广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一上学期期中数学试卷（含答案）

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广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一上学期期中数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1}，集合B＝{﹣1，1}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（　　）A．{2，3} B．{﹣1，0，2，3} C．{﹣1，0，1} D．{1}2．（5分）不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0的解集为（　　）A．{x|﹣＜x＜1} B．{x|x≤﹣或x≥1} C．{x|﹣≤x＜1} D．{x|﹣≤x≤1}3．（5分）命题“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是（　　）A．∃x＞0，x3＜3x+1 B．∀x＜0，x3≥3x+1 C．∀x＞0，x3＜3x+1 D．∃x＜0，x3＜3x+14．（5分）函数，的定义域为（　　）A．[0，1）∪（1，3） B．[0，3] C．[0，1）∪（1，3] D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）5．（5分）已知正实数a，b满足a+b＝3，则的最小值是（　　）A． B．4 C．1 D．6．（5分）已知x∈R，则“x＜9”是“x2＜81”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数，且f（5）＝﹣2，则f（﹣5）＝（　　）A．﹣2 B．2 C．3 D．88．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣5）＝0，则满足（x﹣3）f（x）＞0的x的取值范围是（　　）A．（﹣5，0）∪（3，5） B．（﹣5，0）∪（0，5） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，5） D．（﹣5，﹣3）∪（3，5）二、多选题（每题5分，共20分）（多选）9．（5分）下列哪些函数在定义域内是增函数？（　　）A．f（x）＝ B．f（x）＝x2﹣4x+2，x∈（1，+∞） C．f（x）＝x﹣ D．f（x）＝3x+x3（多选）10．（5分）下列命题正确的有（　　）A．若a，b，c均为正数，且b＞a，则有 B．设f（x）＝，则f（x）为偶函数 C．若x＞0，y＞0，则的最小值是2 D．设函数f（x）的定义域为I，∀x∈I，有f（x）≥M，则f（x）的最小值一定为M（多选）11．（5分）已知，下列关于f（x）的说法正确的有（　　）A．y＝f（x）为奇函数 B．f（x）的值域为[2，+∞） C．的解集为[3，+∞） D．f（x）在区间上的值域为（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，则下列不等式恒成立的是（　　）A．+≥ B．a+b≥2 C．a3+b3≤4 D．0＜b≤三、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知3∈{a，a2﹣1，2}，则a的所有可能取值为 　   　．14．（5分）已知，则f（6）+f（﹣6）＝　   　．15．（5分）已知函数f（x）＝，x∈[，2]，则f（x）的值域为 　   　．16．（5分）已知函数f（x2﹣1）的定义域是[﹣2，2]，则f（x+1）的定义域为 　   　．四、解答题（请写出必要的解答过程）17．（10分）设集合M＝{x|2≤x≤4}，N＝{x|a2＜x＜5}．（1）若，求M∪N；（2）若M∩N＝M，求a的取值范围．18．（12分）（1）化简；（2）已知a+b＝6，ab＝4，且a＞b，求的值．19．（12分）已知幂函数f（x）的图像过点（3，27）．（1）求f（x）的解析式，并用定义证明其在定义域内的单调性；（2）解关于t的不等式f（4t2﹣3t﹣1）+f（t﹣t2）＞0．20．（12分）已知函数为偶函数．（1）求实数m的值；（2）若对任意的x∈R，总存在y∈R，使得成立，求n的取值范围．21．（12分）随着城市城镇化不断推进，城市居民人口持续增加．根据第七次全国人口普查数据，预计2022年末南宁市人口总量将突破900万大关，这使得南宁市交通拥堵问题日益严重．为测试一路段在晚高峰时段的车辆通行能力，某课外兴趣小组研究了该路段内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当该路段内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）若该路段内的车流量y（单位时间内通过该路段的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求该路段内车流量的最大值，并指出当车流量最大时的车流密度．22．（12分）若函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设；（1）求a、b的值；（2）关于x的方程有且仅有两个不同的实根，求实数k的取值范围．
