无锡市江阴市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

无锡市江阴市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑．

2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．

3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 据调查，某影院10月13日电影《长津湖》当日票房收入为23570元，将23570精确到千位的近似数是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 的相反数是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点、在上，，，要使，还需要添加一个条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 下列函数中，属于正比例函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

8. 等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（    ）

A. 5cm B. 11cm C. 8cm或5cm D. 11cm或5cm

9. 如图，直线y1=k1x+b和直线y2=k2x+b分别与x轴交于A(-1，0)和B(3，0)两点，则不等式组的解集为(   )

A.  B.

C.  D. 或

10. 如图，在四边形中，连接、，已知，，，，则四边形的面积为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11. 27的立方根为_____．

12. 请你写出一个无理数______（写出一个即可）．

13. 等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角为______．

14. 已知点在一、三象限的角平分线上，则的值为______．

15. 将一次函数的图像向上平移5个单位后，所得图像的函数表达式为______．

16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

17. 如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为______．

18. 如图，在边长为2的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （1）计算：；

（2）已知，求的值．

20. 如图，点、、、在一条直线上，，，与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

21. 如图，一次函数的图像与轴相交于点，与过点的一次函数的图像相交于点．

（1）求一次函数图像相应的函数表达式；

（2）求的面积．

22. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．

23. 如图，已知（）．请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得直线平分的面积，请在图（1）中作图；

（2）在边上找一点，使得点到边的距离等于线段的长，请在图（2）中作图．

24. 某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售．已知制作3个款挂件、5个款挂件所需成本为46元，制作5个款挂件、10个款挂件所需成本为85元．已知、两款挂件的售价如下表：

（1）求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？

（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个款挂件或3个款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的2倍．设安排人制作款挂件，销售的总利润为元．请写出（元）与（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？

25. 某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图像与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）化简函数关系式，①当时，      ，②当时      ；

（2）根据（1）中的结果，请在图（1）所给坐标系中画出函数的图像；

（3）结合画出的函数图像，解决问题：若关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是    ．

26. 如图，已知中，，，．点是边上一点，，点是线段上一动点（不与、重合），在直线左侧作等腰，满足，，连接、、．

（1）若点是线段的中点，则      ，的面积是      ；

（2）在点的运动过程中，的面积是否变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由；

（3）点随着点的运动而运动，请直接写出线段的取值范围      ．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义，逐个分析判断即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

【详解】解：A是轴对称图形，不符合题意；

B. 是轴对称图形，不符合题意；

C. 不是轴对称图形，符合题意；

D. 是轴对称图形，不符合题意；

故选C

【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．

2. 据调查，某影院10月13日电影《长津湖》当日票房收入为23570元，将23570精确到千位的近似数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用科学记数法表示，再根据题意将23570根据四舍五入精确到千位即可．

【详解】解：将23570精确到千位的近似数是：，

故选C

【点睛】本题考查了求近似数，科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，−y），进而求出即可．

【详解】解：点P（−3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（−3，−2）．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．

4. 的相反数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可

【详解】的相反数是，

故选B

【点睛】本题考查了实数的性质，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．

5. 如图，点、在上，，，要使，还需要添加一个条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形判定定理逐项分析判断即可．

【详解】解：A.由，，，不能判断，不符合题意

B. ，则，

由，，，不能判断，不符合题意；

C.

∵，，

∴，符合题意；

D.

由，，，不能判断，不符合题意；

故选C

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

6. 下列函数中，属于正比例函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．

【详解】解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；

B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；

C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；

D．是正比例函数，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．

7. 已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．

【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
C、∵62+82≠122，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵62+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B．

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

8. 等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（    ）

A. 5cm B. 11cm C. 8cm或5cm D. 11cm或5cm

【答案】A

【解析】

【分析】题目给出等腰三角形一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：（1）当5是腰长时，底边为21-5×2=11，
此时11、5、5三边不能够组成三角形，
（2）当5为底边长时，腰长为×（21-5）=8，
此时8、8、5能够组成三角形，
所以底边为5．
故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

9. 如图，直线y1=k1x+b和直线y2=k2x+b分别与x轴交于A(-1，0)和B(3，0)两点，则不等式组的解集为(   )

A.  B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】观察函数图象，写出直线y1=k1x+b在x轴上方和直线y2=k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：即，同时大于0时，自变量x的取值范围，

通过看图可知时，x＞-1，时，x＜3，两个解联立，得到解集.

