山东省济南市历城区2022-2023学年八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1.    给出四个实数，，，，其中无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    如图．已知小华的坐标为小亮的坐标为，那么小东的坐标应该是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    若点，都在直线上，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法比较大小

5.    若中、、的对边分别是，，，下列条件不能说明是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

6.    如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    当，时，函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图所示，点所表示的数为，则(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.    一次函数的图象经过点，每当增加个单位时，增加个单位，则此时函数图象向上平移个单位长度的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在直角坐标系中，等腰直角的点是坐标原点，的坐标是，直角顶点在第二象限，等腰直角的点在轴上移动，我们发现直角顶点点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 的立方根等于______ ．
12. 点在轴上，则______．
13. 为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，在上且通过计算可得______填“”或“”或“”
14. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形若，，则中间小正方形的面积是______．

15. 一次函数为常数，且的图象如图所示，则方程的解为______．

16. 如图，已知直线与，轴交于，两点，在内依次向右作正方形，使一边在轴上，一个顶点在边上，作第个正方形，点在轴上，从第个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第个正方形，第个正方形，，则第个正方形的边长______．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. ；
    ；
    ；
    ．
18. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
    判断的形状，并说明理由；
    求的面积及边上的高．
     
19. 在中，，，，求的面积．
    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
    作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．

20. 已知点是平面直角坐标系中的点．
    若点在第四象限的角平分线上，求得值；
    若点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，请确定点的坐标．
21. 已知，两地相距千米，甲，乙两车都从地出发，沿同一条高速公路前往地，甲比乙早出发小时，如图所示的，分别表示甲乙两车相对于出发地的距离千米与乙车行驶时间小时之间的关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：
    表示______甲或乙车相对与出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系；分别求出，对应的两个一次函数表达式；
    求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少时间？

22. 观察下列一组等式，解答问题：
    ，
    ，
    ，
    ，
    第个式子是______，第个式子是______；
    根据上面的规律，计算下列式子的值．
    ．
23. 如图，在中，，，，若动点从点出发，沿着三角形的三边，先运动到点，再运动到点，最后运动回到点，，设点的运动时间为．
    当为何值时，点恰好在的垂直平分线上？
    当为何值时，点在上，且恰好在的角平分线上？

24. 某移动通讯公司开设了两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长，使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元；类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元，若一个月通讯分钟，两种方式的费用分别为和元．
    分别写出，与之间的函数关系式；
    某人估计一个月内通话时间为分钟，应选哪种移动通讯方式合算些？请书写计算过程；
    李师傅用的是卡，他计算了一下，若是用卡，他本月的话费将会比现在多元，请算一下本月李师傅实际的话费是多少元？
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
    
    点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______；
    求点的坐标；
    点是轴上一动点，若，直接写出点的坐标．
    在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数，，，中，无理数是．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：的算术平方根为，即，故A不符合题意；
根据公式可得，故B符合题意；
、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．
本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：
．
小东的坐标应该是．
故选：．
根据“小亮的坐标为”建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又点，都在直线上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
，
，
，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：轴是的对称轴，
点与点关于轴对称，
而点的坐标为，
，
轴是的对称轴，
点与点关于轴对称，
．
故选：．
先利用关于轴对称的点的坐标特征得到，然后根据关于轴对称的点的坐标特征易得点坐标．
本题考查了坐标与图形变化对称：关于轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于直线对称，则，关于直线对称，．
 

