湖南省娄底市涟源市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级第一学期期中数学试卷

一、题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列各选项中，两个量成反比例关系的是（　　）

A．正方形的边长和面积 

B．圆的周长一定，它的直径和圆周率 

C．速度一定，路程和时间 

D．总价一定，单价和数量

2．下列四条线段为成比例线段的是（　　）

A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B． 

C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．

3．用配方法解一元二次方程x2﹣7x+12＝0，配方后的方程为（　　）

A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣7）2＝37 D．（x+7）2＝37

4．若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0

5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

6．下列说法正确的是（　　）

A．所有的矩形都相似 

B．两个直角三角形相似 

C．两个等边三角形相似 

D．各有一个角是40°的两个等腰三角形相似

7．某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（　　）

A．10% B．20% C．90% D．110%

8．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2﹣px+q可分解因式为（　　）

A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）

9．已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定＝ad﹣bc．例如＝2×3﹣4×1＝2，则＝﹣3的根的情况为（　　）

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

11．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当I＜0.25时，R＜880 

B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0） 

C．当R＞1000时，I＞0.22 

D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25

12．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若AO＝2BO，∠AOB＝90°，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．1.5 D．0.25

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．若点A（1，﹣2）在反比例函数的图象上，则k的值是 　   　．

14．方程（2x+1）（x+2）＝3化为一般形式是 　   　．

15．若＝，则＝　   　．

16．若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 　   　．

17．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝3，则k＝　   　．

18．如图，等边△BDE的顶点D在等边△ABC的边AC上滑动，DE与AB交于点F，当AD：DC＝3：2时，AF：BF的值是 　   　．

三、解答题（每小题6分，共12分）

19．解方程：

（I）2x2﹣8x+6＝0；

（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0．

20．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．

四、解答题（每小题8分，共16分）

21．某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对烂泥湿地的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求出p与S的函数表达式；

（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少？

22．已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）若（AB﹣3）（AD﹣3）＝m，求m的值．

五、解答题（每小题9分，共18分）

23．如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．

（1）求小路的宽．

（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．

24．如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△DBE；

（2）若DE＝9cm，AE＝12cm，求DC的长．

六、综合题（每小题10分，共20分）

25．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D（2，﹣3）两点．

（1）求一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的解析式；

（2）当y1＞y2时，求自变量x的取值范围；

（3）若点Q在x轴上，且S△ACQ＝S△COD，求点Q的坐标．

26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC2＝AB•AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．

参考答案

一、题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列各选项中，两个量成反比例关系的是（　　）

A．正方形的边长和面积 

B．圆的周长一定，它的直径和圆周率 

C．速度一定，路程和时间 

D．总价一定，单价和数量

【分析】根据反比例函数定义进行分析即可．

解：A、正方形的面积＝（边长）2，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；

B、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意；

C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；

D、总价＝单价×数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．

2．下列四条线段为成比例线段的是（　　）

A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B． 

C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．

【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．

解：A、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；

B、从小到大排列，由于×＝1×，所以成比例，符合题意；

C、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；

D、从小到大排列，由于×3≠×9，所以不成比例，不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．

3．用配方法解一元二次方程x2﹣7x+12＝0，配方后的方程为（　　）

A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣7）2＝37 D．（x+7）2＝37

【分析】根据配方法即可求出答案．

解：x2﹣7x+12＝0，

∴x2﹣7x+＝，

∴（x﹣）2＝，

故选：A．

【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型．

4．若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0

【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．

解：∵k＝﹣3＜0，

∴双曲线在第二，四象限，

∵x1＜0＜x2，

∴A在第二象限，B在第四象限，

∴y1＞0＞y2；

故选：A．

【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．

5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．

解：∵AB∥CD∥EF，

∴＝，

故选：D．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．

6．下列说法正确的是（　　）

A．所有的矩形都相似 

B．两个直角三角形相似 

C．两个等边三角形相似 

D．各有一个角是40°的两个等腰三角形相似

【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．

解：A．所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；

B．两个直角三角形的对应锐角不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；

C．两个等边三角形相似，故此选项符合题意；

D、各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点评】考查相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

7．某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（　　）

A．10% B．20% C．90% D．110%

【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．

解：设平均每次降价的百分率为x，则有：

70（1﹣x）2＝56.7

∴（1﹣x）2＝0.81

∴1﹣x＝±0.9

∴x1＝10%，x2＝190%（舍）

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．

8．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2﹣px+q可分解因式为（　　）

A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）

【分析】由方程x2+px+q＝0的根是2和3，知x2+px+q＝（x﹣2）（x﹣3），据此得出p、q的值，再进一步求解即可．

解：∵方程x2+px+q＝0的根是2和3，

∴x2+px+q＝（x﹣2）（x﹣3），

则x2+px+q＝x2﹣5x+6，

∴p＝﹣5，q＝6，

∴x2﹣px+q

＝x2+5x+6

＝（x+2）（x+3），

故选：B．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

9．已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．

解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；

B、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；

C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；

D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．

10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定＝ad﹣bc．例如＝2×3﹣4×1＝2，则＝﹣3的根的情况为（　　）

