河南省洛阳市2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

洛阳市2022—2023学年第一学期期中考试

高一数学试卷

本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．考试结束，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，，，则=（    ）

A．    B．    C．    D．{1，2}

2．已知，则（    ）

A．    B．   C．    D．

3．命题“，”的否定是（    ）

A．，      B．，

C．，      D．，

4．已知，，，则（    ）

A．   B．    C．    D．

5．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知正数x，y满足，则xy的最大值为（    ）

A．     B．     C．1     D．2

7．已知幂函数过点，则的解集为（    ）

A．[-1，4）    B．[-1，1）    C．[-1，3）    D．

8．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A．（-1，2）    B．    C．（-2，1）    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多相符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设全集为U，A，B为U的子集，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．         B．

C．        D．

10．下列函数中最大值为2的是（    ）

A．   B．   C．   D．

11．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．       B．函数是奇函数

C．方程有无数解       D．函数f（x）的值域为Z

12．已知函数f（x）的定义域为R，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ）

A．         B．

C．        D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的定义域为______．

14．若函数为奇函数，则实数a=______．

15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为81元，则此户居民本月用水量为______．

16．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。

17．（10分）

（1）计算；

（2）化简．

18．（12分）

已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数m的取值范围．

19．（12分）

给定函数，，．，用m（x）表示f（x），g（x）中的最小者，记为．

（1）请用图象法和解析法表示函数m（x）；

（2）根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数m（x）的最大值和最小值．

20．（12分）

某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数（，，k，a是常数）的图象，且，．

（1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？

（3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg（精确到0.1μg）？

21．（12分）

已知（，且）．

（1）解关于x的不等式；

（2）若，且对，，求实数n的取值范围．

22．（12分）

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．

（1）求，的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；

（3）解不等式．

洛阳市2022—2023学年第一学期期中考试

高一数学试卷参考答案

一、选择题

1—4 BDCA  5—8 BBCA  9 ABD  10 AC  11 ACD  12 BD

二、填空题

13．   14．-1   15．19   16．

三、解答题

17．（1）

=100+1-6+8=103．

（2）

=4-π+π-3=1．

18．（1）当时，，，

由，得．

．

（2）由，得，即或，

解得或．所以实数m的取值范围是或．

19．（1）令，即，解得，或．

（2）函数的单调区间是[-4，-1]，（-1，1），[1，4]．

函数m（x）在区间[-4，-1]上单调递增，在区间（-1，1）上单调递减，

在区间[1，4]上单调递增．

由，，，知，

当时，m（x）取得最大值，最大值为8，

当时，m（x）取得最小值，最小值为-1．

20．（1）当时，；

当时，把，代入（，，k，a是常数），

得，解得故

（2）设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中．

则，解得，

即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物．

（3）第二次注射药物1.5h后，

每毫升血液中第一次注射药物的含量，

每毫升血液中第二次注射药物的含量，

所以此时两次注射药物后的药物含量为．

故该人每毫升血液中药物含量为6.4μg．

21．（1）可化为，即，

由，得．当，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

（2）当时，因为，是减函数，

所以是减函数，又因为，

得，即．当时，不等式恒成立，，

当时，，

因为，当且仅当时等号成立，所以．

综上，实数n的取值范围是．

22．（1）令，得，即．

令，，得，即．

（2）函数f（x）是减函数，证明如下：

，，当时，，则，

，

即，所以函数f（x）是减函数．

（3）由（1）知，所以，即，

因为函数f（x）是减函数，不等式可化为，

所以，解得，不等式的解集为