南通市海门区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

南通市海门区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　

A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1

2. 计算的结果是（    ）

A. x2 B. x3 C. x5 D. x6

3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）

A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5

C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝40，b＝50，c＝60

5. 计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（    ）

A. 3x﹣2xy B. 3xy﹣2y C. 3x﹣2y D. 3x2﹣2y2

6. 点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（       ）

A.  B.  C.  D.

7. 在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（  ）

A. (2a+3b)(3a﹣2b) B. (a+b) (﹣a﹣b)

C. (﹣m+n) (m﹣n) D. (a+b) (b﹣a)

8. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ）

A. 扩大到原来的20倍 B. 缩小到原来的

C. 扩大到原来的2倍 D. 不变

9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ）

A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66

二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11. 将数0.0002022用科学记数法表示为________．

12. 分解因式：x2-16y2=_______.

13. 等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为_____cm．

14. 正十边形的每一个内角的度数为_______．

15. 计算的结果是________．

16. 一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）

17. 若m＞n＞0，且m2＝4mn﹣n2，则的值为________．

18. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为_____cm．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）

（2）

20. 计算：

（1）（3x＋1）（x﹣2）；

（2）4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5）．

21. 计算

（1） ；

（2）．

22. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD/BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．

23. 列方程解应用题：

甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度．

24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，B C′与AD交于点E．

（1）试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；

（2）若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．

25. 如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD．

（1）如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝        ；

（2）如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；

（3）如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）．

26. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．

（1）下列3组分式：

①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；

（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；

（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　

A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．

【详解】解：由题意得，x－1≥0，

解得x≥1．

故选：D．

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．

2. 计算的结果是（    ）

A. x2 B. x3 C. x5 D. x6

【答案】D

【解析】

【分析】根据幂的乘方运算法则计算可得．

【详解】解：，

故选D．

【点睛】本题主要考查幂的乘方运算，解题的关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此对各选项一一判断即可．

【详解】解：B、C、D均是轴对称图形，A不是轴对称图形．

故选：A．

【点睛】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．

4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）

A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5

C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝40，b＝50，c＝60

【答案】D

【解析】

【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

B、42+52＝(）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，

5. 计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（    ）

A. 3x﹣2xy B. 3xy﹣2y C. 3x﹣2y D. 3x2﹣2y2

【答案】C

【解析】

【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．

【详解】解：（15x2y﹣10xy2）÷5xy，

，

，

故选C．

【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

6. 点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短，即可得出结论．

【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，

∴点P到OB的距离为5，

∵点Q是OB边上的任意一点，

∴PQ≥5．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，熟练掌握相关内容是解题的关键．

7. 在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（  ）

A. (2a+3b)(3a﹣2b) B. (a+b) (﹣a﹣b)

C. (﹣m+n) (m﹣n) D. (a+b) (b﹣a)

【答案】D

【解析】

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．

【详解】选项A，(2a+3b)(3a﹣2b)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；

选项B，(a+b) (﹣a﹣b)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；

选项C，(﹣m+n) (m﹣n)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；

选项D，(a+b) (b﹣a)，将(b﹣a)的负号提出去，即可符合平方差公式的结构特征，故正确；

故选：D

【点睛】本题考察了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

8. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ）

A. 扩大到原来的20倍 B. 缩小到原来的

C. 扩大到原来的2倍 D. 不变

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式的性质，可得答案．

【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为，

即约分后仍为原式，分式的值不变．

故选D．

【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．

9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．

【详解】解：在中，，

，

是的中线，

，且AD平分，

，，

是的角平分线，

，

，

，

，

，

故选C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．

10. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ）

A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66

【答案】D

【解析】

【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可．

【详解】解：由题意知，分两种情况求解：

①如图1，在内部

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

∴

∴；

②如图2，在外部

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

∴

∴；

综上所述，的面积为66或126；

故选D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况．

二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11. 将数0.0002022用科学记数法表示为________．

【答案】

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】解：，

故答案为：

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12. 分解因式：x2-16y2=_______.

【答案】(x+4y) (x-4y)

【解析】

【详解】试题解析：x2-16y2=x2-（4y）2=(x+4y) (x-4y).

13. 等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为_____cm．

【答案】15

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠B＝15°，根据三角形的外角性质可得∠DAC＝30°,根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．

【详解】解：如图，AB＝AC＝30cm，∠B＝15°，CD⊥AB，

∴∠ACB＝∠B＝15°，

∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，

∴CDACAB＝15cm．

故答案为：15．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质以及含30°角的直角三角形，解题的关键是运用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半求解线段长．

14. 正十边形的每一个内角的度数为_______．

【答案】144°．

【解析】

【分析】根据正十边形的内角和是 ，即可得出结论．

【详解】解：∵正十边形的内角和是 ，

∴正十边形的每个内角的度数是 ，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求正多边形的内角问题，正确掌握计算方法是解题的关键．

15. 计算的结果是________．

【答案】

【解析】

【分析】依据幂的运算法则、单项式乘单项式法则计算即可得出答案．

【详解】．

故本题答案为：

【点睛】本题考查了整式的乘法运算，运算顺序和符号问题是本题的易错点．

16. 一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）

【答案】

【解析】

【分析】设尺，则尺，利用勾股定理列方程，即可求解．

【详解】解：如图所示，

由题意知，，尺，丈＝10尺，

设尺，则尺，

由勾股定理得，，

即，

解得，

即折断处离地面的高度是尺．

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，得出AB和AC的数量关系是解题的关键．

17. 若m＞n＞0，且m2＝4mn﹣n2，则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件求得，，然后将所求的代数式转化为含有、的形式的代数式，并将，代入求值即可．

