泰州市海陵区海陵学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

泰州市海陵区海陵学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（    ）

A. 等于3 B. 大于3 C. 小于3 D. 无法确定

4. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(     )

A.  B. 4 C.  D.

5. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（    ）

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7. 的平方根是____．

8. 在实数，0，，，，0.20202中，无理数有_____个．

9. 已知点，点关于y轴对称，则__________．

10. 结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：

在和中，，

，_______

．

11. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.

12. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____．

13. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________．

14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________．

15. 如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是_____．

16. 根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____．

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算：

（1）；

（2）．

18. 求下列各式中的

（1）

（2）

19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为_____°．

20. 已知与成正比例，且时．

（1）试求与之间的函数表达式；

（2）若点在这个函数图象上，求的值．

21. 已知一次函数y＝x+3．

（1）在如图所示的网格中画该函数的图象；

（2）当0≤x≤6时，y的取值范围是_____；

（3）当y≥0时，自变量x的取值范围是______．

22. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

23. 用一张面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为的长方形纸片（裁剪方式见示意图）该长方形纸片的面积可能是吗？请通过计算说明．

24. 定义：如图，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长．

25. 设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y＝﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；

（2）设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝﹣2x﹣1分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．

26. 将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

【操作观察】（1）图1中，，．

①则_______；

②若，则_______；

【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；

【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．

答案与解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．

2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可．

【详解】在中，，，，

以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，

故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

3. 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（    ）

A. 等于3 B. 大于3 C. 小于3 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】由题意过P点作PH⊥OB于H，进而利用角平分线的性质得到PH=PD=3，然后根据垂线段最短即可得到PE的最小值．

【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，

∴PH＝PD＝3，

∵点E是射线OB上的一个动点，

∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．

故选：A．

【点睛】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

4. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(     )

A.  B. 4 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．

【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠EAF=∠FBD，

∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°=∠ABC，

∴AD=BD，

在△ADC和△BDF中 ，

∴△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=4，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．

5. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定a，b的取值范围，从而求解．

【详解】已知直线经过第一、二、四象限，则得到a＜0，b＞0，

那么直线经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

6. 在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（    ）

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④

【答案】C

【解析】

【分析】①观察图象信息，可知乙队在到达，甲队在到达，据此判断；

②结合图象信息，在时，甲队的行进路程大，据此解题；

③根据图象信息，甲队以同一速度匀速行进到终点，乙队先以一个速度匀速行进，之后改变速度再匀速行驶到终点，根据速度=路程时间，可判断甲、乙队变速前后的速度；

④根据图象信息，分三段研究：当、、时，分别解得甲、乙两支龙舟队相差的距离．

【详解】．

①乙到达终点，甲到达终点，故①正确；

②由图像可得，时甲行驶路程大于乙，故②正确；

③当时，甲的速度为，乙的速度为，故③错误；从直线的倾斜程度也可得；

④当时，甲乙相距，所以在、时各有一次相距，当时，甲乙相距，所以共有次，故④正确，

故正确结论的序号是：①②④，

故选：C．

【点睛】本题考查函数的图象，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7. 的平方根是____．

【答案】±3

【解析】

【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．

【详解】解：，

实数的平方根是．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．

8. 在实数，0，，，，0.20202中，无理数有_____个．

【答案】2

【解析】

【分析】根据无理数的定义，即可求解．

【详解】∵在实数，0，，，，0.20202中，，是无理数，

∴无理数有2个，

故答案是：2．

【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的三种形式：①含π的数，②开不尽方的数，③人为构造有规律的无限不循环小数，是解题的关键．

9. 已知点，点关于y轴对称，则__________．

【答案】1.

【解析】

【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，确定a,b的值，后代入计算即可.

【详解】∵点，点关于y轴对称，

∴a= -2，b=3，

∴a+b=1，

∴1.

【点睛】本题考查了点的对称问题，熟记点对称的规律，指数的奇偶性与符号的关系是解题的关键.

10. 结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：

在和中，，

，_______

．

【答案】

【解析】

【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．

【详解】AC和DF为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．

∴填AB=DE．

故答案为：AB=DE．

【点睛】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．

11. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.

【答案】90º

【解析】

【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.

【详解】解：如图，根据方格纸的性质，

在△ABD和△CBE中

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠1=∠BAD，

∵∠BAD+∠2=90°，

∴=90°.

故答案为：90°.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．

12. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____．

【答案】15

【解析】

【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．

【详解】∵实数x，y满足，

∴x＝3，y＝6，

∵3、3、6不能组成三角形，

∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，

∴等腰三角形周长为：3＋6＋6＝15，

故答案是：15．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．

13. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________．

【答案】48

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．

【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是

∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm

∵直角三角形斜边上的高是6cm

∴该直角三角形的面积为：×16×6=48cm2

故答案为：48

【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公式是解决此题的关键．

14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________．

【答案】11

【解析】

【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．

【详解】解：∵a＜＜b，a、b为两个连续的整数，
∴，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝11.
故答案为：11.

【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.

