辽宁省沈阳市第一三四中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年辽宁省沈阳134中九年级（上）期中数学试卷

一．选择题（每小题2分）

1．（2分）对于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（　　）

A．2 B．3 C．﹣3 D．1

2．（2分）若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2分）如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（　　）

A． B． C． D．

4．（2分）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（　　）

A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 

C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度

5．（2分）下列说法不正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的矩形是正方形 

B．对角线相等的菱形是正方形 

C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 

D．邻边相等的矩形是正方形

6．（2分）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，3） 

B．图象分别位于第一、三象限 

C．图象关于原点对称 

D．当x＜0时，y随x的增大而增大

7．（2分）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

8．（2分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm2，那么通道宽应设计成多少m？设通道宽为xm，则由题意列得方程为（　　）

A．（30﹣x）（20﹣x）＝78 B．（30﹣2x）（20﹣2x）＝78 

C．（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78 D．（30﹣2x）（20﹣2x）＝6×78

9．（2分）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　）

A．甲与丙相似，乙与丁相似 

B．甲与丙相似，乙与丁不相似 

C．甲与丙不相似，乙与丁相似 

D．甲与丙不相似，乙与丁不相似

10．（2分）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω），图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）（　　）

A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1

二．填空题（每小题3分）

11．（3分）一元二次方程x2＝7x的解是 　   　．

12．（3分）若某人沿坡度i＝1：2的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 　   　m．

13．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，则AO：OD＝　   　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，则k的值为 　   　．

15．（3分）如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，此时，树的影子有一部分映在地面上，墙上的影子高为4米，那么这棵树高约为 　   　米．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点E为AC上任一点，使点A落在点D处，连接AD、CD．若△ACD是直角三角形　   　．

三．解答题

17．（6分）解方程（2x+1）（x+2）＝3．

18．（8分）计算：（﹣1）2010×（ ）﹣3+（sin58°﹣）0+|﹣4cos60°|

19．（8分）“马拉松竞赛”的个人竞赛项目共有三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“迷你马拉松”．小王和小李参加了该赛事的志愿者服务工作

（1）求小王被分配到“迷你马拉松”项目组的概率；

（2）请用画树状图或列表法的方法，求出小王和小李被分到不同项目组的概率．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AD及其延长线上，连接BE，CF．

（1）求证：四边形EBFC是菱形；

（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．

21．（8分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了169万元．

（1）求二月份的销售额；

（2）求三、四月份销售额的平均增长率．

22．（10分）如图已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求出△ABC的面积．

（3）直接写出该二次函数图象的顶点坐标．

23．（10分）如图，直线y＝x+2分别交x、y轴于点A、C，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．

（1）求点A、C的坐标；

（2）求反比例函数解析式；

（3）在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．

24．（12分）如图，以点O为坐标原点的平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A（2，0），动点F从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点F作FM⊥OC于点M（点F不与点O、B重合），边FQ交射线OC于点Q．设点F的运动时间为t秒，（t＞0）

（1）如图1．

①求AB的长；

②连接AF，当AF平分∠OAB时，求点F的坐标；

（2）设△QMF与△OBC重叠部分图形的面积为S，当S＝时，直接写出点Q的纵坐标；

（3）当线段FQ的垂直平分线经过△OBA一边中点时，直接写出t的值．

25．（12分）菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．

（1）如图①，点O与点A重合时，点E，CD上，请直接写出CE，CA三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，请直接写出BE的长．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：根据题意得b＝﹣3．

故选：C．

2．【解答】解：∵＝，

∴＝+8＝．

故选：A．

3．【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，

故选：D．

4．【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）5的图象是由y＝﹣3x2向右平移2个单位得到的，