广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共40分）1．【分析】根据已知条件，结合补集以及并集的定义，即可求解．【解答】解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1}，集合B＝{﹣1，1}，则∁UA＝{﹣1，2，3}，∁UB＝{0，2，3}，故（∁UA）∪（∁UB）＝{﹣1，0，2，3}．故选：B．【点评】本题主要考查补集以及并集的运算，属于基础题．2．【分析】根据题意可将（﹣x+1）（2x+1）≥0转化为（x﹣1）（2x+1）≤0，从而可解．【解答】解：因为（﹣x+1）（2x+1）≥0，则（x﹣1）（2x+1）≤0，得﹣，则不等式解集为{x|}，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．3．【分析】直接利用原命题得到命题的否定．【解答】解：命题“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是：∀x＞0，x3＜3x+1．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：，则，解得0≤x＜3且x≠1，故f（x）得定义域为[0，1）∪（1，3）．故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．5．【分析】根据给定的条件，利用“1”的妙用及均值不等式可得代数式的最小值．【解答】解：因正实数a，b满足a+b＝3，可得＝1，所以＝（）•1＝（）•＝（2++）≥（2+2）＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以的最小值是．故选：A．【点评】本题考查“1”的活用及基本不等式的应用，属于基础题．6．【分析】根据x2＜81⇔﹣9＜x＜9即可判断．【解答】解：如：﹣10＜9，（﹣10）2＞81；反之，若x2＜81，则﹣9＜x＜9，⇒x＜9，所以“x＜9”是“x2＜81”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑，学生的数学运算能力，属于基础题．7．【分析】令g（x）＝f（x）﹣3，可证明g（x）是奇函数，再利用奇函数的性质计算即可．【解答】解：由f（x）＝ax3﹣+3，令g（x）＝ax3﹣，因为g（﹣x）＝a（﹣x）3﹣＝＝﹣ax3+＝﹣g（x），可得g（x）为奇函数，即g（x）＝f（x）﹣3，所以g（﹣5）＝﹣g（5），所以f（﹣5）＝g（﹣5）+3＝﹣g（5）+3＝﹣[f（5）﹣3]+3＝﹣f（5）+6＝﹣（﹣2）+6＝8，故选：D．【点评】本题考查奇函数的平行移动的性质的应用，属于基础题．8．【分析】由函数的奇偶性，及单调性，结合f（﹣5）＝0，可得分别使f（x）＞0，f（x）＜0的区间，解得不等式的解集．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）单调递减，且f（﹣5）＝0，所以f（5）＝0，且f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，﹣5）∪（0，5）时，f（x）＞0，x∈（﹣5，0）∪（5，+∞）时，f（x）＜0．由（x﹣3）f（x）＞0，得或，解得3＜x＜5或﹣5＜x＜0，则x的取值范围是（﹣5，0）∪（3，5）．故选：A．【点评】本题考查函数性质的应用，属于基础题．二、多选题（每题5分，共20分）9．【分析】由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，A符合题意；根据二次函数的性质可知，f（x）＝x2﹣4x+2在（1，+∞）上不单调，B错误；f（x）＝x﹣在（0，∞）上单调递增，C正确；因为y＝3x，y＝x3在R上单调递增，故y＝3x+x3在R上单调递增，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．10．【分析】利用比较法可检验选项A；结合函数奇偶性定义可检验选项B；结合基本不等式可检验选项C；结合不等式的恒成立问题可检验选项D．【解答】解：因为a，b，c均为正数，且b＞a，则＝＞0，故正确；因为f（x）＝定义域R且f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，B正确；若x＞0，y＞0，则＝2，当且仅当x＝y时取等号，C正确；函数f（x）的定义域为I，∀x∈I，有f（x）≥M，则f（x）min≥M，但最小值不一定为M，D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查了比较法在不等式大小关系比较中的应用，还考查了函数奇偶性的判断基本不等式求解最值及不等式的恒成立问题的应用，属于中档题．11．