无锡市宜兴市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

无锡市宜兴市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，满分150分．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的学校、姓名、考试证号填写在答题卡的相应位置上．

2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中选项标号涂黑、涂满，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题务必用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他区域答题一律无效．

3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗．

4．卷中除要求近似计算的按要求给出近似结果外，其余结果均应给出精确结果．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）

1. 16的平方根是（　　）

A. ±8 B. 8 C. 4 D. ±4

2. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，在一次函数y＝－2x－b的图像上，则m与n的大小关系是（   ）

A. m＞n B. m＝n C. m＜n D. 无法确定

6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（   ）

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60

7. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（   ）

A. ∠ADC＝∠AEB B.  C. DE＝GE D. CD＝BE

8. 如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（   ）

A. x＞－3 B. x＞－2 C. x＞1 D. x＞2

9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ）

A.  B. 3 C.  D.

10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ）

A.  B. 2 C.  D.

二、填空题：（本大题共8小题，每空3分，共30分，不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上．）

11. 点A（2，1）关于x轴对称的点B的坐标是______．

12. 2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是______．

13. 已知函数y＝kx的图像经过二、四象限，且不经过，请写出一个符合条件的函数解析式______．

14. 如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）

15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，于E，则∠ECD＝______，BD与EC之间的数量关系是______．

16. 已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是______．

17. 如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______．

18. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，请你探究：______；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算

（1）；

（2）

20. 求下列各式中的x

（1）

（2）

21. 如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．

（1）求证：

（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．

22. 已知△ABC中，AB＝AC，于D．

（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；

（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到．

（1）求直线的解析式；

（2）若直线与直线l相交于点C，求的面积．

24. 某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：

（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？

（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

25. －辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km；两车相遇后休息了24分钟，再同时继续行驶，设两车之间的距离为y（km），货车行驶时间为x（h），请结合图像信息解答下列问题：

（1）货车的速度为______km/h，轿车的速度为______km/h；

（2）求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围），并把函数图像画完整；

（3）货车出发______h，与轿车相距30km．

26. 如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）

（1）①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O，使O到△ABC三边距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）

②在①的条件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，则△ABC中BC边上的高＝______，O到△ABC三边距离＝______．

（2）在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA，请在图2中用圆规和无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示）．（不写作法，保留作图痕迹）

27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA

（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；

（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

28. 已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．

（1）直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）

（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．

①若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；

②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）

1. 16的平方根是（　　）

A. ±8 B. 8 C. 4 D. ±4

【答案】D

【解析】

【分析】根据平方根可直接进行求解．

【详解】解：∵（±4）2＝16，

∴16的平方根是±4．

故选：D．

【点睛】本题主要考查平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键．

2. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．

【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；

B不是轴对称图形；

C不是轴对称图形；

D是轴对称图形，对称轴有2条；

故选：D．

【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．

3. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：，故A正确，C错误；

，故B、D错误；

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．

4. 若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解．

【详解】解：点M在第二象限，且M到轴的距离为2，到y轴的距离为1，

点M的横坐标为，点的纵坐标为，

点M的坐标为：．

故选：C．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键．

5. 已知点，在一次函数y＝－2x－b的图像上，则m与n的大小关系是（   ）

A. m＞n B. m＝n C. m＜n D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】由k＝−2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＜可得出m＞n．

【详解】解：∵k＝−2＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵点A（，m），B（，n）在一次函数y＝−2x＋1的图象上，且＜，

∴m＞n．

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．

6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（   ）

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60

【答案】A

【解析】

【分析】根据勾股定理先求出另外一条直角边，然后由三角形面积公式求解即可得．

【详解】解：根据勾股定理可得：

另一条直角边长为：，

∴，

故选：A．

【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．

7. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（   ）

A. ∠ADC＝∠AEB B.  C. DE＝GE D. CD＝BE

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知，可得，有，根据角度的数量关系可证明，进而得出结果．

【详解】解：∵，，

∴

在和中

∴

∴

故A、D正确；

∵

∴

∴

∵

∴

∴

故B正确；

∴选项C错误

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质，平行的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．单选可用排除法做题．

8. 如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（   ）

A. x＞－3 B. x＞－2 C. x＞1 D. x＞2

【答案】C

【解析】

【分析】先将（－1，0）代入y＝kx＋b中得到k=b，则不等式化为，根据k＞0解关于x的不等式即可．

【详解】解：将（－1，0）代入y＝kx＋b中得：－k+b=0，解得：k=b，

则不等式化为，

∵k＞0，

∴（x－2）+1＞0，

解得：x＞1，

故选：C．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数图象上的点的坐标特征求得k与b的关系是解答的关键．