故选：B．

5．【解答】解：A、正确；

B、正确；

C、错误；

D、正确；

故选：C．

6．【解答】解：A．当x＝1时＝3，3），不合题意；

B．k＝5＞0、三象限，不合题意；

C．反比例函数的图象关于原点成中心对称，不合题意；

D．k＝3＞7、三象限内，所以当x＜0时，故说法错误；

故选：D．

7．【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，

解得a＝12．

经检验：a＝12是原分式方程的解，

所以a的值约为12，

故选：B．

8．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，

故选：C．

9．【解答】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，

即，

而∠AOB＝∠COD，

∴△AOB∽△COD，

∵，

∴，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC∽△BOD．

故选：A．

10．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，

把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，

∴反比例函数关系式为：I＝，

当I≤3时，则≤7，

∴R≥2，

故选：C．

11．【解答】解：x2﹣7x＝8，

x（x﹣7）＝0，

x＝6或x﹣7＝0，

所以x7＝0，x2＝7．

故答案为：x1＝0，x5＝7．

12．【解答】解：设BC＝x，AB＝2x，

则AC2＝AB3+BC2，

AC＝＝x＝10，

∴x＝10，

故所在的位置比原来的位置升高了10m．

故答案为：10．

13．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，

∴AO：OD的值为：4：3，

故答案为：3：3．

14．【解答】解：连接OC，如图，

∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，

∴S△AOC＝S△AOB＝6，

而S△AOC＝|k|＝8，

又∵k＞0，

∴k＝12．

故答案为：12．

15．【解答】解：过点A作AF∥DE交CD于点F，

则DF＝AE＝4米，△CAF∽△C′CD′．

∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：4＝CF：6．

∴CF＝4米．

∴DC＝4+4＝8（m）．

即：这棵树高8米．

故答案为：8．

16．【解答】解：如图，当∠ACD＝90°．

由翻折可知：BD＝AB＝8，AE＝DE，则EC＝6﹣x，

∵∠T＝∠DCE＝∠BDE＝∠BAC＝90°，

∴四边形ABTC是矩形，

∴BT＝AC＝6，

∵∠BDT+∠TBD＝90°，∠BDT+∠CDE＝90°，

∴∠TBD＝∠CDE，

∴△BTD∽△DCE，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝x，

在Rt△CDE中，∵DE2＝CD2+EC2，

∴x2＝（8﹣x）2+（x）2，

解得x＝或（舍弃），

∴AE＝，

当∠ADC＝90°，易证AE＝EC＝3，

故答案为或8．

17．【解答】解：（2x+1）（x+7）＝3，

整理得：2x3+5x﹣1＝8，

∵Δ＝52﹣2×2×（﹣1）

＝25+8

＝33＞0，

∴x＝，

∴x1＝，x2＝．

18．【解答】解：原式＝1×8+4+|﹣4×＝11﹣．

19．【解答】解：（1）小王被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；

（2）设三种赛事分别为2，2，3，列表得：

所有等可能的情况有6种，小王和小李被分配到不同项目组的情况有6种，

∴小王和小李被分到不同项目组的概率为＝．

20．【解答】（1）证明：∵D是BC边的中点，

∴BD＝CD，

∵CE∥BF，

∴∠DBF＝∠ECD，

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（ASA），

∴CE＝BF，

又∵CE∥BF，

∴四边形BFCE是平行四边形；

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

又∵四边形BFCE是平行四边形，

∴四边形BFCE是菱形．

（2）解：在Rt△BDE中，BE＝5，

∴DE＝＝3，

∵四边形BECF是菱形，

∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，

∴菱形BECF的面积＝×6×8＝24．

21．【解答】解：（1）125×（1﹣20%）

＝125×80%

＝100（万元）．

答：二月份的销售额为100万元．

（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，

依题意得：100（1+x）2＝169，

解得：x1＝0.6＝30%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．

答：三、四月份销售额的平均增长率为30%．

22．【解答】解：（1）把A（2，0），﹣7）代入y＝﹣x2+bx+c，

得：，解得，

∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x7+4x﹣6．

（2）∵该抛物线图象的对称轴为直线x＝﹣＝4，

∴点C的坐标为（4，3），

∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝6，

∴S△ABC＝AC•OB＝．

（3）∵y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣7）2+2，

∴顶点为（6，2）．

23．【解答】解：（1）在y＝x+7中，则x+3＝0，

解得x＝﹣4，

令x＝6，则y＝2，

∴A（﹣4，7），2）；

（2）∵A（﹣4，6），2），

∴AO＝4，OC＝6，

又∵S△ABP＝9，

∴AB•BP＝18，

又∵PB⊥x轴，

∴OC∥PB，

∴△AOC∽△ABP，

∴＝即＝，

∴2BP＝AB，

∴2BP5＝18，

∴BP2＝9，

∴BP＝6，

∴AB＝6，

∴P点坐标为（2，2）；

设反比例函数的解析式为y＝，

把点P的坐标代入，得k＝6，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（3）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞7．

