无锡市滨湖区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份无锡市滨湖区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

无锡市滨湖区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列平面图形中，是轴对称图形的为（　　）
A. B.
C. D.
2. 9的平方根是（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±6
3. 已知点P（a，2a﹣2）在直线y＝x上，则a的值为（　　）
A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2
4. 点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B. BC＝1，AC＝2，AB＝
C. BC：AC：AB＝3：4：5 D. BC＝1，AC＝2，AB＝
6. 若a、b是两个连续整数，且a＜＜b，则a+b的值为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣3x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（　　）
A. y＝﹣3x+6 B. y＝﹣3x+2 C. y＝﹣3x+10 D. y＝﹣3x﹣2
8. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（　　）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9. 如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　）

A. （﹣8，0） B. （3，0）
C. （﹣11，0），（，0） D. （﹣10，0），（2，0）
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 计算：____________．
12. 点P（2，﹣5）到y轴的距离为 _____．
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E、F在AD上，则图中阴影部分的面积为 _____．

14. 如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝_____°．

15. 如图，、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．

16. 如图，直线y＝﹣x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为 _____．

17. 如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 _____．

18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____．

三、解答题（本大题共8小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）计算：+（）﹣1；
（2）求x的值：（x﹣1）2﹣4＝0．
20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AEBF，且AE＝BF．求证：

（1）△ADE≌△BCF；
（2）AC＝BD．
21. 如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）．

（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标．
22. 如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E、F分别在边AD和边BC上，连接EF，将纸片沿EF折叠．

（1）如图（1），若点B落在边AD的延长线上的点G处，求证：GE＝GF；
（2）如图（2），若点B落在边CD的中点M处，求BF的长．
23. 如图，已知△ABC是锐角三角形（AB＞AC）．

（1）请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝10，BC＝12，求ON的长．
24. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45

（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．
25. 如图1，在一次航海模型船训练中，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙船在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

（1）甲船在30≤t≤60时，y关于t的函数表达式为 　 　；
（2）求出乙船由B2首次到达A2的时间，并在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）请你根据（2）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙两船共相遇了几次？并求出第二次相遇的时间．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF．

（1）求出A点坐标；
（2）当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
（3）连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度．



答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列平面图形中，是轴对称图形的为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2. 9的平方根是（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±6
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根即可得答案．
【详解】∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3
故选：C．
3. 已知点P（a，2a﹣2）在直线y＝x上，则a的值为（　　）
A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将点P（a，2a﹣2）在直线y＝x中计算即可．
【详解】解：∵点P（a，2a﹣2）在直线y＝x上，
∴a=2a-2，
解得a=2，
故选：D．
【点睛】此题考查了正比例函数图象上点坐标特征，点在直线上，点的坐标即可代入函数解析式求对应的参数．
4. 点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的性质判断函数图象所经过的象限，由此解答．
【详解】解：∵一次函数y＝3x+4中k=3>0，b=4>0，
∴函数图象过第一、二、三象限，
∵点P在一次函数y＝3x+4的图象上，
∴点P不可能在第四象限，
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟记由k、b的值确定一次函数图象所经过的象限是解题的关键．
5. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B. BC＝1，AC＝2，AB＝
C. BC：AC：AB＝3：4：5 D. BC＝1，AC＝2，AB＝
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可判断A；先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项B、选项D，设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，AC2+BC2＝AB2，可判断选项C．
【详解】A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵AC＝1，BC＝2，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．BC：AC：AB＝3：4：5
设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，
∴
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理．
6. 若a、b是两个连续整数，且a＜＜b，则a+b的值为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由9<11<16，得到3＜＜4，确定a=3，b=4，代入计算即可．
【详解】解：∵9<11<16，
∴且3＜＜4，
∵a＜＜b，a、b是两个连续整数，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的大小估值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握无理数的估值是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣3x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（　　）
A. y＝﹣3x+6 B. y＝﹣3x+2 C. y＝﹣3x+10 D. y＝﹣3x﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知，直线向右平移2个单位后的解析式为，整理后即可得到结果．
【详解】解：由题意知，直线向右平移2个单位后的解析式为
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于明确平移时是在x的基础上左加右减．
8. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（　　）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE＋BE＝BC＝5，进而可得答案．
【详解】解：∵边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，
∴AE＝CE，
∵BC＝5，
∴BE＋CE＝5，
∵AB＝3，
∴△ABE的周长为3＋5＝8．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9. 如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，从而得到a＞0，b＜0，故①②正确；再由直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．可得方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；然后观察图象可得当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，可得不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，故④正确，即可求解．
【详解】解：根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，
∴a＞0，b＜0，故①②正确；
∵直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．
∴当x＝﹣2时，ax+2＝mx+b，
∴方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；
∵ax﹣b＞mx﹣2，
∴ax+2＞mx+b，
∵当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，
∴不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，
即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．故④正确
∴正确的结论为①②③④，共有4个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　）

