2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九上入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九上入学数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）某班六名同学体能测试成绩（分如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是
A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75
3．（3分）菱形的两条对角线的分别为和，那么边长是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长是
A．6B．5C．D．
5．（3分）如图，在中，，，平分，交边于点，则的长为
A．8B．6C．4D．2
6．（3分）如图，在正方形中，点是上一点，与交于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
8．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形四边的中点，得到的图形一定是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
9．（3分）若是方程的根，则的值为
A．B．1C．D．2
10．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是
A．255分B．84分C．84.5分D．86分
11．（3分）已知，，，是二次函数图象上的两点，若且，则当自变量的值取时，函数值为
A．B．C．D．
12．（3分）已知二次函数为常数），当时，的最大值是15，则的值是
A．或B．6或或C．或6D．6或或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知函数关系式：，则自变量的取值范围是 ．
14．（3分）已知，是方程的两根，则 ．
15．（3分）将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为 ．
16．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为 ．
17．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点为的中点，则线段的长为 ．
18．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论为 ．（注只填写正确结论的序号）
三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）已知一个二次函数的图象经过点、和三点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．
20．（8分）解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）用公式法解方程：．
21．（6分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 ，中位数是 ．
（2）求这10名学生的平均成绩．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
22．（8分）如图，矩形，，，过对角线中点的直线分别交、边于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，求菱形的边长．
23．（9分）庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
（1）求的长；
（2）求点和点的坐标；
（3）轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润（元与国内销售量（万件）的函数关系式为若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．
（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润（万元）与国内销售量（万件）的函数关系式，并指出的取值范围．
（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求的值．
26．（10分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；
（3）如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（4）若抛物线与直线交点的横坐标均为整数，是否存在整数的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
【分析】利用与一元二次方程定义进行分析即可．
【解答】解：、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、当时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）某班六名同学体能测试成绩（分如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是
A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75
【分析】根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．
【解答】解：、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；
、方差是：，正确，不符合题意；
、平均数是，正确，不符合题意；
、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题为统计题，考查方差、众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
3．（3分）菱形的两条对角线的分别为和，那么边长是
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．
【解答】解：菱形的两条对角线长分别为和，
该菱形的边长为，
故选：．
【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．
4．（3分）如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长是
A．6B．5C．D．
【分析】利用矩形的性质求得线段的长即可求得的长．
【解答】解：点的坐标是，点的坐标是，
线段，
四边形是矩形，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，能够求得对角线的长是解答本题的关键，难度不大．
5．（3分）如图，在中，，，平分，交边于点，则的长为
A．8B．6C．4D．2
【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
6．（3分）如图，在正方形中，点是上一点，与交于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】先证明，得到，在中利用三角形内角和可求度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，，．
又，
．
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成．
7．（3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形四边的中点，得到的图形一定是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于，则这个四边形为矩形．
【解答】解：如图，，、、、分别为各边的中点，连接点、、、．
、、、分别为各边的中点，
，，，（三角形的中位线平行于第三边），
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
，，，
，
四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
，
四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：．
【点评】本题考查了中点四边形．矩形的判定方法，常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
9．（3分）若是方程的根，则的值为
A．B．1C．D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：是方程的根，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
10．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是
A．255分B．84分C．84.5分D．86分
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（分，
故选：．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
11．（3分）已知，，，是二次函数图象上的两点，若且，则当自变量的值取时，函数值为
A．B．C．D．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，则可判断，和，关于直线对称，所以，即，然后计算自变量为2对应的函数值即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
且，
，和，关于直线对称，
，
，
当时，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
12．（3分）已知二次函数为常数），当时，的最大值是15，则的值是
A．或B．6或或C．或6D．6或或
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得的值，从而可以解答本题．
【解答】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，
当时，即，
当时，的最大值是15，
当时，，得；
当时，即时，
当时，的最大值是15，
当时，，得（舍去），；
当时，即，
当时，的最大值是15，
当时，，得（舍去）；
由上可得，的值是或6；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知函数关系式：，则自变量的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
14．（3分）已知，是方程的两根，则 ．
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
15．（3分）将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为 ．
【分析】直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．
【解答】解：设平移后的解析式为：，
将直线平移后经过点，
，
解得：，
故平移后的直线解析式为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确假设出解析式是解题关键．