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【分析】先利用新规定得到x2﹣4x+3＝0，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．

解：根据规定得x（x﹣1）﹣3x＝﹣3，整理得x2﹣4x+3＝0，

∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

11．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当I＜0.25时，R＜880 

B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0） 

C．当R＞1000时，I＞0.22 

D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25

【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．

解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），

∵该图象经过点P（880，0.25），

∴＝0.25，

∴U＝220，

∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；

当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，

∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，

当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；

∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，

∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若AO＝2BO，∠AOB＝90°，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．1.5 D．0.25

【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S△AOC：S△BOD＝4，继而根据反比例函数系数k的几何意义即可求得答案．

解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴∠AOC+∠OAC＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，

∴∠BOD＝∠OAC，

∴△AOC∽△OBD，

∴S△AOC：S△BOD＝（）2，

∵AO＝2BO，

∴S△AOC：S△BOD＝4，

∵点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴S△AOC＝×|﹣4|＝2，S△BOD＝k，

∴2＝4×（k），解得k＝1，

故选：A．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，得到S△AOC：S△BOD＝4是解本题的关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．若点A（1，﹣2）在反比例函数的图象上，则k的值是 　﹣2　．

【分析】把点A的坐标代入函数解析式，求k的值即可．

解：∵点A（1，﹣2）在反比例函数（k≠0）的图象上，

∴k＝1×（﹣2）＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．

14．方程（2x+1）（x+2）＝3化为一般形式是 　2x2+5x﹣1＝0　．

【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），进行计算即可解答．

解：（2x+1）（x+2）＝3，

2x2+4x+x+2＝3，

2x2+5x﹣1＝0，

故答案为：2x2+5x﹣1＝0．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

15．若＝，则＝　　．

【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．

解：两边都乘以b，得

a＝b．

＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b表示a是解题关键．

16．若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 　﹣1　．

【分析】关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项是m2+3m+2＝0，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数（m+2）≠0，两者结合求得m的值．

解：∵关于x一元二次方程常数项为0，

∴m2+3m+2＝0，

解得m1＝﹣1，m2＝﹣2；

又∵m+2≠0，m≠﹣2，

∴m＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件；以及解一元二次方程．

17．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝3，则k＝　﹣6　．

【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可

解：设点A的坐标为（x，y），

∵点A在第二象限，

∴x＜0，y＞0，

∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝3，

∴xy＝﹣6，

∵A是反比例函数y＝的图象上一点，

∴k＝xy＝﹣6，

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．

18．如图，等边△BDE的顶点D在等边△ABC的边AC上滑动，DE与AB交于点F，当AD：DC＝3：2时，AF：BF的值是 　6：19　．

【分析】由AD：DC＝3：2，可以假设AD＝3k，CD＝2k，则AB＝AC＝BC＝5k，利用相似三角形的性质求出AF，可得结论．

解：∵AD：DC＝3：2，

∴可以假设AD＝3k，CD＝2k，则AB＝AC＝BC＝5k，

∵△ABC与△BDE都是等边三角形，

∴∠A＝∠C＝∠BDE＝60°，

∵∠ADF+∠BDE＝∠C+∠DBC，

∴∠ADF＝∠DBC，

∴△BCD∽△DAF，

∴＝，

∴＝，

∴AF＝k，

∴BF＝AB﹣AF＝5k﹣k＝k，

∴AF：BF＝k：k＝6：19，

故答案为：6：19．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（每小题6分，共12分）

19．解方程：

（I）2x2﹣8x+6＝0；

（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0．

【分析】（1）先把方程整理为x2﹣4x+3＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可；

（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣1＝0，然后解一次方程即可．

解：（1）2x2﹣8x+6＝0，

方程整理为x2﹣4x+3＝0，

（x﹣1）（x﹣3）＝0，

x﹣1＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝1，x2＝3；

（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，

（x﹣1）[（x﹣1）+2x]＝0，

（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，

（x﹣1）（3x﹣1）＝0，

x﹣1＝0或3x﹣1＝0，

所以x1＝1，x2＝．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

20．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2﹣2a＝1，代入计算即可．

解：原式＝÷（﹣）

＝÷

＝•

＝

＝，

当a2﹣2a﹣1＝0，即a2﹣2a＝1时，

原式＝1．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

四、解答题（每小题8分，共16分）

21．某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对烂泥湿地的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求出p与S的函数表达式；