A. （﹣8，0） B. （3，0）
C. （﹣11，0），（，0） D. （﹣10，0），（2，0）
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标．
【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，
∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，
令y=2x+2=0，则x=-1，
∴OB=1，
∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，

∴∠ACO=∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°，
∴∠BDA=∠BAP=45°，
∴AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，
∴OE=3，
∴D（3，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=-3x+7，
令y=0，则x=，
∴P（，0）；

②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，

则∠BAQ=45°，
∵∠ABF=∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，
∵B（-1，0），D（3，-2），
∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
∴，解得，
∴直线AQ的解析式为：y=x+．
令y=0，则x=-11，
∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（，0）．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 计算：____________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：根据立方根的意义可知===4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查求一个数的立方根．
12. 点P（2，﹣5）到y轴的距离为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点P（2，﹣5）到y轴的距离为：，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E、F在AD上，则图中阴影部分的面积为 _____．

【答案】30
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质结合勾股定理求得AD的长度，然后由等腰三角形的对称性求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC于点D，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
∴AD＝ ，
∴S阴影＝S△ABC＝××BC×AD＝××10×12＝30，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是由等腰三角形的对称性得到阴影部分的面积为等腰三角形面积的一半．
14. 如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝_____°．

【答案】15
【解析】
【分析】根据等边三角形性质得出AC=BC，∠ACB=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACD=90°，BC=CD，利用两角和求出∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，利用等腰三角形性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD⊥AC，CD＝AC，
∴∠ACD=90°，BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+90°=150°，
∴∠BDC=．
故答案为：15．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质的性质，掌握等边三角形性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质的性质是解题关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．

【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】由勾股定理求出BC的长，再由面积法求出CD的长即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝ ，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图，直线y＝﹣x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为 _____．

【答案】5
【解析】
【分析】先求直线与两轴的交点点A（6，0），点B（0，8），然后利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜边中线性质计算即可．
【详解】解：∵直线y＝﹣x+8与坐标轴分别交于A、B两点，
∴令x=0，y=8，令y=0，﹣x+8=0，解得x=6，
∴点A（6，0），点B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理AB=，
∵P是AB的中点，∠AOB=90°，
∴OP=，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一次函数与两轴交点问题，勾股定理，直角三角形斜边中线，掌握一次函数与两轴交点问题，勾股定理，直角三角形斜边中线是解题关键．
17. 如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 _____．

【答案】．
【解析】
【分析】设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积=△OPD面积+梯形PDCB面积-△PAO面积-△ABC面积计算即可．
【详解】解：设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，
∴S△PAB=S△OPD+S四边形PDCB-S△OPA-S△ABC，
=，
=，
=，
=，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键．
18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的最小值，然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，△ADE为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可．
【详解】解：如图：过C作AB的垂线交AB于F


∴CF是CD的最小值
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝
∴AB=
∵CF⊥AB
∴CF=1
∴CD=CE的最小值为1，AF=1
∴DE的最小值为
∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1
∴四边形AFCG是正方形
∴AF=AG=1
∴当D点在F点时，△ADE的面积最大，且等腰△AGF的面积
∴△ADE的面积最大值为：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）计算：+（）﹣1；
（2）求x的值：（x﹣1）2﹣4＝0．
【答案】（1）6 （2）或-1
【解析】
【分析】（1）先根据平方根，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
（2）先移项，再根据平方根的性质，可得或，即可求解．
【小问1详解】
解：+（）﹣1

