南京市金陵汇文学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

南京市金陵汇文学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题

1. 若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（  ）

A. 92° B. 88° C. 44° D. 88°或44°

2. 为落实“双减”政策，鼓楼区教师发展中心开设“鼓老师讲作业”线上直播课．开播首月该栏目在线点击次数已达66799次，用四舍五入法将66799精确到千位所得到的近似数是（    ）

A  B.  C.  D.

3. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向左平移2个单位长度，得到点，则点所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当减少时，增加，则y与x的函数表达式是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知一次函数与一次函数中，函数、与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：

表1：

表2：

则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

7. 的绝对值是______．

8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．

9. 写出一个一次函数，使其函数值随着自变量的值的增大而增大：______．

10. 下列各数：－1、、、，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1），其中无理数的个数是______．

11. 比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．

12. 将一次函数的图像沿x轴向左平移4个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是______．

13. 如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

14. 某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克．

15. 如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是______．

16. 已知点A的坐标是，点B是正比例函数的图像上一点，若只存在唯一的点B，使为等腰三角形，则k的取值范围是______．

三、解答题

17 计算：．

18. 求下列各式中的x：

（1）；

（2）．

19. 如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

20. 如图，在中，，，，，垂足为D．求AD，BD的长．

21. 如图，线段AB的两个端点的坐标分别为，，线段AB与线段，关于直线m（直线m上各点的横坐标都为5）对称，线段，与线段关于直线n（直线n上各点的横坐标都为9）对称．

（1）在图中分别画出线段、；

（2）若点关于直线m的对称点为，点关于直线n的对称点为，则点的坐标是     ．

22. 如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，，求BC的长．

23. 如图，已知，用三种不同的方法画出的平分线．要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．

24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．已知A，B两地相距9000m，甲的步行速度为100m/min，他每走半个小时就休息15min，经过2小时到达目的地．乙的步行速度始终不变，他在途中不休息，在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（甲、乙同时出发，且同时到达目的地）．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象；

（2）求甲、乙两人在途中相遇的时间．

25. 周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：

（1）已知：如图①，在中，，，直线BD平分交AC于点D．求证：与都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

26. 某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解：

（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？

（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点，分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；

（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．

答案与解析

一、选择题

1. 若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（  ）

A. 92° B. 88° C. 44° D. 88°或44°

【答案】A

【解析】

【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．

【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为92°，因为92°+92°=184°＞180°，所以这种情况不可能出现，舍去；
（2）等腰三角形的顶角为92°．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为92°．

故选A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质.如果已知等腰三角形的一个内角要求它的顶角，需要分该内角是顶角和这个内角是底角两种情况讨论.本题能根据92°角是钝角判断出92°只能是顶角是解题关键.

2. 为落实“双减”政策，鼓楼区教师发展中心开设“鼓老师讲作业”线上直播课．开播首月该栏目在线点击次数已达66799次，用四舍五入法将66799精确到千位所得到的近似数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先把66799精确到千分位，再根据科学记数法的表示形式表示即可．

【详解】∵，

∴66799精确到千分位为，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查近似数与科学记数法，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．

3. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．

【详解】解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；

B.

,

故能判定，不符合题意；

C. ，，

，故能判定，不符合题意；

D.

，故能判定，不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向左平移2个单位长度，得到点，则点所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合轴对称的性质可求出点的坐标．再根据平移的性质可求出点的坐标，即可知其所在象限．

【详解】∵点A的坐标为(1，3)，点是点A关于x轴的对称点，

∴点的坐标为(1，-3)．

∵点是将点向左平移2个单位长度得到的点，

∴点的坐标为(-1，-3)，

∴点所在的象限是第三象限．

故选C．

【点睛】本题考查轴对称的性质，平移中点的坐标的变化以及判断点所在的象限．根据题意求出点的坐标是解答本题的关键．

5. EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当减少时，增加，则y与x的函数表达式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据垂直平分线的性质可得,，根据题意列出函数关系式即可

【详解】 EF是BC的垂直平分线，

是的角平分线

设，即

当减少时，则，增加，则

故选B

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，列函数关系式，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一是解题的关键．

6. 已知一次函数与一次函数中，函数、与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：

表1：

表2：

则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】用待定系数法求出和的表达式，再解不等式即可得出答案．

【详解】由表得：，在一次函数上，

∴，

解得：，

∴，

，在一次函数上，

∴，

解得：，

∴，

∴为，

解得：．

故选：D．

【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．

二、填空题

7. 的绝对值是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

【详解】解：-的绝对值是．

故答案为．

【点睛】本题考查了实数的绝对值，理解负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身是解题关键．

8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．

【答案】10
 

【解析】

【详解】解：因为2+2=4，

所以腰长为2时不能构成三角形；

所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，

周长：4+4+2=10，

答：它的周长是10，

故答案为：10．

9. 写出一个一次函数，使其函数值随着自变量的值的增大而增大：______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据其函数值随着自变量的值的增大而增大，可得该一次函数的自变量系数大于0，即可求解．