故选A．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10. 如图，在四边形中，连接、，已知，，，，则四边形的面积为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】如图，延长BC，AD，二线交于点E，设AC，BD的交点为点M，过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，证明△AGC≌△BFC即可．

【详解】如图，延长BC，AD，二线交于点E，设AC，BD的交点为点M，

∵∠ACB=∠ADB=90°，∠ADM=∠BCM，∠CAB=45°，

∴∠ACE=∠BCM=90°，∠EAC=∠MBC，AC=BC，

∴△ACE≌△BCM，

∴∠AEC=∠BMC，CM=CE，

过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，

∵∠AEC=∠BMC，CM=CE，

∴△GEC≌△FMC，

∴GC=FC，

∴DC平分∠BDE，∠GDC=∠FDC=45°，四边形CGDF是正方形，

∵CD=，

∴CG=GD=DF=FC=1，

 ∵BC=，

∴BF==2，

∵∠GAC=∠FBC，GC=FC，

∴△AGC≌△BFC，

∴AG=BF=2，AD=AG-DG=1，BD=BF+DF=3，

∴

=

==3，

故选B．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握三角形全等，勾股定理，灵活运用角的平分线的判定定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11. 27的立方根为_____．

【答案】3

【解析】

【分析】找到立方等于27的数即可．

【详解】解：∵33=27，

∴27的立方根是3，

故答案为：3．

12. 请你写出一个无理数______（写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的概念只要写出一个无理数即可．

【详解】解：本题答案不唯一，如：、等，

故答案为：．

【点睛】本题考查了无理数的概念：无限不循环的小数。熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键．

13. 等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角为______．

【答案】110°##110度

【解析】

【分析】分外角是等腰三角形顶角的外角还是底角的外角两类讨论即可求解．

【详解】解：当外角为等腰三角形顶角的外角时，则顶角为：180°-70°=110°；

当外角为等腰三角形底角的外角时，此时底角为：180°-70°=110°，由等腰三角形的两底角相等可知另一个底角也为110°，此时三角形内角和大于180°，故舍去；

故答案为：110°．

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理及邻补角的概念等，属于基础题．

14. 已知点在一、三象限的角平分线上，则的值为______．

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等进而得出答案．

【详解】解：∵点P（a，2a−1）在一、三象限的角平分线上，

∴a＝2a−1，

解得：a＝1．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握一、三象限的角平分线上点的坐标关系是解题关键．

15. 将一次函数的图像向上平移5个单位后，所得图像的函数表达式为______．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．

【详解】解：∵一次函数的图像向上平移5个单位，

∴所得图像的函数表达式为：

故答案为：

【点睛】本题考查了一次函数平移，掌握平移规律是解题的关键．

16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

【答案】45°##45度

【解析】

【分析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．

【详解】解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：

∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，

∴△APE≌△PQF(SAS),

∴∠PAB=∠QPF，

∵PF∥BE，

∴∠PBA=∠BPF，

∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，

又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，

∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，

∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，

∵PQ²=2²+1²=5=QB²，

∴△PQB为等腰直角三角形，

∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，

∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，

故答案为：45°．

【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．

17. 如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为______．

【答案】

【解析】

【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．

【详解】解：∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵D为AB中点，

∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，

∵AE＝4，

∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，

∴BC＝=＝，

故答案为：．

【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．

18. 如图，在边长为2的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点，连接A，得出当G、A、三点在同-直线上时，+ AG的最小值为，再根据勾股定理和等边三角形的性质即可得出答案

【详解】解：连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，

则，

∵等边，，

∴，

∴，

∴，

∴当G、A、三点在同-直线上时,AF'+ AG的最小值为G

连接G

∵等边△ABC的边长为2，

∴，，

∴

故答案为：

【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）1；（2）或-5

【解析】

【分析】(1)根据立方根、、逐个进行计算即可；

(2)根据平方根的概念解方程即可求解．

【详解】解：(1)原式

．

(2)由题意可知，两边开平方运算，得到：，

∴或，

∴的值为或．

【点睛】本题考查了平方根、立方根的概念及、等公式的熟练使用，属于基础题，计算过程中细心即可．

20. 如图，点、、、在一条直线上，，，与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

【答案】（1）见解析    （2）55°

【解析】

【分析】（1）由可求得，利用可证得：；

（2）由，得，得出，根据三角形内角和定理求解即可．

【小问1详解】

解：证明：，

，

即，

在与中，

，

；

【小问2详解】

解：，

，，

，

，

，

．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．

21. 如图，一次函数的图像与轴相交于点，与过点的一次函数的图像相交于点．

（1）求一次函数图像相应的函数表达式；

（2）求的面积．

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】(1)将代入中，求出，用待定系数法设：，再将、两点代入即可求解；

