河南省郑州市金水区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）﹣的倒数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米＝0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（　　）

A．6.2×10﹣5米 B．6.2×10﹣6米 

C．0.62×10﹣5米 D．62×10﹣6米

3．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列命题中，是真命题的有（　　）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形

②对角线互相垂直的四边形是菱形

③四边相等的四边形是正方形

④四边相等的四边形是菱形

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x2+x＝x3 B．8x4÷2x2＝4x2 

C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2

6．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．无实数根

7．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3

9．（3分）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　）

A．2 B．2 C． D．5

10．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）

二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数 　   　．

12．（3分）已知＝＝（b+d≠0），则＝　   　．

13．（3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为 　   　．

14．（3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 　   　m．（结果保留根号）

15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是 　   　．

三、（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

16．（10分）（1）计算：+×﹣（2022﹣π）0；

（2）化简：÷．

17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题：

（1）抽取的学生有 　   　人，n＝　   　，a＝　   　；

（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；

（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．

18．（8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．

19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按如下步骤作图：

①分别以A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；

②作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；

③连接AD．

请根据以上材料回答下列问题：

（1）图中所作的直线MN是线段AB的 　   　线；

（2）若AB＝4，则BE＝　   　；

（3）利用（1）中的结论解决问题：若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．

（1）求证：四边形ADBF为菱形；

（2）若∠C＝30°，求四边形ADBC的面积．

21．（9分）2022年10月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 　   　斤（用含x的代数式表示）．

（2）若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？

22．（10分）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在

BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．

（1）求证：△AHG∽△ABC．

（2）若AD＝3，BC＝9，设EH＝x，则当x取何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

（1）AB＝　   　；（直接写出结果）

（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．

①E点坐标为 　   　；（直接写出结果）

②求证：△AOE∽△DAO．

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）﹣的倒数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【分析】直接根据倒数的定义解答即可．

【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，

∴﹣的倒数是﹣．

故选：D．

【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．

2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米＝0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（　　）

A．6.2×10﹣5米 B．6.2×10﹣6米 

C．0.62×10﹣5米 D．62×10﹣6米

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：62微米＝62×0.000 001米＝62×10﹣6米＝6.2×10﹣5米．

故选：A．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．

【解答】解：主视图、左视图相同，均为：

俯视图为：

故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．

4．（3分）下列命题中，是真命题的有（　　）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形

②对角线互相垂直的四边形是菱形

③四边相等的四边形是正方形

④四边相等的四边形是菱形

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．

【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；

④四边相等的四边形是菱形，正确．

故选：B．

【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x2+x＝x3 B．8x4÷2x2＝4x2 

C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2

【分析】A．x2和x不是同类项；

B．用同底数的幂相除法则；

C．应用幂的乘方进行计算即可；

D．用平方差公式计算即可．

【解答】解：A．x2和x不是同类项，不能合并，故A选项符合题意；

B．8x4÷2x2＝4x2，故B选项符合题意；

C．（﹣3x）2＝9x2，故C选项不符合题意；

D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故D选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．

6．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．无实数根

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．

【解答】解：∵a＝2，b＝1，c＝﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

7．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，

∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，

故选：A．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

8．（3分）如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3

【分析】根据平行线分线段成比例定理求出＝，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案．

【解答】解：∵BN∥AM，＝，

∴＝，

∵DN∥CM，

∴＝＝，

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

9．（3分）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　）

A．2 B．2 C． D．5

【分析】先判定四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，可得点N为FC的中点，BE＝FC；再证明△AFG为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中线的性质可得MN＝FC，由勾股定理可得BE的长，即为FC的长，从而可得MN的值．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，

∵EF∥BC，

∴∠BFE+∠ABC＝180°，

∴∠BFE＝90°，

∴四边形BCEF为矩形，

连接FM，FC，如图：

∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．

∴点N为FC的中点，BE＝FC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝45°，

又∵∠AFG＝90°，

∴△AFG为等腰直角三角形．

∵M是AG的中点，

∴AM＝MG，

∴FM⊥AG，

∴△FMC为直角三角形，

∵点N为FC的中点，

∴MN＝FC，

∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2，

∴BC＝CD＝6，CE＝4，

在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝2，

∴FC＝2，

∴MN＝FC＝．

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股数及直角三角形的斜边中线性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

10．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）

【分析】求出OD，每秒旋转60°，6次一个循环，2022÷6＝337，第2022秒时，矩形的对角线交点D与第六次的点D的坐标相同，第六次点D和刚开始旋转的位置相同，由此可得到点D的坐标．