【详解】解：∵其函数值随着自变量的值的增大而增大，

∴该一次函数的自变量系数大于0，

∴该一次函数解析式为．

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求函数值，熟练掌握对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小是解题的关键．

10. 下列各数：－1、、、，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1），其中无理数的个数是______．

【答案】3

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数；有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，由此即可判定．

【详解】在－1、、、，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1）中，

无理数有，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1）共3个．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了实数的分类，理解有理数与无理数的概念是解题的关键．

11. 比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【答案】＜

【解析】

【分析】由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故答案为：＜．

【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

12. 将一次函数的图像沿x轴向左平移4个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是______．

【答案】##y=4+2x

【解析】

【分析】根据一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”来解题即可．

【详解】由一次函数的图象沿x轴向左平移4个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，

化简得：，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”．

13. 如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

【答案】20

【解析】

【分析】根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值．

【详解】解：据题意得，．

∵，即，

∴，

∴．

由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）．

∴（海里），

∴（海里）．

故答案为：20．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．

14. 某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克．

【答案】30

【解析】

【分析】根据题意可设AB段的解析式为，OC段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，可列出关于x的等式，解出x即可．

【详解】根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)，

∴ ，

解得：，

∴AB段的解析式为：；

设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)，

∴，

解得：，

∴OC段的解析式为：．

当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，

∴，

解得：．

所以这天的产量是30千克．

故答案为：30．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．

15. 如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据勾股定理列式计算得到答案．

【详解】解：连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB，AD=DB=5，

∵∠C=90°，AC=8，BD=5，

∴AB=2BD=10，

由勾股定理得，BC==6，

则CE=8-AE=8-EB，

在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，

解得，BE=，则AE=，

∴S△ABE=AE×BC=××6=，

∴△ADE的面积是S△ABE=．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是勾股定理以及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16. 已知点A的坐标是，点B是正比例函数的图像上一点，若只存在唯一的点B，使为等腰三角形，则k的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．根据题意结合垂直平分线的性质可判断出当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使为等腰三角形．再根据点A的坐标，即可求出直线CD的斜率，即可得出k的取值范围．

【详解】如图，作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．

由垂直平分线的性质可知，当点B在OA的垂直平分线上时，即满足为等腰三角形，但此时在该正比例函数上还有一点B可使为等腰三角形，如图，和都为等腰三角形，此时不符合只存在唯一的点B，使为等腰三角形，

故要想只存在唯一的点B，使为等腰三角形，并在x>0的条件下，只能B点不在OA的垂直平分线上，即该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间．

设OA的函数解析式为：，则

解得：．

设CD的函数解析式为：，

∵CD在OA的垂直平分线上，

∴，即，

解得：．

∵该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间，

∴，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，一次函数和正比例函数的图像和性质，根据题意理解当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使为等腰三角形是解答本题的关键．

三、解答题

17. 计算：．

【答案】2

【解析】

【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可完成．

【详解】解：

．

【点睛】本题是实数的运算，考查了算术平方根的定义、立方根的定义，关键是掌握两个定义，要注意的是负数没有平方根，而任何实数都有立方根．

18. 求下列各式中的x：

（1）；

（2）．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平方根定义开方，求出两个方程的解即可；

（2）先移项，再根据立方根定义得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．

【小问1详解】

开平方得，

∴

解得，或

【小问2详解】

移项得，

方程两边同除以8，得，

开立方，得，

【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

19. 如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．

【详解】解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，

，，，

在和中，

，

，

．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．

20. 如图，在中，，，，，垂足为D．求AD，BD的长．

【答案】AD，BD的长分别为12、9

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式得出，代入求出AD；再根据勾股定理求出BD即可．

【详解】解：在中，，，，

根据勾股定理得：，

∵，，

∴．

∴；

∵，

∴．

在中，根据勾股定理得：，

因此，AD，BD的长分别为12，9．

【点睛】此题考查三角形面积和勾股定理的应用，解题关键在于掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

21. 如图，线段AB的两个端点的坐标分别为，，线段AB与线段，关于直线m（直线m上各点的横坐标都为5）对称，线段，与线段关于直线n（直线n上各点的横坐标都为9）对称．

（1）在图中分别画出线段、；

（2）若点关于直线m的对称点为，点关于直线n的对称点为，则点的坐标是     ．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）分别作出A、B二点关于直线m的对称点A1、B1，再分别作A1、B1，二点关于直线n的对称点A2、B2即可；

（2）根据轴对称的性质得出坐标即可．

【详解】解：（1）如图，线段，即为所求；

（2）由轴对称性质可得、横坐标平均数等于5，纵坐标相等，则 ，

由轴对称性质可得、横坐标平均数等于9，纵坐标相等，则．

【点睛】本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．

22. 如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得，，进而证得=60°，则△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得即可求解．