【详解】解：∵m2＝4mn﹣n2，

∴，

∴，，

∵m＞n＞0，

∴，，

∴．

故答案为：．

【点睛】考查了完全平方公式的运用、二次根式的运算，解题关键是根据已知条件得出，．

18. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为_____cm．

【答案】6

【解析】

【分析】过E点作EF⊥AB于点F，根据“AAS”证明△EBF≌△DBC，得出EF＝CD，根据∠CBD＝45°，∠C＝90°，得出∠CDB＝∠CBD＝45°，证明CD＝BC＝6cm，即可得出结果．

【详解】解：过E点作EF⊥AB于点F，

∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，

∴BCAB＝6cm，∠ABC＝60°，

∵△BDE为等边三角形，

∴BE＝BD，∠EBD＝60°，

∴∠EBD＝∠ABC＝60°，

∵∠EBF＝∠EBD﹣∠ABD，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD，

∴∠EBF＝∠DBC，

∵在△EBF和△DBC中

，

∴△EBF≌△DBC（AAS），

∴EF＝CD，

∵∠CBD＝45°，∠C＝90°，

∴∠CDB＝∠CBD＝45°，

∴CD＝BC＝6cm，

∴EF＝6cm，

即点E到AB边的距离为6cm．

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明EF＝CD是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并．

（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分．

【小问1详解】

．

【小问2详解】

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数．

20. 计算：

（1）（3x＋1）（x﹣2）；

（2）4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简；

（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．

【小问1详解】

解：（3x＋1）（x﹣2）

【小问2详解】

解：4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5）

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．

21. 计算

（1） ；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用乘法法则计算，约分即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD/BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，根据ASA推出△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得出即可．

【详解】证明：连接BD，

∵ABCD，ADBC，

∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，

在△ADB和△CBD中

，

∴△ADB≌△CBD，

∴AD＝BC，AB＝CD．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出△ADB≌△CBD，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．

23. 列方程解应用题：

甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度．

【答案】甲的速度km/h，乙的速度6km/h

【解析】

【分析】先根据甲乙的速度比分别设两者的速度，再根据时间×速度=路程表示出时间，根据时间差20min列方程求解．

【详解】设甲的速度为，乙的速度为

由题意，得

解得

则甲的速度，乙的速度

答：甲的速度km/h，乙的速度6km/h．

【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解决此题的关键是用速度、时间、路程三者之间的关系表示出时间差建立方程．

24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，B C′与AD交于点E．

（1）试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；

（2）若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．

【答案】（1）△BED是等腰三角形，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由ADBC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，即可证明△BED是等腰三角形；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=12-x，由BE平分∠ABD和∠CBD=∠EBD，得出，进而得到，列方程即可求出DE，再利用勾股定理求出AB，利用三角形面积公式即可求解．

【小问1详解】

解：△BDE是等腰三角形，证明如下：

由折叠可知，∠CBD=∠EBD，

∵ADBC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

即△BDE是等腰三角形；

【小问2详解】

解：∵四边形ABCD是长方形，BC＝12，

∴，，

设DE=x，则BE=x，AE=12－x，

∵BE平分∠ABD，∠CBD=∠EBD，

∴∠ABE=∠CBD=∠EBD，

又∵∠ABE＋∠CBD＋∠EBD=∠ABC=，

∴，

∴，即，

解得，

∴，，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，即，

解得，

∴．

【点睛】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的判定、勾股定理、矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，有一定综合性，难度一般，解题关键是由BE平分∠ABD和翻折的性质得出．

25. 如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD．

（1）如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝        ；

（2）如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；

（3）如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）利用“等高三角形面积比等于底边长度之比”即可求解；

（2）利用角平分线的性质可得S△ABD中AB边上的高等于S△ACD中AC边上的高，再利用三角形面积公式即可证明；

（3）利用（1）（2）的结论，结合已知条件可知，S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，即可求解．

【小问1详解】

解：如图，作于点E．

∵BD＝CD，

∴S△ABD∶S△ACD，

故答案为：；

【小问2详解】

证明：如图，作于点M，于点N．

∵AD平分∠BAC，，，

∴，

∴S△ABD∶S△ACD；

【小问3详解】

解：∵DE＝2AD，

∴，

∴．

∵AD平分∠BAC，AB∶AC＝3∶2，

∴由（2）的结论可知S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，

∴，

∴．

【点睛】本题考查三角形面积公式以及角平分线的性质，掌握“等高三角形面积比等于底边长度之比”以及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．

26. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．

（1）下列3组分式：

①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；

（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；

（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．

【答案】（1）②③    （2）证明见解析   

（3）或

【解析】

【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；

（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可；

（3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．

【小问1详解】

解：①

②；

③

则

∴属于“友好分式组”的有②③．

故答案为：②③

【小问2详解】

∵a，b互为倒数，

∴ab=1，，

∴

∴与属于“友好分式组”

【小问3详解】

∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，

或

把①代入

把②代入

∴的值为或

【点睛】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．