上海市徐汇区西南模范中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份上海市徐汇区西南模范中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了0分，0分），【答案】D，【答案】B，【答案】47，【答案】4等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如果两个相似三角形对应边之比是：，那么它们的对应中线之比是(    )A. ： B. ： C. ： D. ：在中，，，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，线段，相交于点，若，，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 已知二次函数的图像如图所示，那么、、的符号为(    )
 A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，如图，中，，，，将沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )
 A.  B.
C.  D. 如图，已知菱形的边长为，是的中点，平分交于点，交于点若，则的长是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）已知，那么______．计算： ______ ．上海与杭州的实际距离约千米，在比例尺为：的地图上，上海与杭州的图上距离约______ 厘米．某滑雪运动员沿着坡比为：的斜坡向下滑行了米，则运动员下降的垂直高度为______米．将抛物线向下平移，如果平移后的抛物线顶点落在直线上，那么得到新抛物线的函数解析式是______．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是______．是的中线，点是的重心，若，，则______．在中，，，是的边上的点，且，则______．如图，在中，，的正切值等于，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．
如图，正方形的边长为，内部有个大小相同的小正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边、、、上，则的正切值是______．
 如图，四边形中，，，，与交于点，若，，则的面积为______．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
如图，已知，与之间的距离为“等高底”的“等底”在直线上，点在直线上，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于点，则______． 三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）计算：． 四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知抛物线经过点，顶点为；
求抛物线的表达式；
设抛物线对称轴与轴交于点，连接、，求的面积．本小题分
如图，已知中，，，点在边上，：：．
求的值．
在图中求作向量：在、方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．
本小题分
每年的月日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．
若，求此时云梯的长．
如图，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
参考数据：，，
 本小题分
如图，正方形中，、分别是、上的点，于点．
如图，如果点是的中点，求证：；
如图，如果，联结，求证：．
本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为其对称轴与线段交于点，与轴交于点联结，，已知．
求的值；
求的正切值；
若点在线段上，且，请直接写出点的坐标．
本小题分
如图，在中，，平分，交于点，，交于点．

若，，求的长；如果是等腰三角形，请直接写出的值；
如图，和是的个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：两个相似三角形对应边之比是：，
又相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
它们的对应中线之比为：．
故选B．
利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．
本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；
相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 2.【答案】 【解析】解：，，，
，
故选：．
根据正弦的定义解得即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 3.【答案】 【解析】解：，，，，
，
即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．
 4.【答案】 【解析】解：二次函数图象开口向下，
，
对称轴，
，
二次函数图象与轴的正半轴相交，
，
，，．
故选：．
根据二次函数图象开口向下确定出为负数，根据对称轴结合为负数确定出的正负情况，根据二次函数图象与轴的交点即可确定出的正负情况，从而最后得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点与系数的关系是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】【试题解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】
解：阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
故选D．
   6.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，

菱形的边长为，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
则的长是．
故选：．
过点作于点，过点作于点，根据，可得，所以，然后证明是的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 7.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据合比性质计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识．注意去括号时符号的变化．
 9.【答案】 【解析】解：设上海与杭州的图上距离为厘米．
千米厘米，
：：，
解得．
故答案为．
设上海与杭州的图上距离为厘米，根据比例尺的意义列出方程：：，解方程即可．
本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键．注意单位要统一．
 10.【答案】 【解析】解：设运动员下降的垂直高度为米，
斜坡的坡比为：，
他水平前进了米，
由勾股定理可得：，
，
，
即运动员下降的垂直高度米，
故答案为：．
根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
顶点坐标；
把代入得，，
平移后的抛物线的顶点为，
新抛物线的解析式为：．
故答案是：．
求得平移后的顶点坐标，然后根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 12.【答案】 【解析】解：二次函数，
该函数的开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
故答案为：．
将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到随的增大而增大时的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 13.【答案】 【解析】解：，是的中线，

，
，
，
设，则，
，，
，
解得舍或，
，
点是的重心，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的三线合一性质得，再解直角三角形求得，进而根据重心定理得便可求得结果．
本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是综合应用这些知识解题．
 14.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
由，，证明∽，得，即可由，，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∽是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
故答案为：．
由锐角的正切定义，相似三角形的性质，即可求解．
本题考查锐角的正切定义，相似三角形的性质，关键是掌握并灵活应用以上知识点．
 16.【答案】 【解析】解：正方形的对边，
，
，
个小正方形大小相同，
，
在和中，
，
≌，
，
过点作于，则四边形是矩形，
所以，，，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
的正切值，
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据等角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，过点作于，可得，再求出和相似，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后根据锐角三角函数求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出相似三角形和全等三角形．
 17.【答案】 【解析】解：过点作于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，解求出、，再由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，由勾股定理求得，再证明∽，求得，进而求得，最后由三角形面积公式求得结果．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
 18.【答案】或或 【解析】解：当时，
Ⅰ如图，作于，于，

“等高底”的“等底”为，，与之间的距离为，，
，，
，即，
，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，
设，
，
，
，即，
，
，．
Ⅱ如图，此时等腰直角三角形，

绕点按顺时针方向旋转得到，
是等腰直角三角形，
．
当时，
Ⅰ如图，此时是等腰直角三角形，

绕点按顺时针方向旋转得到，
，
；
Ⅱ如图，作于，则，

，
，
绕点按顺时针方向旋转，得到时，点在直线上，
，即直线与无交点，
综上所述，的值为或或．
当时，画出图形分两种情况分别求得或；当时，画出图形分两种情况讨论，求得．
本题属于几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
 19.【答案】解：原式


． 【解析】本题特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握分母有理化、二次根式等考点的运算．
 20.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得，
所求抛物线的表达式为；
作于点，
由抛物线可得，
点的坐标为，点的坐标为，
，
对称轴为直线，
，
的面积． 【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，解题的关键是正确求出抛物线的解析式．
把点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值即可；
由中函数解析式得到对称轴为，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．
 21.【答案】解：如图，过点作交于点．

在中，，
，
设，，
，
，
∽，
，
，，
，
；

如图，，即为所求．
 【解析】如图，过点作交于点设，，利用相似三角形的性质求出，，可得结论；
利用平行四边形法则解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 22.【答案】解：在中，，，
，
此时云梯的长为；
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在中，，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据题意可得，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 23.【答案】证明：如图，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
．
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】由四边形是正方形，，得，而，即可证明∽，得，因为，，所以，整理得；
由∽，得，变形得，因为，，所以，再证明，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，得，则，即可证明．
此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．
 24.【答案】解：令，则，
，
，
，
，
，
，
将点代入中，
，
解得；
，
，
令，则，
解得或，
，
连接，
，，，
，，，
，
，
；
过点作交于点，
，，，
，，，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，
，
解得或，
当点在点下方时，是钝角，
舍，
 【解析】利用，求出点坐标，再将点代入中，即可求的值；
连接，利用勾股定理判断出，再求；
过点作交于点，利用等积法，求出，再由，求出，设，根据，解出的值即可求点的坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角形函数值，勾股定理是解题的关键．
 25.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
是等腰三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
，
，
，
，
又，
，
设，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
过点作于点，

，
，
 【解析】证出，由等腰三角形的判定得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质可求出的长；
根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
证出，由题意可得出，设，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，过点作于点，则，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．