16．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为 ．
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
【解答】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
17．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点为的中点，则线段的长为 ．
【分析】根据勾股定理列式求出、、，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：根据勾股定理，，
，
，
，
是直角三角形，
点为的中点，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出是直角三角形是解题的关键．
18．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论为 ②⑤ ．（注只填写正确结论的序号）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意；
②将点，代入函数表达式得：，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意；
④由②③得：，，则，故，故④错误，不符合题意；
⑤当时，函数取得最小值，即，故⑤正确，符合题意；
故答案为②⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）已知一个二次函数的图象经过点、和三点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据与的坐标设出抛物线的解析式，把坐标代入确定出即可；
（2）把解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
二次函数的解析式．
（2）由，
对称轴是直线，顶点坐标是．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（8分）解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）用公式法解方程：．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1），
，
，
，
，；
（2），，，
△，
则．
，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（6分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 7环 ，中位数是 ．
（2）求这10名学生的平均成绩．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
【分析】（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，
（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．
【解答】解：（1）射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，
故答案为：7环，7环．
（2）环，
答：这10名学生的平均成绩为7.5环．
（3）人，
答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．
【点评】考查平均数、众数、中位数的意义及求法，理解样本估计总体的统计方法．
22．（8分）如图，矩形，，，过对角线中点的直线分别交、边于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，求菱形的边长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，判定，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在中，由勾股定理得出方程，解方程求出的长即可求得菱形的边长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，是的中点，
，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：当四边形是菱形时，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
菱形的边长为．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
23．（9分）庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
【分析】（1）设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为．根据题意2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元．根据题意得方程求解；
（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．
【解答】解：（1）设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为，则2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元，
根题意得：，
解得：（舍去）或．
该种植户每年投资的增长率为；
（2）2019年该种植户投资额为：（万元）．
【点评】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中为共增长了几年，为第一年的原始数据，是增长率．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
（1）求的长；
（2）求点和点的坐标；
（3）轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长，
（2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则．，中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点．
（3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标．
【解答】解：（1）令得：，
．
令得：，解得：，
．
．
在中，．
（2），
，
．
设，则．
在中，，即，解得：，
．
（3）存在，理由如下：
，
．
点在轴上，，
，即，解得：，
点的坐标为或．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
25．（10分）某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润（元与国内销售量（万件）的函数关系式为若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．
（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润（万元）与国内销售量（万件）的函数关系式，并指出的取值范围．
（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求的值．
【分析】（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；
（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件
则该公司每年在国内销售的件数的范围为：
则总利润
按照值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．
【解答】解：（1）
（2）由（1）知，当时，的最大值为435；
当时，的最大值为时的值，即451，
当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件
该公司每年在国内销售的件数的范围为：
则总利润
显然当时，的值小于393，
当时，，当时，令
解得，
当时，令，解得
从国内销售的每件产品中捐出元给希望工程
不符合题意．
时国内国外销售的最大总利润为393万元．
【点评】本题考查了二次函数在成本利润问题中的应用，前两问相对比较简单，第三问由于含有两个变量，分析难度较大，总体来说，本题中等难度略大．
26．（10分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 等腰 三角形；
（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；
（3）如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（4）若抛物线与直线交点的横坐标均为整数，是否存在整数的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．
（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出的值．
（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点为对称中心的矩形，那么必须满足，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用表示出、的长，通过这个等边三角形来列等量关系求出的值，进而确定、的坐标，即可确定、的坐标，利用待定系数即可求出过、、的抛物线的解析式．
（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定的整数值．
【解答】解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点必在、的垂直平分线上，所以，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故答案为：等腰．
（2）当抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点，，满足．
则．
（3）存在．
如图，作与关于原点中心对称，则四边形为平行四边形．
当时，平行四边形是矩形，
又，
为等边三角形．
，
作，垂足为，
．
．
．
，，，．
，，，．
设过点、、的抛物线为，则
，
解得，
故所求抛物线的表达式为．
（4）由，，
当为整数时，须为完全平方数，设是整数）整理得：
，即
两个整数的积为3，或或或
解得：或或或，
综上，得：或；
根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，
当时，抛物线方程为，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；
当时，抛物线方程为，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；
抛物线与直线交点的横坐标均为整数时或．
【点评】本二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况，解题的思路并不复杂，但计算过程较为复杂，间接增大了题目的难度．
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日期：2021/8/10 15:52:38；用户：15073336306；邮箱：15073336306；学号：20793157环数
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