2023届江西高三联合测评卷数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西高三联合测评卷数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解不等式可得或，再利用集合的补集和交集运算即可得解.
【详解】或，
故选：C.
2．给出下列命题：
①“若，则”的逆命题为“若，则”；
②“，”的否定是“，”；
③命题“若，则”的否命题为“若，则”；
④“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则”．
其中正确的命题序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】A
【分析】根据逆命题、全称命题的否定、否命题、逆否命题的定义逐一判断即可.
【详解】“若，则”的逆命题为“若，则”，①正确；
“，”的否定是“，”，②正确；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，③不正确；“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则”，④不正确.
故选：A
3．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性可得充分性成立，举出反例推出必要性不成立，得到答案.
【详解】因为单调递增，且定义域为，
由“”成立可推出，继而可得到；
当时，比如，，此时无意义，故推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为）
A．64B．70C．76D．60
【答案】A
【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重，利用余弦定理即可求出得解．
【详解】
如图，设该学生的体重为,则.
由余弦定理得.
所以
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键利用向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形．
5．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】将两边平方化简可得，再根据投影公式求解即可.
【详解】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的数量是.
故选：A
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用两角和的正弦公式对已知等式化简，可求出，然后两边平方化简可求出，再利用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
故.
故选：C.
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.
【详解】解：因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
故选：D．
8．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】讨论a的取值，可知a=0符合题意，当 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a的范围,综合可得答案.
【详解】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是,
故选:A.
9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形面积可得，结合余弦定理求得，继而求得，可得答案.
【详解】因为△ABC的面积为，，故，
即，
由于，
故，故 ，
所以，
所以的周长为 ，
故选：C
10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】A
【分析】根据三角函数图象平移中，讨论先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况，再逐个选项判断即可.
【详解】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数，故A正确，B错误；
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数，.故C，D错误.
故选：A.
11．已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据可变形为，构造函数，判断其奇偶性、单调性，据此分类解不等式或即可.
【详解】当时，，
所以当时，，
令，则当时，，
故在时，单调递减，
又因为在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，
故在R上单调递减，因为，所以，
当时，可变形为，即，
因为在R上单调递减，所以且，得；
当时，可变形为，即，
因为在R上单调递减，所以且，得；
综上：不等式的解集为.
故选：B.
12．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果．
【详解】解：令，所以，
当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，当且仅当时取等号，令，可得，
令，，则在时，，
在上单调递增，
，时，．，
令，则，
所以当时，当时，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当，可得，所以最小，
设，则，
在上单调递增，，
，
，
综上可得；
故选：C
二、填空题
13．函数的单调递增区间是______________.
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，再求导，令导函数大于等于0，解不等式，求出答案.
【详解】的定义域为R，
且，令，解得：，
即函数的单调递增区间是.
故答案为：
14．已知是定义域R上的奇函数，当时，，若，则______.
【答案】2
【分析】根据函数的奇偶性与可得，再代入解析式求解即可.
【详解】因为定义域R上的奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.
故答案为：2
15．如图是构造无理数的一种方法：线段；第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中；第二步，以为直角边作直角三角形，其中；第三步，以为直角边作直角三角形，其中；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如，，…，则______.
【答案】
【分析】结合正余弦值以及平面向量的数量积进行求解.
【详解】解：由题意得：
，，，
所以，
，
所以
所以.
故答案为：
16．已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【分析】将原方程可化为，得到，，求得函数的值域，作出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】原方程可化为，
解得，，
因为，则，，
的图象如图所示：
因为方程恰有两个不同的实数根，
所以当时，则，解得；
当时，，此时方程有三个不同的实数根，不成立；
当时，则，此时无解；
当时，则，解得；
当时，此时方程无实数根，不成立；
综上：或，
故答案为： .
三、解答题
17．命题p：，；命题q：，.
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立的解题思虑，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）与（1）同理，再根据正难则反的思想，可得答案.
【详解】(1)若命题p为真命题，，，解得，故实数a的取值范围是.
