无锡市锡山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份无锡市锡山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共39页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

无锡市锡山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1. 以下冬奥会图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. ﹣1 B. C. D.
3. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（　　）

A. B. C. D.
4. 若，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（4，2），四号暗堡坐标为（－2，4），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（　　）

A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（ ）

A. 22cm B. 19cm C. 13cm D. 7cm
7. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）

A. B. 2 C. D. 1
8. 在画一次函数y＝kx＋b的图像时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
－1
－4
－7
－10
…
则下列结论中正确的是（ ）
A. 一次函数y＝kx＋b的图像与y轴的交点是（0，2）
B. y随x的增大而增大
C. 方程kx＋b＝2的解是x＝－4
D. 一次函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象限
9. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. D.
二、填空题（本大题共8题，每空3分，共30分）
11. 一个三角形的三边为2、4、，另一个三角形的三边为、2、5，若这两个三角形全等，则______．
12. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－2）向下平移4个单位得到点N，则点N的坐标为_______．
13. 在中，斜边AB=3．则=___________________；
14. 如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是___．

15. 如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是______．

16. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为___．

17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如图1，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿直线DE折叠，若点B落在AC边上的点F处，则CE的最小值是_______；（2）如图2，CG是AB边上的中线，将△ACG沿CG翻折后得到△HCG，连接BH，则BH的长为______．

18. 在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为______,点B的横坐标为2022时，m的值为______

三、解答题（本大题共10题，共90分）
19. 求下列各式中的．
（1）
（2）
20. 计算：
（1）；
（2）．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）
（2）

22. 已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
23. 如图，直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．

（1）求：点B′的坐标；
（2）求：直线AM所对应的函数关系式．
24. 在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．

（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）在斜边AB上找一点P，使点P到AC的距离等于BP的长．请用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4.5，AB＝7.5，则AC的长为_______，（1）中BP的长为_______．
26. 某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，而羊排的利润率为25%，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
27. 已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

（1）求∠DOE的度数；
（2）试判断△MNC的形状，并说明理由；
（3）连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
28. 某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
（1）请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
（2）兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；

（3）设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．

答案与解析
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1. 以下冬奥会图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，此项符合题意；
D、不是轴对称图形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. ﹣1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义即可求得．
【详解】A、-1，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可．
【详解】解：A、，，添加条件，
∴根据可判定，故本选项不符合题意；
B、，，添加条件，
∴根据不能判定，故本选项符合题意；
C、，，添加条件，
∴根据HL可判定，故本选项不符合题意；
D、，，添加条件，
∴根据可判定，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，，，，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
4. 若，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由k＜0，即可得到函数y=kx+2的图象经过第一、二、四象限，从而可以解答本题．
【详解】解：∵k＜0，
∴函数y=kx+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5. 在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（4，2），四号暗堡坐标为（－2，4），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（　　）

A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
【答案】B
【解析】
【分析】根据一号和四号暗堡的坐标画出坐标轴即可判断指挥部的位置．
【详解】解：如图，
∵一号暗堡坐标为（4，2），四号暗堡坐标为（－2，4），
∴一号暗堡到x轴的距离等于四号暗堡到y轴的距离，一号暗堡到y轴的距离等于四号暗堡到x轴的距离，且一号暗堡在第一象限内，四号暗堡在第二象限内，
∴得到原点的位置为点B，
故选：B．

【点睛】此题考查了直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据点坐标确定点所在的象限，利用已知点坐标确定坐标原点的位置，正确理解点的坐标是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（ ）

A. 22cm B. 19cm C. 13cm D. 7cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AD=BD，再由线段之间的关系推出△ACD的周长即为AC+BC，最后进行计算即可．
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AE=BE=3cm，AD=BD，
∴AB=6cm，
∵△ABC的周长为19cm，即AB+BC+AC=19，
∴AC+BC=19－AB=19－6=13cm，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=13cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质定理是解题的关键．
7. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）

A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵和是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC=，
在Rt△BDF中，DF=．
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．
8. 在画一次函数y＝kx＋b的图像时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
－1
－4
－7
－10
…
则下列结论中正确的是（ ）
A. 一次函数y＝kx＋b的图像与y轴的交点是（0，2）
B. y随x的增大而增大
C. 方程kx＋b＝2的解是x＝－4
D. 一次函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，根据一次函数的性质逐一判断即可得答案．
【详解】∵点（1，-1），（2，-4）在一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为，
∵当x=0时，y=2，
∴一次函数y＝kx＋b的图像与y轴的交点是（0，2），故A选项正确，
∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，故B选项错误，
∵x=0时，y=2，
∴方程kx＋b＝2的解是x＝0，故C选项错误，
∵-3＜0，2＞0，
∴一次函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限，故D选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，对于一次函数y＝kx＋b，当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当b>0时，图象与y轴交于正半轴；当b<0时，图象与y轴交于负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
9. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
10. 如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据，得到方程求解即可．
【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD==4，
∴
∴12=10x+10x−3x，
∴x=
∴AO=4+=。
故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8题，每空3分，共30分）
11. 一个三角形的三边为2、4、，另一个三角形的三边为、2、5，若这两个三角形全等，则______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
【详解】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2，
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边5．同理可得y=4，
∴x+y=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－2）向下平移4个单位得到点N，则点N的坐标为_______．
【答案】（3，－6）
【解析】
【分析】根据横坐标左移减，右移加，纵坐标上移加，下移减可得N点坐标．
【详解】∵将点M（3，－2）向下平移4个单位得到点N，
∴点N的坐标为（3，-6），
故答案为：（3，-6）
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标变化规律．
13. 在中，斜边AB=3．则=___________________；
【答案】18
【解析】
【分析】由题干已知的直角三角形和所求的是与直角三角形的三边的平方和可知，运用勾股定理求解．
【详解】在中：
∵斜边AB=3
∴AC、BC为直角边
∴（勾股定理）
∴=9+9=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考察对勾股定理含义的理解．
14. 如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是___．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，即的长，再根据绝对值的意义求出答案．
【详解】解：在中，，，
，
又点在原点的右侧，
点所表示的数为，
故答案为．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据勾股定理求出点到原点的距离是得出正确答案的关键．
15. 如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是______．