【详解】（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，

∴，

∵点F是BC中点，

∴，，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）解：∵，

∴，

∴，

同理，

∵，，

∴，

∴

又是等腰三角形，

∴是等边三角形．

∴，

∴．

【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

23. 如图，已知，用三种不同的方法画出的平分线．要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．

【答案】作图见解析

【解析】

【分析】分别根据全等三角形的判定方法“SSS”和“HL”，即可有两种不同画法．再根据平行线的性质结合等腰三角形的性质，即可画出第三种画法．

【详解】①在AC上取线段AD，AB上取线段AE，使，再连接DE，并取DE中点F，最后连接AF并延长，则AF即为的平分线；

②在AC上取线段AG，AB上取线段AH，使．再过点G作，过点H作，GJ和HI交于点K，最后连接AK并延长，则AK即为的平分线；

③在AC上取线段AR，在AB上取线段AP，使AR=AP，过点P作，再在PQ上取线段PO，使PO=AR，连接AO并延长，则AO即为的平分线．

【点睛】本题考查作图——角平分线，理解分别用全等三角形的判定方法“SSS”和“HL”，以及平行线的性质结合等腰三角形的性质来作图是解答本题的关键．

24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．已知A，B两地相距9000m，甲的步行速度为100m/min，他每走半个小时就休息15min，经过2小时到达目的地．乙的步行速度始终不变，他在途中不休息，在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（甲、乙同时出发，且同时到达目的地）．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象；

（2）求甲、乙两人在途中相遇的时间．

【答案】（1）图象见解析；   

（2）甲、乙两人在途中相遇的时间为40分钟，60分钟和80分钟的时候．

【解析】

【分析】（1）根据乙的步行速度始终不变，且他在途中不休息，即直接连接原点和点(120，9000)即可；

（2）根据图象可判断甲、乙两人在途中相遇3次，分段计算，利用待定系数法结合图象即可求出相遇时间．

【小问1详解】

乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图像，如图即是．

【小问2详解】

根据题意结合图象可知甲、乙两人在途中相遇3次．

如图，第一次相遇在AB段，第二次相遇在BC段，第三次相遇在CD段，

根据题意可设的解析式为：，

∴，

解得：，

∴的解析式为．

∵甲的步行速度为100m/min，他每走半个小时就休息15min，

∴甲第一次休息时走了米，

对于，当时，即，

解得：．

故第一次相遇的时间为40分钟的时候；

设BC段的解析式为：，

根据题意可知B(45，3000)，D (75，6000)．

∴，

解得：，

故BC段的解析式为：．

相遇时即，故有，

解得：．

故第二次相遇的时间为60分钟的时候；

对于，当时，即，

解得：．

故第三次相遇的时间为80分钟的时候；

综上，甲、乙两人在途中相遇的时间为40分钟，60分钟和80分钟的时候．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．

25. 周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：

（1）已知：如图①，在中，，，直线BD平分交AC于点D．求证：与都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

【答案】（1）见详解；   

（2）见详解；    （3）见详解；   

（4）见详解；

【解析】

【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，所以△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；
（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．

【小问1详解】

证明：在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形

【小问2详解】

解：如下图所示：
 

【小问3详解】

解：如图所示：
 

【小问4详解】

解：特征一：直角三角形（直角边不等）；
特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．

26. 某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解：

（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？

（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点，分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；

（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．

【答案】（1） 元/千克，画图见解析   

（2）见解析    （3）图见解析， 元/千克

【解析】

【分析】（1）设甲糖果质量为千克，则乙糖果质量为千克，根据单价等于总价除以质量，即可求解；如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD∶CD=1∶2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果， BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，即可求解；

（2）根据题意得： ，点P的横坐标为1，求出直线EF的解析式，再将 x=1代入，即可求解；

（3）类比（2）设计图形，过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价，即可求解．

【小问1详解】

解：设甲糖果质量为千克，则乙糖果质量为千克，根据题意得：

什锦糖果的单价为 ，

如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD∶CD=1∶2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果， BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，

根据题意得：BC=3BD，CD=2BD，

∴什锦糖果的单价为 ，

【小问2详解】

解：根据题意得： ，点P的横坐标为1，

设直线EF的解析式为 ，

∴ ，解得： ，

∴直线EF的解析式为 ，

当x=1时， ，

即什锦糖果的质量为 元/千克；

【小问3详解】

设计方案如下：如图，过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法：

把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价；

设直线EF的解析式为 ，

把点 代入得：

，解得： ，

∴直线EF的解析式为，

当x=1时， ，

即甲乙糖果混合后的什锦糖果的单价为 元/千克，

∴点 ，

设直线MN的解析式为 ，

把点 ， 代入得：

，解得： ，

∴直线MN的解析式为，

∴当x=3时， ，

即三种糖果混合后的什锦糖果的单价为 元/千克．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，明确题意，利用数形结合思想解答是解题的关键．