；
【小问2详解】
解：（x﹣1）2﹣4＝0
移项得：，
∴或，
解得：或-1．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握平方根的性质，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键．
20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AEBF，且AE＝BF．求证：

（1）△ADE≌△BCF；
（2）AC＝BD．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°根据平行线的性质得到∠A＝∠B，进而利用全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AEBF，
∴∠A＝∠B，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（AAS）；
【小问2详解】
∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC，
∴AC＝BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
21. 如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）．

（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标．
【答案】（1）y=x+4
（2）点P的坐标为（6，8）或（-18，-8）
【解析】
【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（﹣6，0）、点B（0，4）分别代入y=kx+b，解出k、b即可；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，那么点P的纵坐标可能是8也可能是-8，把它代入直线AB的解析式求出点P的横坐标即可．
【小问1详解】
解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（﹣6，0）、点B（0，4）分别代入y=kx+b得，

解得：
∴直线AB的函数表达式为y=x+4
【小问2详解】
解：∵点P到x轴的距离等于8
∴点P的纵坐标为，则
当y=8时，x+4＝8解得：x=6
当y=-8时，x+4＝-8解得：x=-18
∴点P的坐标为（6，8）或（-18，-8）
【点睛】本题考查了一次函数待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
22. 如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E、F分别在边AD和边BC上，连接EF，将纸片沿EF折叠．

（1）如图（1），若点B落在边AD的延长线上的点G处，求证：GE＝GF；
（2）如图（2），若点B落在边CD的中点M处，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出∠GEF＝∠EFG，则可得出结论；
（2）设BF＝x，由勾股定理得出（12−x）2＋42＝x2，求出x可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵将纸片沿EF折叠．
∴∠BFE＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝8，
∵M是CD的中点，
∴CM＝4，
由折叠的性质可知，BF＝FM，
设BF＝x，
∵CF2＋CM2＝FM2，
∴（12−x）2＋42＝x2，
解得x＝，
∴BF＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
23. 如图，已知△ABC是锐角三角形（AB＞AC）．

（1）请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝10，BC＝12，求ON的长．
【答案】（1）作图见详解；
（2）3．
【解析】
【分析】（1）根据要求先作BC的垂直平分线，再作出∠B的角平分线，交点即为O点；
（2）过点O作OH⊥AB于点H．利用勾股定理求出MN，证明OH=ON，利用面积法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，直线MN，点O即为所求；

【小问2详解】
过点O作OH⊥AB于点H．
∵BO平分∠ABC，ON⊥BC，OH⊥AB，
∴ON=OH，
∵MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=6，
∵BM=10，
∴MN===8，
∵S△BMN=S△BMO+S△BON，
∴×6×8=×10×OH+×6×ON，
∴ON=OH=3．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用面积法解决问题．
24. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45

（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．
【答案】（1）A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
（2）按照A款玩偶购进20个，B款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元．
【解析】
【分析】（1）根据第一次购进30个，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30-x）个，再由用1100元购进了A，B两款玩偶建立方程求出其解即可；
（2）根据第二次购进两款玩偶60个，设A款玩偶购进m个，则B款玩偶购进（60-m）个，获利W元，根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以求得A款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润．
【小问1详解】
解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30-x）个，
由题意可得，
解得，
B款玩偶购进：30-20=10（个）
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个．
【小问2详解】
解：设A款玩偶购进m个，B款玩偶购进（60-m）个，获利W元，
由题意可得，
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半
∴
∴
∵
∴
∴W随m的增大而增大
∴时，
∴B款玩偶有60-20=40（个）
答：按照A款玩偶购进20个，B款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
25. 如图1，在一次航海模型船训练中，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙船在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