（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少？

【分析】（1）设p与S的函数表达式为p＝，把A（2，300）代入，利用待定系数法即可求解；

（2）将S＝0.3代入（1）中所求解析式，计算即可求出函数值p．

解：（1）设p与S的函数表达式为p＝．

把A（2，300）代入，得300＝，

解得k＝600，

则p与S的函数表达式为p＝；

（2）当S＝0.3时，p＝＝2000（Pa），

即当木板面积为0.3m2时，压强是2000Pa．

【点评】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．

22．已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）若（AB﹣3）（AD﹣3）＝m，求m的值．

【分析】（1）根据题意Δ＝0，构建方程，解方程即可．

（2）利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．

解：（1）四边形ABCD为菱形，则方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝0，

即m2﹣2m+1＝0，

解得m＝1，

所以当m＝1时，四边形ABCD为菱形．

（2）∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，

∴AB+AD＝m，AB•AD＝﹣，

∵（AB﹣3）（AD﹣3）＝m，

∴AB•AD+9﹣3（AB+AD）＝m，

﹣+9﹣3m＝m，

∴m＝．

【点评】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，用转化的思考思考问题．

五、解答题（每小题9分，共18分）

23．如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．

（1）求小路的宽．

（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．

【分析】（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米的矩形，根据非阴影部分的面积是230平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（2）利用总价＝单价×（草坪的面积﹣非阴影部分的面积），即可求出结论．

解：（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米的矩形，

依题意得：（25﹣x）（12﹣x）＝230，

解得：x2﹣37x+70＝0，

解得：x1＝2，x2＝35（不符合题意，舍去）．

答：小路的宽为2米．

（2）200×（25×12﹣230）＝14000（元）．

答：修建两条小路的总费用为14000元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24．如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△DBE；

（2）若DE＝9cm，AE＝12cm，求DC的长．

【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；

（2）根据相似三角形的对应边成比例，易得，即可求得DC的值．

【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，

∵∠EDB＝∠C，

∴∠A＝∠EDB，

又∠E＝∠E，

∴△ADE∽△DBE；

（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，

由（1）得△ADE∽△DBE，

∴，

BE＝（cm），

AB＝AE﹣BE＝12﹣＝（cm），

∴DC＝（cm）．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．

六、综合题（每小题10分，共20分）

25．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D（2，﹣3）两点．

（1）求一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的解析式；

（2）当y1＞y2时，求自变量x的取值范围；

（3）若点Q在x轴上，且S△ACQ＝S△COD，求点Q的坐标．

【分析】（1）将D（2，﹣3）的坐标代入反比例函数y2＝可得反比例函数的关系式，将A（﹣2，0），D（2，﹣3）的坐标代入一次函数y1＝k1x+b可确定一次函数的关系式；

（2）求出两个函数的交点坐标，再根据图象和交点坐标直接得出答案；

（3）利用面积公式，列方程求解即可．

解：（1）将D（2，﹣3）的坐标代入反比例函数y2＝得，

k2＝2×（﹣3）＝﹣6，

∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，

将A（﹣2，0），D（2，﹣3）的坐标代入一次函数y1＝k1x+b得，

，

解得，

∴一次函数的关系式为y1＝﹣x﹣，

（2）由于方程组的解为，，

∴一次函数y1＝﹣x﹣与反比例y2＝﹣的交点坐标为（2，﹣3）和（﹣4，），

又∵D（2，﹣3），

∴C（﹣4，），

∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜2，

故答案为：x＜﹣4或0＜x＜2；

（3）∵S△COD＝S△AOC+S△AOD

＝×2×+×2×3

＝，

设点Q（m，0），则AQ＝|m+2|，

由S△ACQ＝S△COD，

|m+2|×＝×，

解得m＝0或m＝﹣4，

∴点Q（0，0）或（﹣4，0）．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，求出一次函数、反比例函数关系式是解决问题的关键．

26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC2＝AB•AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．

【分析】（1）证明△DCA∽△CBA，由相似三角形的性质得出＝，即可得出结论；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质可知EC＝EA＝EB，推出∠DAC＝∠EAC＝∠ACE即可证明；

（3）由AD∥CE，可得＝＝，进而可求出答案．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△DCA∽△CBA，

∴＝，

∴AC2＝AB•AD．

（2）证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CE＝AE＝EB，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠DAC＝∠EAC，

∴∠DAC＝∠ECA，

∴AD∥EC．

（3）解：∵AD＝8，AB＝12，

∴AC2＝AB•AD＝8×12＝96．

∴AC＝，

∴CD＝，

∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CE＝AB＝6，

∵AD∥CE，

∴∠ADC+∠DCE＝180°，

∴∠DCE＝90°，

∴DE＝，

∵△ECF∽△DAF，

∴＝＝＝，

∴，

∴．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．