9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．

【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，

∴，

∴，

设，则，，

在中，

∵，

∴，

解得，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．

10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】如图，取AB的中点T，连接CT，DT．首先证明∠ADB=90°，求出CT，DT，根据CD≥CT-DT，可得结论．

【详解】如图，取AB的中点T，连接CT，DT．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，

∵∠BAD=∠CBD，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠ADB=90°，

∵AT=TB=4，

∴DT=AB=4，CT=，

∵CD≥CT-DT，

∴CD≥-4，

∴CD的最小值为-4，

故选：D．

【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出CT，DT的长．

二、填空题：（本大题共8小题，每空3分，共30分，不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上．）

11. 点A（2，1）关于x轴对称的点B的坐标是______．

【答案】

【解析】

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此解答即可．

【详解】解：根据轴对称的性质，得点A（2，1）关于x轴对称点A′的坐标是（2，-1），

故答案为：（2，-1）

【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．

12. 2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是______．

【答案】

【解析】

【分析】先用科学记数法表示8848.86，然后把十位上的数字4进行四舍五入即可．

【详解】解：8848.86=≈（精确到百位）．
故答案为：．

【点睛】本题考查了科学记数法和有效数字，用科学记数法表示数是解题的关键．

13. 已知函数y＝kx的图像经过二、四象限，且不经过，请写出一个符合条件的函数解析式______．

【答案】（不唯一）

【解析】

【分析】将（－2，2）代入y＝kx中，求得k=－1，只要符合条件的函数解析式中的k≠－1即可．

【详解】解：将（－2，2）代入y＝kx中，得：2=－2k，解得：k=－1，

∴符合符合条件的函数解析式可以为y=－2x，答案不唯一，

故答案为：y=－2x(不唯一)．

【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键．

14. 如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）

【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）

【解析】

【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．

【详解】解：如图所所示，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．

∴∠BAC=∠EAD．

（1）当∠B=∠E时，

（2）当∠C=∠D时，

（3）当AB=AE时，

故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．

15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，于E，则∠ECD＝______，BD与EC之间的数量关系是______．

【答案】    ①. 22.5°    ②. BD＝2EC

【解析】

【分析】①根据等腰直角三角形的性质可得，由角平分线得出，依据对顶角相等可得，再由等角的余角相等即可得出结果；

②延长BA，CE交于点F，利用全等三角形的判定定理证明，，再由其性质及线段间的数量关系即可得出结果．

【详解】解：∵在中，，，

∴，

∵BD平分，

∴，

在中，

，

在中，

，

∵，

∴；

延长BA，CE交于点F，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：①；②．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用角平分线进行计算，等角的余角相等等，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键．

16. 已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是______．

【答案】2034

【解析】

【分析】根据，依题意，分两种情况讨论，求得的值，进而求得答案．

【详解】解：∵

∴时，

则

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

则

当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是

故答案为：

【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，分类讨论是解题的关键．

17. 如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据∠OPC＝45°，PC＝PO，证明∠BPC=∠AOP，从而证明△BPC≌△AOP，得到PB=AO=2，过点P作PD⊥y轴，求得PD，BD，DO，根据点所在象限即可确定点P的坐标．

【详解】∵一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，

∴A（-2，0），B（0，2），

∴OA=OB，

∴∠PAO=∠CBP=45°，

∵∠OPC＝45°，PC＝PO，

∴∠PCO=∠COP=67.5°，

∴∠BPC=∠AOP=22.5°，

∴△BPC≌△AOP，

∴PB=AO=2，

过点P作PD⊥y轴，垂注为D，

则PD=BD==，

∴DO=OB-BD=2-，

∵点P在第二象限，

∴点P（，），

故答案为：（，）．

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是接退的关键．

18. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，请你探究：______；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】①根据直角三角形及折叠的性质可得，，，，由等角对等边及等腰三角形的性质可得，，利用线段间的数量关系进行等量代换即可得；

②作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，利用勾股定理可得，，由含角的直角三角形的性质可得，根据题意得出最小值即为的最小值，即当P、G、B三点共线时，PC的长度，在中，利用勾股定理求解即可得出PC的长度，即为最小值．

【详解】解：①∵，

∴，

∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，

∴，

∴，，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

即；

②如图所示：作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，

在中，，，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

即当P、G、B三点共线时，取得最小值，

在中，

∵，，，

∴，

∴，，

∴的最小值为；

故答案为：①；②．

【点睛】题目主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算

（1）；

（2）

【答案】（1）-4    （2）

【解析】

【分析】（1）原式分别利用立方根的意义、负整数指数幂、0指数幂的性质化简，再计算加减即可求解；

（2）原式分别利用二次根式的意义、绝对值的意义化简，再求解即可.