24．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形OABC是矩形，0），

∴∠OAB＝90°，OA＝8，

∵∠AOB＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴OB＝2OA＝4，

∴AB＝＝＝2，

∴AB的长是2．

②作FD⊥OA于点D，则∠ADF＝∠ODF＝90°，

∵AF平分∠OAB，

∴∠DAF＝∠BAF＝∠OAB＝45°，

∴∠DFA＝∠DAF＝45°，

∴FD＝AD，

∵∠DOF＝60°，

∴∠DFO＝30°，

∴OF＝8OD，

∴FD＝＝＝OD，

∴AD＝OD，

∴OD+OD＝7，

解得OD＝﹣1，

∴FD＝（﹣1）＝6﹣，

∴点F的坐标为（﹣4）．

（2）∵OC＝AB＝2，BC＝OA＝2，

∴C（0，8），B（2，2），

∵FM⊥OC，

∴∠FMQ＝∠FMO＝90°，

∵FM＝FM，∠MFQ＝∠MFO，

∴△MFQ≌△MFO（ASA），

∴QF＝OF，QM＝OM，

如图2，点Q与点C重合，

∴CM＝OM＝OC＝，

∴∠FMO＝∠BCO＝90°，

∴FM∥BC，

∴＝＝5，

∴BF＝OF，

∴FM＝BC＝4，

∴S＝××1＝，

∵OQ＝OC＝2，

∴点Q的纵坐标为5；

如图3，点Q在OC的延长线上，

∵QF＝OF＝3t，

∴FM＝OF＝t，

∴QM＝OM＝＝＝t，

∴OQ＝6t，

∴QC＝2t﹣2，

∵∠KCQ＝180°﹣∠BCO＝90°，∠KQC＝30°，

∴KQ＝3CK，

∵KQ2﹣CK2＝（2CK）2﹣CK2＝7CK2＝QC2，

∴CK＝QC＝t﹣2，

由S＝得t×（2t﹣3）（2）＝，

整理得8t2﹣8t+5＝0，

解得t1＝，t2＝7（不符合题意，舍去），

∴OQ＝2×＝，

∴点Q的纵坐标为，

综上所述，点Q的纵坐标为4或．

（3）如图4，FQ的垂直平分线分别交x轴、OB于点G、J、I，

∵∠JOG＝∠JIQ＝90°，

∴∠AGH＝∠GJQ﹣∠JOG＝∠GJQ﹣∠JIQ＝∠FQM＝30°，

∵AH＝AB＝

∴GH＝2AH＝AB＝2，∠AHG＝60°，

∴∠OIG＝∠BIH＝∠AHG﹣∠ABO＝30°＝∠AGH，

∴OI＝OG，

∵AG＝＝＝7，

∴OI＝OG＝AG﹣OA＝1，

连接IQ，则IQ＝IF，

∴∠QIG＝∠OIG＝30°，

∴∠OIQ＝60°，

∴△FIQ是等边三角形，

∴IF＝QF＝OF＝OI＝，

∵4t＝，

∴t＝；

如图5，FQ的垂直平分线与OB的交点I为OB的中点，

∴OI＝AB＝2，

同理可得∠OGI＝∠FQM＝30°，IQ＝IF，

∴∠OIG＝∠AOB﹣∠OGI＝30°，

∴∠QIG＝∠OIG＝30°，

∴∠OIQ＝60°，△FIQ是等边三角形，

∴IF＝QF＝OF＝OI＝1，

∵2t＝1，

∴t＝，

综上所述，t的值为或．

25．【解答】解：（1）如图①中，结论：CA＝CE+CF．

理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°

∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∵∠DAC＝∠EAF＝60°，

∴∠DAF＝∠CAE，

∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°，

∴△ADF≌△ACE（ASA），

∴DF＝CE，

∴CE+CF＝CF+DF＝CD＝AC，

∴CA＝CE+CF．

（2）结论：CF﹣CE＝AC．

理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G．

∵∠GOC＝∠FOE＝60°，

∴∠FOG＝∠EOC，

∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°，

∴△FOG≌△EOC（ASA），

∴CE＝FG，

∵OC＝OG，CA＝CD，

∴OA＝DG，

∴CF﹣EC＝CF﹣FG＝CG＝CD+DG＝AC+AC＝，

（3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，

∴BH＝3，

如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点E在线段BC上时．

∵OB＝2，

∴OH＝＝6，

∴OC＝3+1＝7，

由（1）可知：CO＝CE+CF，

∵OC＝4，CF＝1，

∴CE＝4，

∴BE＝6﹣3＝6．

如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点E在线段BC上时．

由（2）可知：CE﹣CF＝OC，

∴CE＝4+5＝5，

∴BE＝1．

如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时．

同法可证：OC＝CE+CF，

∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝6，CF＝1，

∴CE＝1，

∴BE＝2﹣1＝5．

如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时．

同法可知：CE﹣CF＝OC，

∴CE＝2+1＝5，

∴BE＝3，

综上所述，满足条件的BE的值为3或8或1