【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，

∴AC＝OB＝4，AD＝CD，OD＝BD，

∴OD＝2，

∵每秒旋转60°，6次一个循环，2022÷6＝337，

∴点D和刚开始旋转的位置相同，

∴点D的纵坐标为：2×sin60°＝2×＝，横坐标为：﹣2×cos60°＝﹣2×＝﹣1，

∴点D的坐标为（﹣1，）．

故选：A．

【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是明确题意，发现点D得变化特点，利用数形结合的思想解答．

二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数 　﹣1（或0或1）　．

【分析】首先确定和的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可．

【解答】解：设所求整数为x，

∵1＜＜2，

∴﹣2＜﹣＜﹣1，

∵1＜＜2，

∴所求的整数x的范围是﹣2＜x＜2，

即整数x可以是﹣1、0、1．

故答案为：﹣1、0、1（填其中一个即可）．

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

12．（3分）已知＝＝（b+d≠0），则＝　　．

【分析】利用合比的性质解决问题即可．

【解答】解：∵＝＝，

∴＝＝，

∴＝，

故答案为：．

【点评】本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型．

13．（3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为 　　．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：分别用A，B，C，D表示画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆的卡片，

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的是：BC，BD，CB，CD，DB，DC．

∴抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的概率为：＝．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

14．（3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 　（30﹣10）　m．（结果保留根号）

【分析】由黄金分割点的定义求出BC的长，即可解决问题．

【解答】解：如图，设主持人站立的位置离A点较近的点为C，

则点C是AB的黄金分割点，

∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）（m），

∴AC＝20﹣（10﹣10）＝（30﹣10）（m），

即主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m，

故答案为：（30﹣10）．

【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．

15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是 　或　．

【分析】当△A'DF是直角三角形时，分两种情况进行讨论，∠DA'F＝90°或∠A'FD＝90°．依据相似三角形的判定与性质以及折叠的性质，即可得到DF的长．

【解答】解：如图①所示，当∠DA'F＝90°时，∵∠EA'F＝∠A＝90°，

∴E，A'，D在同一直线上，

由题可得，AD＝BC＝，AE＝AB＝1＝A'E，

Rt△ADE中，DE＝＝＝3，

∴A'D＝3﹣1＝2，

∵∠DA'F＝∠A，∠A'DF＝∠ADE，

∴△ADE∽△A'DF，

∴＝，即，

解得DF＝；

如图②所示，当∠A'FD＝90°，∠AFA'＝90°，

由题可得，∠AFE＝＝45°，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，

∴AF＝AE＝1，

∴DF＝AD﹣AF＝；

综上所述，DF的长为或．

故答案为：或．

【点评】本题属于折叠问题，主要考查了勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题的关键是利用对应边和对应角相等．

三、（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

16．（10分）（1）计算：+×﹣（2022﹣π）0；

（2）化简：÷．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．

【解答】解：（1）+×﹣（2022﹣π）0

＝﹣3+﹣1

＝﹣3+4﹣1

＝0；

（2）÷

＝•

＝•

＝．

【点评】本题考查了分的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题：

（1）抽取的学生有 　200　人，n＝　54　，a＝　25　；

（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；

（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．

【分析】（1）由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用360°乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得n，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得a的值；

（2）先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；

（3）用总人数乘以样本中参加乒乓球社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．

【解答】解：（1）抽取的学生有80÷40%＝200（人），

360°×＝54°，

∴n＝54，

×100%＝25%，

∴a＝25，

故答案为：200，54，25；

（2）参加朗诵社团活动的学生人数为200﹣（50+30+80）＝40（人），

补全条形统计图如图：

；

（3）估计参加乒乓球社团活动的学生人数为2400×40%＝960（人）．

答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数960人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18．（8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．

【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．

【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，

则＝，

∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，

∴＝，

解得：AC＝10，

故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），

答：旗杆的高度为11.5m．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．

19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按如下步骤作图：

①分别以A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；

②作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；

③连接AD．

请根据以上材料回答下列问题：

（1）图中所作的直线MN是线段AB的 　垂直平分　线；

（2）若AB＝4，则BE＝　2　；

（3）利用（1）中的结论解决问题：若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法判断即可．

（2）利用线段的垂直平分线的性质求解即可．

（3）利用勾股定理求出BC＝8，再证明△ADC的周长＝AC+CB即可．

【解答】解：（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线．

故答案为：垂直平分．

（2）∵MN垂直平分线段AB，

∴AE＝EB＝AB＝2，

故答案为：2．

（3）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝＝8，

∵MN垂直平分线段AB，

∴DA＝DB，

∴△ADC的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+CB＝14．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的周长等知识，解题的关键是证明DA＝DB，把三角形的周长转化为AC+CB．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．