【小问1详解】

解：原式=-4.

【小问2详解】

解：原式.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握其运算性质和运算法则是解题的关键．

20. 求下列各式中的x

（1）

（2）

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值；

（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.

【小问1详解】

解：方程变形得：（x−1）2＝9，

开方得：x−1＝3或x−1＝−3，

解得：x＝4或x＝−2；

【小问2详解】

解：方程变形得：，

开立方得：1-2x＝−3，

解得：x＝2.

【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

21. 如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．

（1）求证：

（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．

【答案】（1）见解析    （2）7

【解析】

【分析】（1）由AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°，易证∠DCE=∠A．即可利用“AAS”证明△ABC≌△CDE．

（2）由全等三角形的性质可知BC＝DE＝5，CE＝13．再在中，利用勾股定理即可求出CD的长，从而可求出DB的长．

【小问1详解】

证明：∵AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°，

∴∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°

∴∠DCE=∠A．

∴在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE (AAS)．

【小问2详解】

∵△ABC≌△CDE，DE＝5，AC＝13

∴BC＝DE＝5，CE＝13

∴在中，

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．

22. 已知△ABC中，AB＝AC，于D．

（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；

（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．

【答案】（1）21°    （2）

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余可求出，从而可得结论；

（2）设AC＝AB＝x，可得AD=x-1，再根据勾股定理列出方程，求出x的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论

【小问1详解】

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB

∵∠A＝42°

∴

∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°-42°=48°

∴∠DCB＝69°-48°＝21°；

【小问2详解】

设AC＝AB＝x，

∵BD＝1，CD＝3   

∴AD＝x-1， 

∵CD⊥AB     

∴

∴   

∴

∵M为AC的中点 

∴

【点睛】本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去列方程求边长．

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到．

（1）求直线的解析式；

（2）若直线与直线l相交于点C，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线l的解析式先确定出点A、B的坐标，根据旋转的性质结合图象可得，设直线的解析式为（为常数），将两点代入求解即可得；

（2）联立两个一次函数求解可得点，结合图形得出，利用三角形面积公式求解即可得．

【小问1详解】

解：由直线分别交x轴、y轴于点A、B，

当时，；

当时，；

∴，

∵绕点顺时针旋转而得到，

∴，

故，

设直线的解析式为（为常数），

∴，

解得：，

∴直线的解析式为；

【小问2详解】

解：联立两个一次函数为：

，

解得：，

∴点，

∵，

∴，

∴的面积为．

【点睛】题目主要考查直线与坐标轴交点问题及利用待定系数法确定函数解析式，旋转的性质，两个函数交点问题等，理解题意，结合图象，综合运用一次函数的基本性质是解题关键．

24. 某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：

（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？

（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】（1）A种产品生产400件，B种产品生产200件   

（2）A种产品生产1000件时，利润最大为460000元

【解析】

【分析】（1）设A种产品生产x件，则B种产品生产（600-x）件，根据600件产品用220000元资金，即可列方程求解；

（2）设A种产品生产x件，总利润为w元，得出利润w与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，A产品生产越多，获利越大，因而x取最大值时，获利最大，据此即可求解．

【小问1详解】

解：设A种产品生产x件，则B种产品生产（600-x）件，

由题意得：，

解得：x＝400，

600-x=200，

答：A种产品生产400件，B种产品生产200件.

【小问2详解】

解：设A种产品生产x件，总利润为w元，由题意得：

由，

得：，

因为10>0，w随x的增大而增大 ，所以当x＝1000时，w最大＝460000元．

【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用. 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

25. －辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km；两车相遇后休息了24分钟，再同时继续行驶，设两车之间的距离为y（km），货车行驶时间为x（h），请结合图像信息解答下列问题：

