河北省邢台市部分学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年河北省邢台市部分学校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共44.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一组数据分别为、、、、，这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 比例尺为：的地图上，，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道的长为米，则的长为米．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 点、在函数的图象上，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法比较大小

6. 如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D. 到、的距离相等

7. 随着我国综合国力的增强，人们生活水平也不断提升，越来越多的人开始关注健康、锻炼身体，其中走路是最简单的锻炼方法之一，舒适的运动鞋就成为走路锻炼的必要装备，运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤，某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

父亲节来临之际，该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销期间所售出鞋的尺码的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

8. 某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位．每两班之间都比赛一场，总共安排场比赛，则共有多少个班级参赛(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，平分，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D.

11. 如图所示，河堤横断面迎水坡坡比是：，堤高，则坡面的长度是________(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，为的直径，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

13. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

14. 若，则下列各式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

15. 下列说法：直径是弦：平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆；三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点其中正确的命题有(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 某公司招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是分，分，分，其中计算机成绩占，语言表达占，写作能力成绩占，则李强最终的成绩是______分．
18. 如图，直线与双曲线相交于，两点，点在第三象限，且轴，轴，则面积的最小值为______．

19. 已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量万台提高到万台，那么每年平均增长的百分数是______按此年平均增长率，预计第年该工厂的年产量应为______万台．

三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    已知关于的方程，
    求证：方程恒有两不等实根；
    若，是该方程的两个实数根，且，求的值．
21. 本小题分
    为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为______ ，图中的值为______ ；
    Ⅱ求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
    Ⅲ根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的学生人数．
     
22. 本小题分
    如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？

23. 本小题分
    如图，已知、是一次函数的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
    

求此反比例函数和一次函数的解析式；

根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围；

求的面积．

24. 本小题分
    如图，中，，且，以边为直径的交斜边于，，点为左侧半圆上一点，连接，，．
    求的度数．
    求的长．
    求图中阴影部分的面积．

25. 本小题分
    如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

26. 本小题分
    一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度千米小时与所用时间小时的函数关系如图所示，其中．
     

直接写出与的函数关系式________；

若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶千米，小时后两车相遇．
求两车的平均速度；

甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米，当客车进入加油站时，货车恰好进入加油站两车加油的时间忽略不计，求甲地与加油站的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列为：、、、、，
则这组数据的中位数为；
故选：．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题考查了中位数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
若方程是关于的一元二次方程，
则，
解得．
故选：．
根据二次项系数不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

3.【答案】 

【解析】解：设、两地间的实际距离为，
根据题意得，
解得．
答：、两地间的实际距离为．
故选：．
设、两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可．
本题主要考查了比例线段：熟练掌握比例线段的意义是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，米，
则，
，
故选：．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把点代入函数可得，；
把点代入函数可得，．
，
．
故选：．
把点，分别代入函数，求出、的值，再进行比较即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
弧弧，
，
，
≌，
到、的距离相等，
所以、、选项正确，
故选：．
根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
 

8.【答案】 

【解析】解：设共有个班级参赛，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
则共有个班级参赛．
故选：．
设共有个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系准确列出方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，于点，如图，

平分，
，
，
，
，
平分，，，

：：：，
：：，
：：，
设，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，解得，
．
故选：．
由角平分线的定义得到，再证明，，根据角平分线的性质得到，接着利用面积法证明：：，则设，，，然后证明≌得到，所以，利用勾股定理得到，解得，从而得到的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可得当时，的取值范围是：或．
故选：．
当时，的取值范围就是的图象落在图象的下方时对应的的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，，：；
，
．
故选：．
在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接．

是直径，
，
，
，
故选：．
连接，证明，，可得结论．
本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、由得，故本选项错误；
B、由得，故本选项错误；
C、由得，故本选项正确；
D、由得，故本选项错误．
故选：．
根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求．
本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：直径是弦，是真命题：
被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，是假命题；
在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题；
不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
三角形的内心是三角形三个内角平分线交点，是假命题；
故选：．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，

∽，
：：：：，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：．
根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
 

17.【答案】 

【解析】解：李强最终的成绩是分，
故答案为：．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，，
轴，轴，
，，
，
直线与双曲线相交于，两点，
、为方程的解，
方程变形为，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
设，，则，利用三角形面积公式和完全平方公式得到，利用根与系数的关系得到，，所以，从而得的最小值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了根与系数的关系．
 

19.【答案】   

【解析】解：设年平均增长率为，依题意列得
解方程得，舍去
所以第年该工厂的年产量应为万台．
故答案为：，
根据提高后的产量提高前的产量增长率，设年平均增长率为，则第一年的常量是，第二年的产量是，即可列方程求得增长率，然后再求第年该工厂的年产量．
本题运用增长率下降率的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
方程恒有二不等实根；
解：由根与系数的关系得，，
，
，
，
解得．
故的值是． 

【解析】先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得到，，则由，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】   

【解析】解：Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为：人，
，
，
故答案为：，；

Ⅱ在这组数据中小时出现次数最多，有次，
众数为小时；
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为小时；
平均数是：小时；

根据题意得：
人，
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的约有人．
Ⅰ由小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用小时的人数除以总人数即可求出；
Ⅱ根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
Ⅲ用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息．
 

22.【答案】解：，，：，即：：，
设，，
则，
即，
解得：，
，，
，
设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，
则，，，
是公共角，
当，即时，∽，
解得：，
当，即时，∽，
解得：，
过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 

【解析】由，，：，即：：，利用勾股定理即可求得与的长，然后设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，则可得，，，再分别从当时，∽与当时，∽，去分析求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．
 

23.【答案】解：由于点在反比例函数的图象上，
所以，所以，
即反比例函数解析式为；
点在反比例函数图象上，所以，
．
因为点、在一次函数的图象上，
，，
一次函数解析式为：．
由图象知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值．
设一次函数图象与轴交于点，点、的横坐标分别用，表示．
则，所以，
．
答：的面积是． 

【解析】根据点的坐标求出反比例函数解析式，根据反比例函数解析式，求出点的横坐标，再根据点、求出一次函数解析式；
通过观察图象，直接得到结果．
设一次函数与轴交点是，可把分成两个三角形、，分别求出它们的面积．
本题考查了待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，直线与轴的交点及三角形的面积．解决三角形的面积可采用分割的办法．若一次函数的解析式与轴的交点为，亦可把分成、求面积．
 

24.【答案】解：为直径，
，
，，
，
，
；
，，
，
在中，，即
，
；
连接，
，，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理和直角三角函数即可求得；
解直角三角形求得，进而即可求得；
利用求得即可．
本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，设半径为米，
则，
由垂径定理可知，，
米，
米，且米，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
米，
在中，由勾股定理可得米，
米米，
不需要采取紧急措施． 

【解析】由垂径定理可知、，利用，，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当时的长度，与米进行比较大小即可．
本题主要考查垂径定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
 

26.【答案】解：设函数关系式为，
，，
，
与的函数关系式为；

依题意，得
，
解得，
经检验，符合题意．
当时，．
答：客车和货车的平均速度分别为千米小时和千米小时；

当加油站在甲地和加油站之间时，
，
解得，此时；
当加油站在甲地和加油站之间时，
，
解得，此时．
答：甲地与加油站的距离为或千米． 

【解析】利用时间与速度成反比例可以得到反比例函数的解析式；
由客车的平均速度为每小时千米，得到货车的平均速度为每小时千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，小时后两车相遇列出方程，解方程即可；
分两种情况进行讨论：当加油站在甲地和加油站之间时；当加油站在甲地和加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米列出方程，解方程即可．
本题考查了反比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．