河南省商丘名校联盟2022-2023学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年上期期中联考高二数学试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若直线的方向向量，则直线的斜率是（    ）

A. B. C.3 D.

2.椭圆的离心率是（    ）

A. B. C. D.

3.若曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

4.如图，在平行六面体中，（    ）

A. B. C. D.

5.已知，两点到直线的距离相等，则（    ）

A.2 B. C.2或 D.2或

6.设为实数，若直线与圆相交于，两点，且，则（    ）

A.3 B. C.3或 D.或1

7.直三棱柱中，为等边三角形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

8.“直线与直线相互垂直”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

9.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）

A. B. C. D.

10.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11.过圆内一点作直线交圆于，两点，过，分别作圆的切线交于点，则点的坐标满足方程（    ）

A.  B.

C.  D.

12.如图，四棱雉中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为60°，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设直线与圆相交于A，B两点，且圆上存在一点使得，则实数的值为______.

14.若，，，则的外接圆面积为______.

15.已知点，，M是椭圆上的动点，则最大值是______.

16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，若是曲线上任意一点，则的最小值是______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知直线经过点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若的方程是，直线与相切，求直线的方程.

18.（本题满分12分）

如图，在四棱雉中，底面，底面为梯形，，，且，.

（1）若点F为上一点，且，证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本题满分12分）

一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点.

（1）求点的坐标；

（2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程.

20.（本题满分12分）

圆.

（1）若圆与轴相切，求圆的方程；

（2）已知，圆与轴相交于两点M，N（点在点的左侧）.过点任作一条直线与圆相交于两点A，B.问：是否存在实数，使得.若存在，求出实数，若不存在，请说明理由.

21.如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，且，.

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值.

22.（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的右焦点为，如图，过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，设直线和的斜率为，，证明：为定值，并求出该定值.

2022-2023学年上期期中联考

高二数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.D  【解析】因为，所以.故选D.

2.B  【解析】，故选B.

3.B  【解析】由，得，

由该曲线表示圆，可知，解得或，故选B.

4.B  【解析】连接、，可得，又，所以.故选B.

5.D  【解析】因为，，两点到直线的距离相等，

所以有，或，故选D.

6.C.  【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，则由已知得，解得或，故选C.

7.B  【解析】如图所示，取的中点D，以D为原点，，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则,,,

所以，平面的一个法向量为，设与平面.所成角为，

向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B.

8.B  【解析】因为直线与直线相互垂直，所以，所以.当时，直线与直线相互垂直，而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，故选B.

9.  【解析】因为，，所以，则,，由点到直线的距离公式得，故选A.

10.D  【解析】如下图所示，设，则，，所以，，所以，由椭圆定义可得，∴，∴，所以，，所以，为等腰直角三角形，可得，∴，所以，该椭圆的离心率为.故选D.

11.A  【解析】设，则以为直径的圆，即①，因为，是圆O的切线，所以，，所以A，B在圆M上，所以AB是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，所以由①②得直线的方程为：，又点满足直线方程，所以，即.故选A.

12.B  【解析】取中点，连接，，如图，则由已知得，，所以为二面角的平面角，所以，又，，

中，，，所以，由，，平面，得平面，又平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，平面的一个法向量是，，所以与平面所成角的正弦值为.故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 14. 15. 16.2

13.【解析】∵点M在圆上，且，∴直线过圆心，∴，解得.

14.【解析】如图，计算斜率得，即，所以是直角三角形.又，故面积：.

15.【解析】椭圆，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.

当不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线BF与椭圆交点上时，若在第一象限交点时，有，在第三象限交点时，有.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.

16.【解析】

当，时，曲线C的方程可化为；

当，时，曲线C的方程可化为；

当，时，曲线C的方程可化为；

当，时，曲线C的方程可化为；

由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，

因为到直线的距离为，所以，当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，

因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，

所以圆心到的距离，

从而.即.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）因为直线l与直线垂直，设直线l的方程为，

因为直线l过点，所以，解得.

所以直线l的方程为.……4分

（2）的方程化为标准形式是，

圆心，半径，……5分

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，

圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；……6分

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，

由直线l与相切，得，解得，……8分

所以直线l的方程是，即.……9分

综上所述，直线l的方程是或.……10分

18.【解析】

（1）作交于，连接.

∵，∴，又且，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面……6分

（2）∵平面，平面，∴

又，，∴

则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，

∴，，

设平面的法向量，则，

令，则，，∴

设直线与平面所成角为

∴.……12分

19.【解析】

（1）设关于的对称点为，（由反射的性质，可知点F，P，三点共线）

则且，解得，，即，

易得直线方程为，

由，解得.……6分

（2）因为，根据椭圆定义，

得，

所以.又，

所以.所以椭圆C的方程为.……12分

20.【解析】

（1）由得，……2分

因为圆与y轴相切，所以，解得或4，……3分

故所求圆C的方程为或.……4分

（2）令得，

解得或，而，即，.……5分

假设存在实数a，设，，

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

由得，……6分

根据韦达定理有，……7分

又，即、的斜率互为相反数，……8分

∴，即，

即，

所以，解得.……10分

当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，

即NA、NB的斜率互为相反数.……11分

综上所述，存在，使得.……12分

21.【解析】

（1）在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.

在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，，而，，所以，，

所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，

∴，∴，因此点在平面内.……6分

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、、、，

，，，，

设平面的一个法向量为，

由，得，取，得，则，

设平面的一个法向量为，

由，得，取，得，，则，

设二面角的平面角为，则，∴.

因此，二面角的正弦值为.

22.【解析】

（1）设椭圆C的半焦距为c，

因为C的短轴的一个端点的坐标为，所以，，

因为，所以.得，所以，

所以椭圆C的方程为.……4分

（2）设直线MN的方程为，，，……5分

联立，消去y整理得：.

则，，……7分

所以

……9分

将，，

代入上式分子中得：，……10分

即，……11分

所以为定值，且.……12分