【分析】根据对勾函数的函数性质结合选项条件即可作出判断．【解答】解：对于A选项，因为，所以f（x）是奇函数，则A对；对于B选项，当x＞0时，根据基本不等式可知，当且仅当，即x＝1时等号成立，因为f（x）是奇函数，所以当x＜0时f（x）≤﹣2，故f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则B不对；对于C选项，等价于等价于，解得或x≥3，则C不对；对于D选项，由B可知当x＜0时f（x）在x＝﹣1处取最大值，f（﹣1）＝﹣2，最小值在区间端点处取得，，f（x）在区间上的值域为，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了对勾函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．12．【分析】根据基本不等式及不等式的基本性质解答即可．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以ab+2＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号，解得ab≤2，对于A：＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；对于B：a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝2，所以（a+b）2﹣2＝3ab≤6，当且仅当a＝b时取等号，解得a+b，B错误；对于C：因为a＞0，b＞0，a3+b3＝（a+b）（a2+b2﹣ab）＝2（a+b），C正确；对于D：由a2﹣ab+b2﹣2＝0，关于a的一元二次方程有正根，首先Δ＝b2﹣4（b2﹣2）≥0，b＞0，解得：，此时，符合题意，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式求最值、解不等式，属于中档题．三、填空题（每题5分，共20分）13．【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解．【解答】解：分类讨论①当3＝a，a2﹣1＝8，集合为{3，8，2}，满足集合的元素具有互异性；②3＝a2﹣1，可解得a＝±2；当a＝2时，与已有元素2重复，不满足互异性；当a＝﹣2时，集合为{﹣2，3，2}，满足集合的元素具有互异性．综上，a＝3或a＝﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查了集合元素的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．14．【分析】根据函数解析式，代入数值求解即可．【解答】解：根据题意f（6）＝f（6﹣4）＝f（2）＝f（﹣2）＝f（﹣6）＝16；f（6）+f（﹣6）＝2f（﹣6）＝32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．15．【分析】令，问题转化为求函数g（t）在上的值域即可．【解答】解：，令，由双勾函数的性质可知，函数g（t）在上单调递减，在（2，5]上单调递增，则，所以所求函数的值域为．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，考查换元思想以及运算求解能力，属于基础题．16．【分析】根据抽象函数的定义域解法，先求出x2﹣1，即为f（x）的定义域，再将x+1代入即可求f（x+1）的定义域．【解答】解：由函数f（x2﹣1）的定义域为是[﹣2，2]，即x∈[﹣2，2]，则﹣1≤x2﹣1≤3；对于f（x+1），有﹣1≤x+1≤3，则x∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了抽象函数的定义域，学生的数学运算能力，属于基础题．四、解答题（请写出必要的解答过程）17．【分析】（1）根据并集的定义可解．（2）根据题意M∩N＝M，故M⊆N，利用集合间的关系可解．【解答】解：（1）若a＝，则N＝{x|3＜x＜5}，又M＝{x|2≤x≤4}，故M∪N＝{x|2≤x＜5}，（2）因为M∩N＝M，故M⊆N，则a2＜2，故﹣，则a的取值范围为（﹣）．【点评】本题考查并集定义以及集合间的关系，属于基础题．18．【分析】（1）根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解；（2）根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解．【解答】解：（1）原式＝．（2）∵a＞b，∴，则．【点评】本题考查的知识要点：指数和分数指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19．【分析】（1）设f（x）＝xα，代入点可得其解析式，再任取x1＜x2，通过计算f（x1）﹣f（x2）的正负来证明f（x）的单调性；（2）先证明f（x）是奇函数，再利用奇偶性将不等式进行转化，然后利用单调性去掉f，解一元二次不等式即可．