北京市朝阳区陈经纶中学分校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份北京市朝阳区陈经纶中学分校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知是关于的方程的一个根，则(    )A.  B.  C.  D. 抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 用配方法将一元二次方程变形为的形式是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，、为上两点，是的直径，已知，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是(    )
A. ，，都不在 B. 只有
C. 只有， D. ，，如图所示，边长为的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为(    )A.
B.
C.
D. 如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为则与，与满足的函数关系分别是(    )A. 正比例函数关系、一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式______．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为          ．年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心月份的参观人数为万人，月份的参观人数增加到万人．设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为______．如图所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道如图需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为          ．

 如图，、是的两条切线，切点为，如果，，则______．
 如图，点是正六边形的中心，边心距，则的长为______．
用一个半径为的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为          ．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得金银枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点距离水面，运动过程中的最高点距池边，入水点距池边，根据上述信息，可推断出点距离水面          
   三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）解方程：． 四、解答题（本大题共10小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知，关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根是负数，求的取值范围．本小题分
下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，．
求作：的内接正方形．
作法：作的直径；
分别以点，为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于，；
作直线交于点，；
连接，，，．
四边形就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：是的______，
．
______填推理依据
四边形是菱形．
又是的直径，
______填推理依据
四边形是正方形．
本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
 本小题分
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
 根据表格填空：抛物线与轴的交点坐标是______和______；
求这个二次函数的表达式；
的值为______；
在给定的平面直角坐标系中，酉出这个二次函数的图象．本小题分
李明准备进行如下操作实验：把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？
解决问题：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长可以表示为______．
请你帮助李明完成后面的解答过程．本小题分
如图，在中，，为上一点，以点为圆心，为半径的圆恰好与相切，切点为，与的另一个交点为．
求证：平分；
若，，求的长．
本小题分
如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳后恰好落在人梯的顶端处，其身体看成一点的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米．米米请你解决以下问题：
结合表中所给的数据，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
求起跳点距离地面的高度；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米．问此次表演是否成功？请说明理由．本小题分
抛物线经过点，点，在该抛物线上．
求该抛物线的对称轴：
若，比较，，的大小，并说明理由，本小题分
如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
用等式表示与的数量关系，并证明；
当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
本小题分
对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”．

已知点，在点，，中，______ 是点的“直角点”；
已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围；
在的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：将代入方程，可得，
．
；
故选：．
满足方程利用整体代入的思想解决问题；
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 2.【答案】 【解析】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故选：．
已知抛物线顶点式，顶点坐标是．
本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
 3.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
 4.【答案】 【解析】解：，
移项得，，
配方得，，
，
故选：．
先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．
本题考查了解一元二次方程--配方法，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
求出，根据圆周角定理得出，代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，，，
，
是直角三角形，且，
点是斜边的中点，
，，
，
点、、都在覆盖范围内，
这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是，，．
故选：．
根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题．
本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．
 7.【答案】 【解析】解：如图，设与交于点，中点。
，，
，
同理，，
由勾股定理得：，

阴影部分的面积
，
故选：．
根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：由题意得：，属于一次函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：．
根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 9.【答案】答案不唯一 【解析】解：抛物线开口向上，
，
与轴交于点，
，
一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式为：，
故答案为：答案不唯一．
根据决定抛物线的开口方向，决定抛物线与轴的交点即可解答．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
利用根的判别式进行计算，根据题意关于的方程有两个不相等的实数根，可得，即可得到关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
一元二次方程根的情况与判别式的关系是：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 11.【答案】 【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用月份的参观人数月份的参观人数月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：设此圆弧所在圆的半径为，
由弧长公式得：，
解得：，
即此圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
设此圆弧所在圆的半径为，根据已知条件，利用弧长的计算公式即可求解．
本题考查了弧长的计算公式的应用，熟记弧长公式是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：、是的两条切线，
，，平分，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
利用切线的性质和切线长定理得到平分，，则利用四边形内角和可计算出，所以，然后利用含度角的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接、．
六边形是正六边形，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接、根据正六边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 15.【答案】 【解析】解：设圆锥底面圆的半径为，
根据题意得，解得：．
故答案为：．
设圆锥底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点的纵坐标．
【解答】
解：如图，以水面所在的直线为轴，以跳台支柱所在的直线为轴建立直角坐标系，