(2)当命题q为假命题，则q的否定“，”为真命题，则，解得，所以q为真命题时，实数a的取值范围是；
当命题为假命题时，实数a的取值范围是或，
若命题p与命题q均为假命题，则实数a的取值范围是.
故命题p与命题q中至少有一个为真命题时，，所以实数a的取值范围是.
18．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)，求边长a.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意结合正弦定理可得到，然后利用余弦定理即可得到答案；
（2）利用可得到，然后利用余弦定理即可得到答案
【详解】(1)由可得，
即，
所以由正弦定理可得，
所以，
因为，所以；
(2)∵，
∴即，所以，
∴，
所以
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求实数a的值；
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由题意，直线的斜率为，结合垂直直线斜率积为与导数的几何意义求解即可；
（2）由题意当时，，即恒成立，再构造函数，求导分析函数的最大值即可.
【详解】(1)由题意知，直线的斜率为 ，且，故切线斜率，故.
(2)由题意知，.因为函数在上单调递增，
所以当时，，即恒成立.
令，则，时，，时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.
故实数a的取值范围．
20．如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中
(1)试用与表示、；
(2)求证：为定值，并求此定值；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)；；
(2)证明见解析；定值为2；
(3)
【分析】（1）利用向量的运算法则求解；
（2）利用向量的运算法则得到，结合三点共线即可证明；
（3）设，利用三角形的面积公式得到，即可得到，通过和可得到，即可求得答案
【详解】(1)由题意可得，；
(2)因为，，所以，
所以，
∵三点共线，∴即，
故为定值，定值为2；
(3)设，∵，，，
∴，，
∴，
∵，，∴，
所以当时，取得最大值；当或时，取得最小值，即，
∴
21．如图，从A地到C地有两条路线，第一条经过B地，第二条经过D地，且B地与C地相距10千米．小华和小明从A地同时出发，前往C地游玩．小华选择第一条路线前往C地，小明选择第二条路线前往C地．已知，．
(1)若小华以速度v（单位：千米/小时）匀速前往，且50分钟之内（包含50分钟）到达C地，求v的最小值；
(2)若小华以20千米/小时的速度匀速前往C地，小明以60千米/小时的速度匀速前往C地，由于堵车，小明在路上停留了15分钟，试问小华和小明谁先到达C地？
【答案】(1)千米/小时
(2)小明先到达C地
【分析】（1）先由正弦定理求得千米，由题意列不等式，即可解得v的最小值；（2）分别求出千米和千米，求出小明所用的时间和小华所用的时间，即可判断.
【详解】(1)因为，所以千米，．
在中，由正弦定理可得，则千米．
由题意可得，则，即v的最小值为千米/小时．
(2)在中，由余弦定理可得
，则千米，
因为，，所以．
在中，由正弦定理得，则千米，
故小明所用的时间分钟．
小华所用的时间分钟．
因为，
且，所以，
即小明先到达C地．
22．已知函数.
(1)若，试讨论的单调性；
(2)若有三个极值点，求a的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导得，然后分和讨论导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）由题意可得恰有3个互不相等的实根，分别记为，，，由于，所以为的一个根，则可得方程有2个异于的实根，令，然后分和两种情况利用导数讨论函数的零点情况，从而可求出a的取值范围.
【详解】(1)，.
若，则，，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，令，得，，
①当即时，或，在和上单调递增，，在上单调递减；
②当即时，或，在和上单调递增，，在单调递减；
③当即时，恒成立，故在R上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
(2).
若有3个极值点，则恰有3个互不相等的实根，分别记为，，.
因为，所以为的一个根.
所以方程有2个异于的实根.
令，则.
①当时，在R上单调递增，所以至多有1个根，不符合题意．
②当时，令，即，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，．
当，即时，，至多有1个零点，不符合题意．
当时，，，，
令，，所以在递减，
所以，即
所以，且，
所以存在，，使得，，
所以当时，若，则，，则，
，则，所以有3个极值点，，．
所以a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用导数解决函数极值点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为恰有3个互不相等的实根，而，所以进一步转化为方程有2个异于的实根，然后构造函数，利用导数求其零点即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.