【解答】解：（1）设f（x）＝xα，将点（3，27）代入得27＝3α，即α＝3，∴f（x）＝x3（x∈R），任取x1＜x2，∴，∵x1＜x2，x1﹣x2＜0，又∵，∴，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）的（﹣∞，+∞）上为增函数；（2）∵f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，所以不等式f（4t2﹣3t﹣1）+f（t﹣t2）＞0等价于f（4t2﹣3t﹣1）＞f（t2﹣t），又f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，所以4t2﹣3t﹣1＞t2﹣t，即3t2﹣2t﹣1＞0，解得：或t＞1，所以该不等式的解集为：（﹣）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的性质，学生的数学运算能力，属于中档题．20．【分析】（1）首先判断函数定义域为R，根据偶函数的性质f（﹣x）＝f（x），即可得出答案；（2）由（1）知f（x）＝3x+3﹣x，f（x）＞0，题意转化为对任意的x∈R，总存在y∈R，使得2≥成立，即2≥（）max，也即总存在y∈R，使得2≥＝2﹣1成立，即总存在y∈R，使得﹣y²﹣2y+n≥﹣1成立，也即总存在y∈R，使得n≥y²+2y﹣1成立，构造函数g（y）＝y²+2y﹣1，求出g（y）的最小值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵函数为偶函数，∴函数定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），∴＝，即32mx＝9x，∴2m＝2，解得m＝1；（2）由（1）知f（x）＝3x+3﹣x，f（x）＞0，对任意的x∈R，总存在y∈R，使得成立，转化为对任意的x∈R，总存在y∈R，使得2≥成立，即2≥（）max，∵f（x）＞0，∴f（x）＝3x+3﹣x≥2＝2，当且仅当3x＝3﹣x，即x＝0时，等号成立，∴（）max＝，∴总存在y∈R，使得2≥＝2﹣1成立，即总存在y∈R，使得﹣y²﹣2y+n≥﹣1成立，也即总存在y∈R，使得n≥y²+2y﹣1成立，令g（y）＝y²+2y﹣1＝（y+1）²﹣2，二次函数g（y）的图象开口向上，且对称轴为直线y＝1，∴g（y）min＝g（﹣1）＝﹣2，∴n≥﹣2，故实数n的取值范围为[﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性和函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）根据已知条件，求得参数k，再令v≥40即可求得x的范围；（2）根据（1）中所求结合题意求得y关于x的函数，再求分段函数的最大值即可．【解答】解：（1）由题意知当x＝120（辆/千米）时，v＝0（千米/小时），代入，解得k＝3600，故v＝，当0＜x≤40时，v＝60≥40，符合题意，当40＜x≤120时，令，解得x≤88，所以0＜x≤88．故若车流速度v不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是（0，88]．（2），当0＜x≤40时，y＝60x为增函数，所以y≤2400，当x＝40时等号成立，，当且仅当，即x＝80时等号成立．故隧道内车流量的最大值约为3600辆/小时，此时车流密度约为80辆/千米．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22．【分析】（1）根据二次函数的单调性及最值列出方程组即可求解；（2）将方程化为|x﹣1|2﹣（3k+2）|x﹣1|+（2k+1）＝0，x≠1，换元转化为一元二次方程t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0，分类讨论方程根的个数即可．【解答】解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，对称轴为x＝1，∵a＞0，故g（x）在[2，3]上单调递增，所以，解得；（2）由（1）知，所以，整理得|x﹣1|2﹣（3k+2）|x﹣1|+（2k+1）＝0，x≠1，令t＝|x﹣1|，x＜1时，t＝1﹣x是减函数，且t∈（0，+∞），x＞1时，t＝x﹣1是增函数且t∈（0，+∞），x≠1，则t≠0，所以t∈（0，+∞））时，t＝|x﹣1|有两个实数解，t≤0时，t＝|x﹣1|无实数解．原问题转化为t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0（*）在（0，+∞）上只有1个实根，Δ＝（3k+2）2﹣4（2k+1）＝0，k＝0或，当k＝0时，方程（*）的解为t1＝t2＝1满足题意，当时，方程（*）的解为，满足题意，Δ＞0，即或k＞0时，方程（*）有两个不等的实根t1，t2，不妨设t1＜t2，则t1≤0，t2＞0，2k+1＝0时，即时，方程（*）的解为，满足题意．2k+1＜0即时，t1t2＝2k+1＜0，t1＜0＜t2满足题意．综上，实数k的取值范围是．【点评】本题考查了函数的性质，分类讨论，学生的数学运算能力，属于中档题．