【答案】10
【解析】
【分析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PE＝PF＝PD＝2，结合三角形的周长，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．
【详解】解：过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AP，

∵∠B和∠C的平分线交于P点，PD⊥BC，
∴PE＝PF＝PD＝2，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC
＝
＝
＝
＝10．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解PE＝PF＝PD＝2是解题的关键．
16. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为___．

【答案】x>-3
【解析】
【分析】根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可．
【详解】∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），
由图可知关于x的不等式kx+b＜2解集为x>-3
故答案为：x>-3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能正确识图．
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如图1，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿直线DE折叠，若点B落在AC边上的点F处，则CE的最小值是_______；（2）如图2，CG是AB边上的中线，将△ACG沿CG翻折后得到△HCG，连接BH，则BH的长为______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）当点B与点A重合时，CE最小，设CE=x，由勾股定理得，代入数值求出x值即可；
（2）根据勾股定理求出AB，利用中线的性质得到CG=AG，过点G作GD⊥AC于D，由翻折得，求出EH，过点G作GF⊥BH，证明四边形GEHF是矩形，得到GF=EH，勾股定理求出BF，由BH=2BF求出答案．
【详解】解：（1）当点B与点A重合时，CE最小，如图，

设CE=x，则BE=8-x，
由折叠得AE=BE=8-x，
∵∠ACB＝90°，，
∴，
解得x=，即CE的最小值是，
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴，
∵CG是AB边上的中线，
∴，AG=BG=5，
∴CG=AG，
过点G作GD⊥AC于D，则，
∴DG=4，
由翻折得，
∴，
∴，
得，
过点G作GF⊥BH，
∵GH=AG=BG，
∴FH=BF，∠HGF=∠BGF，
∵∠AGC=∠HGC，
∴∠CGF=90°=∠GEH=∠GFH，
∴四边形GEHF是矩形，
∴GF=，
∴
∴BH=2BF=．

故答案为：，．
【点睛】此题考查了翻折的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，矩形的判定定理及性质定理，直角三角形斜边中线的性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为______,点B的横坐标为2022时，m的值为______

【答案】 ①. 15 ②. 3031
【解析】
【分析】根据题意，分别找出n=1、2、3时的整点的个数，即可发现n增加1，整点的个数增加6，然后写出横坐标为2n时的表达式，从而计算求解．
【详解】解：当点B的横坐标为2n时，在4×2n的网格图内（不包括边界），一共有3（2n-1）个网格点，

而当n为奇数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有1个交点，
当n为偶数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有3个交点，
∴在△OAB内部（不包括边界）的网格点个数m，
当n为奇数时，m=[3（2n-1）-1]，
整理，得：m=3n-2，
当n为偶数时，m=[3（2n-1）-3]，
整理，得：m=3n-3，
∴当2n=12，即n=6时，
m=3×6-3=15；
当2n=2022，即n=1011时，
m=3×1011-2=3031，
故答案为：15；3031．
【点睛】本题考查坐标与图象，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
三、解答题（本大题共10题，共90分）
19. 求下列各式中的．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用平方根解方程即可得；
（2）利用立方根解方程即可得．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）1
【解析】
【分析】（1）先同时计算乘方和开方，再计算加减法；
（2）先同时计算乘方和开方，再计算乘除法，最后计算加减法．
【小问1详解】
解：原式＝1＋4－2＝3；
【小问2详解】
解：原式＝＝－2＋3＝1．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握有理数的乘方运算法则，会求一个数的立方根及算术平方根，以及实数混合运算的法则是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）
（2）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)由AB=AC可得∠ECB=∠DBC，继而根据已知条件利用SAS进行证明即可；
(2)由(1)根据全等三角形的对应角相等可得∠DCB=∠EBC，继而可得答案.
【详解】(1)∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在
，
∴ ；
(2)由(1) ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
22. 已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【答案】（1）点A（3，2）是“新奇点”，理由见解析，
（2）点M在第三象限，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将，，代入判断，即可证明；
（2）根据点是“新奇点”，可得，求解代入得出，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．
【小问1详解】
解：点是“新奇点”，理由如下：
当A(3，2)时，，，
∴，，
∴．
∴点是“新奇点”；
【小问2详解】
点M在第三象限，理由如下：
∵点是“新奇点”，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点在第三象限．
【点睛】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．
23. 如图，直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．