（1）求证：四边形ADBF为菱形；

（2）若∠C＝30°，求四边形ADBC的面积．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DBE＝∠EAF，求出AE＝BE，证△AEF≌△BED，推出EF＝DE，推出四边形ADBF是平行四边形，再求出AB⊥DF即可；

（2）求出EF＝BC＝，∠AFE＝∠C＝30°，推出AF＝2AE，由勾股定理得出AE2+（）2＝（2AE）2，求出AE＝1，求出AB＝2AE＝2，DF＝2EF＝2，即可求出四边形的面积．

【解答】（1）证明：∵BD∥AC，

∴∠DBE＝∠EAF，

∵E为AB中点，

∴AE＝BE，

在△AEF和△BED中

∴△AEF≌△BED（ASA），

∴EF＝DE，

∵AE＝BE，

∴四边形ADBF是平行四边形，

∵E为AB中点，F为AC中点，

∴EF∥BC，

∵∠ABC＝90°，

∴∠AEF＝∠ABC＝90°，

即AB⊥DF，

∴四边形ADBF为菱形；

（2）解：∵BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC，EF＝BC＝，

∵∠C＝30°，

∴∠AFE＝∠C＝30°，

∴AF＝2AE，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+（）2＝（2AE）2，

解得：AE＝1，

∵AE＝BE＝1，EF＝DE，EF＝

∴AB＝2AE＝2，DF＝2EF＝2，

∴四边形ADBC的面积S＝S菱形ADBF+S△FBC＝AB×DF+BC×BE＝×2×2+×2×1＝3．

【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．

21．（9分）2022年10月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 　（100+200x）　斤（用含x的代数式表示）．

（2）若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？

【分析】（1）销售量＝原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝（100+200x）斤；

故答案为：（100+200x）；

（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，

解得：x＝或x＝1，

∵每天至少售出260斤，

∴x＝1．

4﹣1＝3（元）．

答：若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．

【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．

22．（10分）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在

BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．

（1）求证：△AHG∽△ABC．

（2）若AD＝3，BC＝9，设EH＝x，则当x取何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）由HG∥BC，可证△AHG∽△ABC；

（2）由相似三角形的性质可得，表达出HG与EH的关系，进而求出矩形EFGH的面积与EH之间的函数关系式，进而解答．

【解答】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴HG∥BC，

∴△AHG∽△ABC；

（2）∵△AHG∽△ABC，

∴，

∴＝，

∴EH＝3（3﹣x）＝9﹣3x，

设矩形EFGH的面积为y，

则y＝x（9﹣3x）＝﹣3x2+9x＝﹣3（x﹣1.5）2+6.75．

∴当x取1.5时，矩形EFGH的面积最大，，最大面积是6.75．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

（1）AB＝　5　；（直接写出结果）

（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．

①E点坐标为 　（，0）或（﹣，0）　；（直接写出结果）

②求证：△AOE∽△DAO．

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长．

（2）①易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标．

②根据两边成比例夹角相等证明相似即可．

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

【解答】解：（1）解x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3，

∵OA＞OB，

∴OA＝4，OB＝3，

在Rt△AOB中，由勾股定理有AB＝＝＝5．

故答案为：5．

（2）①∵点E在x轴上，S△AOE＝，

∴AO×OE＝，

∴OE＝，

∴E（，0）或E（﹣，0）．

故答案为：（，0）或（﹣，0）．

②在△AOE中，∠AOE＝90°，OA＝4，OE＝，

在△AOD中，∠OAD＝90°，OA＝4，AD＝6，

∵＝，∠AOE＝∠DAO，

∴△AOE∽△DAO．

（3）存在，理由如下：

由题意，OB＝OC＝3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，

所以点F与B重合，

即F（﹣3，0）．

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

点F（3，8）．

③AC是对角线时，AC解析式为y＝﹣x+4，AC的垂直平分线经过点（，2），解析式为y＝x+，

由题意直线AB的解析式为y＝x+4，

由，解得，

联立直线L与直线AB求交点，

∴F（﹣，﹣）．

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝＝＝．

作点A关于N的对称点即为F，AF＝，过F作y轴垂线，垂足为G，FG＝×＝，

∴F（﹣，）．

综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8），F2（﹣3，0），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．