15. 如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是_____．

【答案】

【解析】

【分析】先把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．

【详解】解：把代入，得出，

函数和的图象交于点，

即，同时满足两个一次函数的解析式，

所以关于，的方程组的解是．

故答案为．

【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

16. 根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE＝AD，故CD+AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．

【详解】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，

过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，

∴DE＝AD，

∴CD+AD＝CD+DE≥CF，

∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，

∴∠ACF＝30°，

∴AF＝1，

∴CF＝，

∴CD+AD的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是解答本题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；

（2）利用二次根式的乘法运算法则计算，进而化简得出答案．

【小问1详解】

；

【小问2详解】

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．

18. 求下列各式中的

（1）

（2）

【答案】（1）或；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先移项，再合并同类项，再根据平方根的定义求解；

（2）先根据立方根的定义开立方，再解方程即可求解．

【小问1详解】

，

，

，

或；

【小问2详解】

，

，

．

【点睛】本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义．

19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为_____°．

【答案】（1）见解析    （2）135

【解析】

【分析】（1）以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于M，交AC于N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于O，连接AO并延长，交BC于D；

（2）根据题意结合（1）进而根据三角形内角和定理即可求出∠APB的度数．

【小问1详解】

解：如图AD即为所求；

【小问2详解】

解：∵∠C＝90°．

∴∠ABC+∠BAC＝90°，

∵AD平分∠BAC，BP平分∠ABC，

∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，

∴∠APB＝180°﹣45°＝135°．

故答案为：135．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，与角平分线有关的三角形内角和问题，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．

20. 已知与成正比例，且时．

（1）试求与之间的函数表达式；

（2）若点在这个函数图象上，求的值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可设，把条件代入可求得与的函数关系式；

（2）把代入函数解析式可求得答案．

【小问1详解】

与成正比例，

可设，

当时，，

，解得，

，

与的函数关系式为；

【小问2详解】

当时，代入函数解析式可得，

解得．

．

【点睛】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键

21. 已知一次函数y＝x+3．

（1）在如图所示的网格中画该函数的图象；

（2）当0≤x≤6时，y的取值范围是_____；

（3）当y≥0时，自变量x的取值范围是______．

【答案】（1）见解析    （2）3≤y≤9   

（3）x≥﹣3

【解析】

【分析】（1）利用两点法就可以画出函数图象；

（2）观察函数图象与y轴的交点，计算当x＝6时y＝9，即可求解；

（3）观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论．

【小问1详解】

解：一次函数y＝x+3．

当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，

则图象如图所示：

【小问2详解】

解：当x＝6时，y＝9，

由图象得，当0≤x≤6时，y的取值范围是：3≤y≤9，

故答案为：3≤y≤9；

【小问3详解】

解：x＝﹣3时y＝0，

由图象得，当y≥0时，自变量x的取值范围是x≥﹣3，

故答案为：x≥﹣3．

【点睛】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出一次函数与x轴与y轴的交点是解题的关键．

22. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

【答案】（1）证明见解析；（2）5cm．

【解析】

【分析】（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；

（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．

【详解】解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，

∴（4a）2+（3a）2=252，

∵a＞0，

解得a=5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，余角的性质和勾股定理，其中熟练掌握三角形全等的判定方法和勾股定理是解题关键.

23. 用一张面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为的长方形纸片（裁剪方式见示意图）该长方形纸片的面积可能是吗？请通过计算说明．

【答案】不可能，理由见解析

【解析】

【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．

【详解】设长方形长和宽分别为、，

∵正方形的面积为，

∴正方形边长为，

，

解得，

，

不可能．

【点睛】本题考查矩形面积的计算方法，不等式组的应用，确定长方形边长及面积的取值范围是得出答案的关键．

24. 定义：如图，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长．

【答案】的长为或10

【解析】

【分析】分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可．

【详解】解：分两种情况：①当为最大线段时，

点、是线段的勾股分割点，

；

②当为最大线段时，

点、是线段的勾股分割点，

；

综上所述：的长为或10．

【点睛】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．

25. 设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y＝﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；

（2）设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝﹣2x﹣1分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）y＝﹣2x+6，见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线l与直线平行，设直线l的解析式为，再将点代入即可求解；

（2）根据直线与直线的解析式，求出点A、B、C、D的坐标，再利用即可求解．

【小问1详解】

解：∵直线l与直线平行

∴设直线l的解析式为

∵过点

∴

解得：

∴直线l的解析式为：

【小问2详解】

如图，

令，得，

令，得

∴C点的坐标为，

D点的坐标为，

令，得，

令，得，

∴点A的坐标，

点B的坐标为

∴AC=OA+OC=3+=

∴

．

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、一次函数的性质以及一次函数与坐标轴所构成的几何图形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会将不规则图形分割呈规则几何图形．

26. 将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

【操作观察】（1）图1中，，．

①则_______；

②若，则_______；

【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；

【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．

【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75

【解析】

【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．

【详解】解：（1）①∵翻折

∴△ACD≌△AED

∴AE=AC

∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2

∴BE=2；

②∵翻折，

∴AD平分∠BAC，

∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高

∴由三角形面积公式可知，，

又∵，

∴．

（2）∵翻折

∴△ACD≌△AED

∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD

又∵，∠AED=∠B+∠BDE

∴∠B=∠BDE

∴BE=DE

又∵AB=AE+BE

∴AB=AC+DE=AC+CD．

（3）∵翻折

∴PC=PE

∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG

∴的最小值为EG2

∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°

∴△AEG是含30°角的直角三角形

∴EG=，即

∴的最小值为75．

【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．