曲线与直线仅有一个交点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求出直线的方程，可求出该直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）构造函数，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.

【详解】(1)解：，则，则，，

所以，直线的方程为，即，

在直线的方程中，令，可得，

所以，直线分别交、轴于点、，

因此，直线与坐标轴围成的三角形的面积为.

(2)解：令，

，.

（i）当时，，则，所以，函数在上单调递增，

因为，，

由零点存在定理，可知，函数在上存在唯一零点；

（ii）当时，，则方程有两个不等实根，设为、，

由韦达定理可得，所以，，且

由可得，由可得或，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、，

因为

，

令，，则，

所以，函数在上单调递减，故，

即，故当时，，且，

又因为，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点，

即函数在上存在唯一零点.

综上所述，当时，曲线与直线仅有一个交点

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

22．已知函数.

(1)若，求的最小值；

(2)若恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及导数法则，结合导数法求函数的最值即可求解；

（2）将恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数法求函数的最值得出，进而得出，要使恒成立，只需要即可，结合导数法求函数最值即可求解.

【详解】(1)若，则，，．

∵在上单调递增，且，

∴当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

(2)，恒成立，即恒成立，令，，∴．

下面证明：当且时，恒成立．（）

设，则，当时，，当时，，

∴，即．∵，∴．

要证明，只需证明，即证明，

令，则，，

当时，，当时，，∴．从而命题（）成立．

综上可知，a的取值范围是．

【点睛】解决此题的关键是第一问利用函数的零点存在性定理及导数法求函数的最值即可，第二问将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数法即可求解.