（1）求：点B′的坐标；
（2）求：直线AM所对应的函数关系式．
【答案】（1）B′的坐标为（2，0）
（2）直线AM所对应的函数关系式为
【解析】
【分析】（1）根据题意先确定点A、点B的坐标，再由AB=AB'，可得AB'的长度，求出OB'的长度，即可得出点B'的坐标；
（2）由题意设OM=m，则B'M=BM=4-m，在Rt△OMB'中利用勾股定理求出m的值，得出M的坐标后，进而利用待定系数法可求出AM所对应的函数解析式．
【小问1详解】
解：（1）直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，
令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则x＝-3，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4 ，AB=，
∵A B'＝AB＝5，
∴O B'＝AB′-AO=5﹣3＝2，
∴B'的坐标为：（2，0）．
【小问2详解】
解：设OM＝m，则B'M＝BM＝4﹣m，
在Rt△OMB'中，m2+22＝（4﹣m）2，
解得：m＝，
∴M的坐标为：（0，），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线AM的解析式为：y＝．
【点睛】本题考查一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理及翻折变换的性质，拓展的一元一次方程，解答本题的关键是数形结合思想的应用．
24. 在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．

（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
【答案】（1）20°；
（2）12.5
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长．
【小问1详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠DBC=70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=90°-70°=20°；
【小问2详解】
Rt△BCD中，，
设AC=AB=x，则AD=x-9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴（x-9）2+122=x2，
解得x==12.5，
∴AC=12.5．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，并列方程求解是解本题的关键．
25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）在斜边AB上找一点P，使点P到AC的距离等于BP的长．请用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4.5，AB＝7.5，则AC的长为_______，（1）中BP的长为_______．
【答案】（1）见解析 （2）6，
【解析】
【分析】（1）作的平分线交AC于点Q，作线段BQ的垂直平分线交AB于点P，由角平分线及中垂线的性质可得，，得出，根据平行线的判定可得，，得出PQ为点P到AC的距离，且满足条件；
（2）由勾股定理可得，过Q作QH⊥AB，垂足为H，根据角平分线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质可得，，得出，设，则，利用勾股定理得出，设，则，在中，继续利用勾股定理求解即可得．
【小问1详解】
解：作的平分线交AC于点Q，作线段BQ的垂直平分线交AB于点P，

∴，，
∴，
∴，
∴，且，满足条件；
【小问2详解】
解：在中，
，
过Q作QH⊥AB，垂足为H，

∵BQ平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴BP的长为，
故答案为：6；．
【点睛】题目主要考查作角平分线、垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出图形，综合运用这些知识点是解题关键．
26. 某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，而羊排的利润率为25%，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）羊腿和羊排的售价分别是38元，40元
（2）超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大为1200元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价；
（2）根据羊排的售价，羊排的利润率为25%，可得每斤羊排的利润；设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，
根据题意，得，
解得，
答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元；
【小问2详解】
每斤羊排的进价为：40÷(1＋25%)＝32（元），每斤羊排的利润为：32×25%＝8（元），
设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，
∵羊腿的重量不少于120斤，
∴x≥120，
w＝6x＋8(180－x)＝－2x＋1440，
∵－2＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w取得最大值，且w最大＝－2×120＋1440＝1200，
此时180－120＝60（斤）．
答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大为1200元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
27. 已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

（1）求∠DOE的度数；
（2）试判断△MNC的形状，并说明理由；
（3）连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
【答案】（1）∠DOE的度数是60°
（2）△MNC是等边三角形，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；
（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
【小问1详解】
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，
＝∠BEC＋60°＋∠BED，
＝∠CED＋60°，
＝60°＋60°，
＝120°，
∴∠AOE=120°，
∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．
【小问2详解】
△MNC是等边三角形，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【小问3详解】
连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，
∴，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AD，CH⊥BE，
∴OC是∠AOE的平分线．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．
28. 某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
（1）请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
（2）兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；

（3）设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
【答案】（1）60，80
（2）①；②，补全函数图像见解析，标出N（50，50）
（3）0＜x≤8或32≤x≤48
【解析】
【分析】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得；
②解法与①方法类似，求解即可；
（2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得；
②当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代入可确定此段的函数解析式；当时，，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可；
（3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得．
【小问1详解】
解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
②∵相遇点与点A相距40个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
故答案为：60；80；
【小问2详解】
解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，
则乙的速度为：，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
②当时，点在线段OM上，
设直线的解析式为，将点M代入可得：
，
解得：，
∴当时，；
当时，，
即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，
设设甲的速度为v，则乙的速度为：，
根据题意可得：，
化简得：，
当时，，
∴经过点，描点，连接即可得出函数图象，
综上可得：，
函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况：
①如图所示：

由题意可得：
，
化简得：，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度，
且，
解得：；
②如图所示：

根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
③如图所示：

根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或，
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键．