7.【答案】 

【解析】解：由一次函数图象与系数的关系可得，
当，时，函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
根据，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
点所表示的数．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解；由题意可知一次函数的图象也经过点，
，
解得
此函数表达式是，
函数的图象向上平移个单位长度的表达式为，
故选：．
根据题意得出一次函数的图象也经过点，根据待定系数法求得解析式，进而根据平移的规律即可求得平移后的函数解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当与轴平行时，过作轴，过作轴，交于点，如图所示，
等腰直角的点是坐标原点，的坐标是，
，
，，，
坐标为；
当与原点重合时，在轴上，
此时，即，
设所求直线解析式为，
将两点坐标代入得：，
解得：．
则这条直线解析式为．
故选：．
抓住两个特殊位置：当与轴平行时，求出的坐标；与原点重合时，在轴上，求出此时的坐标，设所求直线解析式为，将两位置坐标代入得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求直线解析式．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】，
的立方根是．
故答案为：．
利用立方根的定义解答．
本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
根据轴上点的横坐标为，列方程即可求出的值．
本题考查了点的坐标，是基础题，熟记轴上点的横坐标为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．依据勾股定理即可得到，，，再根据中，，即可得到．
【解答】
解：，，，
，，，
，
又中，，
，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
在中，，
小正方形的边长，
小正方形的面积为．
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，方程的解为，
故答案为：．
根据图象即可确定方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与、轴交于、两点，
，，
，，
．
四边形为正方形，
，
同理得：，
依此类推，第个正方形的边长等于．
故答案为：．
根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第个正方形的边长等于．
本题考查了一次函数，解题时，将一次函数、正方形的性质及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律．
 

17.【答案】解：

；




；



；



． 

【解析】先化简，再算加减即可；
先化简，再根据乘法的分配律进行运算即可；
利用完全平方公式进行运算即可；
先化简，再进行约分即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：为直角三角形，
理由：由题意得：
，
，
，
，
为直角三角形，
；
设边上的高为，
由得：
，，，
的面积，
的面积，
，
，
的面积为，边上的高为． 

【解析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
利用的结论可得，，，从而求出的面积，然后再求出边上的高．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，在中，，，，
设，则有，
由勾股定理得：，，
，
解之得：，
，
． 

【解析】设，由表示出，分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于的方程，求出方程的解得到的长，即可求出三角形面积．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

20.【答案】解：点在第四象限的角平分线上，
，
；
点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，
，
，
，
，
 

【解析】根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答；
根据第三象限点的坐标特征为，然后列出方程进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
 

21.【答案】乙 

【解析】解：根据题意，直线表示乙车相对与出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系，
故答案为：乙；
设直线为，把点，代入得，
解得，
直线为；
设直线为，把点代入得到，
直线为；
由题意，得，
解得，
所以乙车追上甲车时，乙车行驶了小时，
根据待定系数法即可解决问题．
列方程即可解决问题．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用一次函数的性质，学会转化的思想，把问题转化为方程或方程组解决，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：由题意得：
第个式子是，第个式子是，
故答案为：；；




．
从数字找规律，即可解答；
利用分母有理先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】解：当点在上时，连接，
由勾股定理得，

点恰好在的垂直平分线上，
，
，
解得，
当在上时，，
点运动的路程为，
，
或时，点恰好在的垂直平分线上；
过点作于，则，

在中，由勾股定理得，
，
解得，
时，点在上，且恰好在的角平分线上． 

【解析】分点在上或在上，分别计算即可；
过点作于，利用角平分线的性质得，在中，由勾股定理列方程，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可得，
，；
当时，
，，
，
某人估计一个月内通话时间为分钟，应选A种移动通讯方式合算些；
设本月李师傅实际的话费是元，
，
解得，
答：本月李师傅实际的话费是元． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出，与之间的函数关系式；
将代入中的函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可；
根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
 

25.【答案】     

【解析】解：令得：，
．

令得：，解得：，
．
．
在中，．
故答案为：，，；

由折叠的性质可知，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；

，，
，
设点的坐标为，
，
解得：或，
点的坐标为或；

存在，理由如下：
若，，如图，过点作交于点，

，，
，，
，
，，
≌，
，
．
此时点的坐标为；
若，，如图，过点作交点，

同理可得，此时点的坐标为；
若，，如图，过点作交于点，交于点，

，
，
，
，
≌，
，，
设点的坐标为，
，解得：，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或
直接利用直线：求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长；
由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解；
首先求出，进而得出，然后设出点的坐标，建立方程求解即可；
分三种情况：若，；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键．其中，要注意分类求解，避免遗漏．