由题意得：，，对称轴为直线，
设解析式为，
所以，
解得，，
所以，
所以，点距离水面．
故答案为：．  17.【答案】解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，． 【解析】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出移项后配方得出，推出，开方后得出方程，求出方程的解即可．
 18.【答案】证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根；
，
，
，，
方程有一个根是负数，
，
解得，．
的取值范围为． 【解析】求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
根据解一元二次方程因式分解法，求出一元二次方程的根，解不等式求得的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程的应用，用到的知识点：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 19.【答案】解：如图，四边形为所作；

证明：是的垂直平分线，
．
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
四边形是菱形．
又是的直径，
直径所对圆周角是直角，
四边形是正方形．
故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对圆周角是直角． 【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
根据作法画出对应的几何图形即可；
根据作图过程可得是的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形是菱形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形是正方形．
 20.【答案】解：如图所示，过点作半径于，
，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 【解析】过点作半径于，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 21.【答案】     【解析】解：由表中数据得，当时，，当时，，
抛物线与轴的交点坐标是和，
故答案为：，；
设，
将代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
把代入得，，
，
故答案为：；
图象经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为，
如图所示：

由表中数据直接得出结论；
设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式；
把代入解析式即可求得；
利用描点法画函数图象．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知待定系数法是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，；
当时，．
答：李明剪的这两个正方形的边长分别是和．
故答案为：．
设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据两个正方形的面积和等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出其中一个正方形的边长，再将其代入中可求出另一个正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 23.【答案】证明：连接，如图：
，
与圆相切，
，
在和中，
，
，
，
平分；
解：设圆的半径为，则，
，，
，
，
，
在中，，
，
． 【解析】本题考查了圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值以及勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．
连接，由圆与相切得，由定理证明，由全等三角形的性质得，即可得证；
设圆的半径为，则，得出关系式，求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．
 24.【答案】解：结合表中所给的数据可知：
当时，取得最大值，
演员身体距离地面的最大高度为米；
结合表中所给的数据可知：此抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，
设此抛物线为，
把代入，得：
，
解得：，
此抛物线为，
当时，，
起跳点距离地面的高度为米；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，
由已知表格中的对应数据可知：时，，
此次表演不成功． 【解析】合表中数据和函数图象直接得出结论；
先用待定系数法求出函数解析式，再令，即可得出结论；
先把时代入函数解析式求出，得出此次表演不成功．
本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
 25.【答案】解：将代入得，
，
，
抛物线对称轴为直线．
，
抛物线开口向下，
时，随增大而增大，
，
，
． 【解析】将点代入解析式可得与的数量关系，再由抛物线对称轴为直线求解．
由可得抛物线开口向下及对称轴，根据点，，到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 26.【答案】解：，
证明：如图，是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；

；
，理由如下：
延长到，使，连接，，如上图：
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，即，
，
又，，
，
，
，，
为正三角形，
，
． 【解析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
利用证明，即可得出答案；
由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
解：当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得，再证明为正三角形即可得到答案．
 27.【答案】解：和
如图所示，连接，，取的中点，的中点，
分别以，为圆心，，为直径作圆，













由图可知，，为两个临界点，
则，
同理，，
；
或 【解析】解：点，，，点，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
和是点的直角点；
故答案为：和；
见答案；
如图，分别以，为直径作圆，
当，即时，
正方形位于正方形位置时，可得，
正方形位于正方形位置时，
，，
，
解得：或舍去，
．
当时，
正方形位于正方形位置时，
，，
，
解得：或舍去，
正方形位于正方形位置时，
，
，
解得：，
，
综上所述， 或．



根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明，，可得，，再根据“直角点”的定义可得结论；
连接，，取的中点，的中点，分别以，为圆心，，为直径作圆，由图可知，，为两个临界点，即可求得答案；
如图，分情况讨论分析。
本题考查了勾股定理及逆定理，圆的性质，不等式组的应用等，解题关键是理解并应用新定义“直角点”．