（1）甲船在30≤t≤60时，y关于t的函数表达式为 　 　；
（2）求出乙船由B2首次到达A2的时间，并在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）请你根据（2）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙两船共相遇了几次？并求出第二次相遇的时间．
【答案】（1）y=3t-90
（2）45秒，图象见解析
（3）5次，54秒
【解析】
【分析】（1）由于甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程，又因为y表示船离开池边B1B2的距离，所以图2中当t=0时对应的y值即为赛道的长度；因为30秒钟甲船从A1处运动到B1处，即30s运动90m，根据速度=路程÷时间，即可求出甲船的速度；根据图象的形状，可判断出甲船在30＜t≤60时，y都是t的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解；
（2）乙船的速度为2m/s，由B2到达A2的路程为赛道的长度90m，根据时间=路程÷速度，即可求出乙船由B2到达A2的时间为45s；乙船在3分钟内可运动2个来回，每45s可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）两个图象的交点个数即为相遇次数，联立2个解析式可求出第二次相遇的时间；
【小问1详解】
解：图2中，∵t=0时，y=90，
∴赛道的长度是90m；
∵甲船30s运动90m，
∴速度为90÷30=3（m/s）；
当30＜t≤60时，设y=mt+n，
将（30，0），（60，90）代入，得，
解得，
则y=3t-90（30＜t≤60）；
故答案为：y=3t-90．
【小问2详解】
解：∵赛道的长度为90米，乙船的速度为2米/秒，
∴乙船由B2到达A2的时间为90÷2=45（秒）；
∴乙船在3分钟内的函数图象如图3所示：
【小问3详解】
解：从图3可知甲、乙共相遇5次．
设乙第二段的解析式为：y=ax+b，把（45，90），（90，0）代入，得
，
解得，
∴y=-2t+180，
令-2t+180=3t-90，解得t=54；
∴共相遇了5次，第二次相遇的时间为54s．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，主要涉及了分段函数，数形结合是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF．

（1）求出A点坐标；
（2）当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
（3）连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度．
【答案】（1）（3，）；
（2）全等，见解析； （3）5-或3或1+
【解析】
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三线合一求出BH，再利用勾股定理求出AH，即可得到点A坐标；
（2）根据等边三角形的性质推出∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF，由此得到∠CDF=∠BED，即可证得△CDF≌△BED（AAS）；
（3）利用三角形外角性质证出∠FDC=∠BED，分三种情况： 当CD=CF=6-2=4时，过点F作FM⊥CD于M，过点D作DN⊥AB于N，证明△NDE≌△MFD（AAS），得到FM=DN，DM=NE，根据∠BDN=30°，求出BN，利用勾股定理求出DN，CM，即可得到BE；当DF=CF时，过点F作FH⊥CD于H，过点D作DG⊥AB于G，证明△DGE≌△FHD（AAS），得到DH=GE==2，求出BG=，即可得到BE；当CD=DE=4时，过点D作DN⊥AB于N，勾股定理求出DN及NE，即可得到BE．
【小问1详解】
解：过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°，

∵点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），
∴BC=6，
∵△ABC是等边三角形．
∴AB=BC=6，
∵AH⊥BC，
∴BH=HC=3，
∴，
∴A点坐标为（3，）；
【小问2详解】
解：全等；
∵△ABC、△DEF都是等边三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF，
∴∠CDF+∠BDE=∠BDE+∠BED=120°，
∴∠CDF=∠BED，
∴△CDF≌△BED（AAS）；
【小问3详解】
解：∵∠CDE=∠EBD+∠BED，∠ABC=∠DEF=60°，
∴∠FDC=∠BED，
当CD=CF=6-2=4时，过点F作FM⊥CD于M，过点D作DN⊥AB于N，

∴∠DNE=∠FMD=90°，
又∵DE=DF，
∴△NDE≌△MFD（AAS），
∴FM=DN，DM=NE，
∵∠ABC=60°，∠BND=90°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=，
∴，
∴，
∴NE=DM=，
∴BE=BN+NE=1+=5-；
当DF=CF时，过点F作FH⊥CD于H，过点D作DG⊥AB于G，

∴∠DGE=∠FHD=90°，
又∵DE=DF，∠FDC=∠BED，
∴△DGE≌△FHD（AAS），
∴DH=GE==2，
∵∠ABC=60°，∠BND=90°，
∴∠BDN=30°，
∴BG=，
∴BE=BG+GE=1+2=3；
当CD=DE=4时，过点D作DN⊥AB于N，

∵∠ABC=60°，∠BND=90°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=，
∴，
∴，
∴BE=BN+NE=1+；
综上，BE的长度为5-或3或1+．
【点睛】从考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点是解题的关键．