(2)过作轴于点，令中，得到，进而求出，再由即可求解．

【小问1详解】

解：∵在：的图像上，

∴；

设一次函数图像相应的函数表达式为，

把点，代入得：，

解得，

∴的解析式为：；

【小问2详解】

解：过点作轴于点，如下图所示：

令中，得到，

∴

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的求法，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解决本类题的关键．

22. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．

【答案】尺

【解析】

【分析】设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．

【详解】解：设OA=OB=x尺，

∵EC=BD=5尺，AC=1尺，

∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，

在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，

根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，

整理得：8x=116，即2x=29，

解得：x=14.5．

则秋千绳索的长度为14.5尺．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握“勾股定理，用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边”是解本题的关键．

23. 如图，已知（）．请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得直线平分的面积，请在图（1）中作图；

（2）在边上找一点，使得点到边的距离等于线段的长，请在图（2）中作图．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】(1)作BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可；

(2)过点B作BC的垂线交CA延长线于点F，作∠AFB的角平分线，交BC于点E即可；

【小问1详解】

解：如图所示，

【小问2详解】

解：如图所示，

【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的垂直平分线和角平分线，是解题的关键．

24. 某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售．已知制作3个款挂件、5个款挂件所需成本为46元，制作5个款挂件、10个款挂件所需成本为85元．已知、两款挂件的售价如下表：

（1）求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？

（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个款挂件或3个款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的2倍．设安排人制作款挂件，销售的总利润为元．请写出（元）与（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元   

（2）,且为正整数；安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元

【解析】

【分析】(1) 设制作一个款挂件的成本为元，制作一个款挂件的成本为元列出方程组即可；

(2) 根据题意，列出一次函数和不等式组，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析求解即可．

【小问1详解】

解：设制作一个款挂件的成本为元，制作一个款挂件的成本为元．

由题可知：，

解得

答：制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元．

【小问2详解】

解：由题可知：．

∴，

∵为整数，

∴且为正整数．

∵，

∴随的增大而增大，

∴时，最大，此时，．

答：安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题关键．

25. 某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图像与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）化简函数关系式，①当时，      ，②当时      ；

（2）根据（1）中的结果，请在图（1）所给坐标系中画出函数的图像；

（3）结合画出的函数图像，解决问题：若关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是    ．

【答案】（1）；2   

（2）见解析    （3）或或

【解析】

【分析】(1)根据绝对值的性质化简即可；

(2) 根据（1）中的结果，画出函数的图像即可；

(3) 根据题意可知，题目中方程只有一个实数根即可转化为直线y=ax+1与该直线有一个交点，通过交点的个数即可进行判断a的范围．

【小问1详解】

解：当时，；

当时，；

【小问2详解】

解：根据（1）中的结果，画出函数的图像如下：

【小问3详解】

解：根据画出的函数图像：

①当时，直线与函数图像只有一个交点；

②当时，直线与函数的图像有一个交点，与函数的图像没有交点；

③当时，直线经过点．

若关于的方程只有一个实数解，

则实数的取值范围是：或或．

【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特点，明确函数的性质并数形结合是解题的关键．

26. 如图，已知中，，，．点是边上一点，，点是线段上一动点（不与、重合），在直线左侧作等腰，满足，，连接、、．

（1）若点是线段的中点，则      ，的面积是      ；

（2）在点的运动过程中，的面积是否变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由；

（3）点随着点的运动而运动，请直接写出线段的取值范围      ．

【答案】（1）60°，   

（2）不变，   

（3）

【解析】

【分析】（1）过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及已知条件，分别求得，证明，进而求得的面积，证明即可求得的度数；

（2）证明，从而证明，进而根据得出结论；

（3）根据，求得的最大值与最小值即可得出结论．

【小问1详解】

解，如图，过点作，

中，，，

，

，

，

是的中点，

中

中，

在与中，

；

故答案为：；的面积是；

【小问2详解】

的面积不变，．

在射线取一点，使得，连接．

则，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴（SAS），

∴，

∴，

∴，

∴．

∴的面积不变，

．

【小问3详解】

如图，

点是线段上一动点（不与、重合），

与或点重合时，取得最大值，由（1）可知最大值为2

当与垂直时，取得最小值，由（1）可知最小值为1

故答案为：

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．