（1）货车的速度为______km/h，轿车的速度为______km/h；

（2）求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围），并把函数图像画完整；

（3）货车出发______h，与轿车相距30km．

【答案】（1）80，100   

（2）当时，；当时，；当时，；当时，，图见解析   

（3）或

【解析】

【分析】（1）结合图象可得经过两个小时，两车相遇，设货车的速度为，则轿车的速度为，根据题意列出方程求解即可得；

（2）分别求出各个时间段的函数解析式，然后再函数图象中作出相应直线即可；

（3）将代入（2）中各个时间段的函数解析式，求解，同时考虑解是否在相应时间段内即可．

【小问1详解】

解：由图象可得：经过两个小时，两车相遇，

设货车的速度为，则轿车的速度为，

∴，

解得：，，

∴货车的速度为，则轿车的速度为，

故答案为：80；100；

【小问2详解】

当时，图象经过，点，

设直线解析式为：，代入得：

，

解得：，

∴当时，；

分钟小时，

∵两车相遇后休息了24分钟，

∴当时，；

当时，轿车距离甲地的路程为：，货车距离乙地的路程为：，

轿车到达甲地还需要：，

货车到达乙地还需要：，

∴当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

∴函数图象分别经过点，，，

作图如下：

【小问3详解】

①当时，令可得：

，

解得：；

②当时，令可得：

，

解得：；

③当时，令可得：

；

解得：：，不符合题意，舍去；

综上可得：货车出发或，与轿车相距30km，

故答案为：或．

【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，利用待定系数法确定一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，熟练掌握运用一次函数的基本性质是解题关键．

26. 如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）

（1）①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O，使O到△ABC三边距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）

②在①的条件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，则△ABC中BC边上的高＝______，O到△ABC三边距离＝______．

（2）在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA，请在图2中用圆规和无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示）．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）①见解析；②12，4   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）①作两内角的平分线，得交点O；②作边上的高，设，则，在中，，在中，

根据勾股定理建立方程，求得，进而勾股定理求得，根据等面积法求O到△ABC三边距离即可；

（2）作的垂直平分线，根据满足PC≤PB≤PA，由PB≤PA，点点离点更近，在的垂直平分线靠进点部分，由PC≤PB，点点离点更近，在垂直平分线靠进点的部分，以及与围成部分，包括边界．

【小问1详解】

①如图所示，即为所求；

②如图所示，作边上的高，

AB＝15，AC＝13，BC＝14，

设，则

在中，

在中，

即

解得

由①可知到三边距离相等，设到三边距离为，

则

即

解得

故答案为：

【小问2详解】

满足PC≤PB≤PA的点P组成的区域（用阴影表示），如图所示．

【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，勾股定理，掌握角平分线的性质与垂直平分线的性质是解题的关键．

27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA

（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；

（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）AE＝CD，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；

（2）设∠BCD＝α，结合题意，得；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；

（3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案．

【详解】（1）∵点B关于直线CD的对称点为E

∴CD垂直平分BE，

∴，

在和中

∴

∴，∠BCD＝∠ECD

又∵AC＝BC

 ∴AC＝EC

∴∠CAE＝∠CEA；

（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α

∵∠ACB＝90°

∴

∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α

∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，

∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；

（3）连接BF   

∵AC＝AD，AC＝BC    

∴AD＝BC

∵CD垂直平分BE，

∴FE＝FB  

∴∠AFD＝∠BFD

由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45°

∴∠BCD＝∠FAD＝α 

在△ADF和△CBF中

∴△ADF≌△CBF

∴AF＝CF，DF＝BF＝EF  

∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD．

【点睛】本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．

28. 已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．

（1）直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）

（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．

①若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；

②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），（-4，-6）   

（2）①点坐标为或；②存在，点坐标为或

【解析】

【分析】（1）由求出与的交点坐标，进而得到E，C两点坐标，然后代入，求解的值，进而可得直线CD的函数表达式；D点为直线AB与直线CD的交点，联立方程组求解即可．

（2）①分情况求解：情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M，将代入求解得到点M的坐标，根据，求解的值，进而得到点坐标；情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G ，根据，解得的值，得到点坐标，设直线的解析式为，将B，G点坐标代入求解的值，得直线的解析式，P为直线与直线CD的交点，联立方程组求解即可．

②分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H，BH＝OB＝3，由翻折可知，，证明 ，，可得，PB∥x轴，可得P点纵坐标，代入解析式求解即可得点的坐标；情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD，PN⊥OB，由翻折可知：，证明，有PM＝PN，由，，，解得的值，将代入中得的值，即可得到点坐标．

【小问1详解】

解：将代入得

∴点B的坐标为

将代入得，解得

∴点A的坐标为

∴由题意知点E，C坐标分别为，

将E，C两点坐标代入得

解得：

∴直线CD的函数表达式为；

联立方程组

解得

∴D点坐标为；

故答案为：；．

【小问2详解】

①解：分情况求解，情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M

∴将代入中得

解得

∴点M的坐标为

由题意得

∴

解得

∴点坐标为；

情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G

由题意知：

解得

∴点坐标为

设直线的解析式为

将B，G点坐标代入得

解得

∴直线的解析式为

联立方程组

解得

∴点P的坐标为；

综上所述，点P的坐标为或．

②解：分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H

∴BH＝OB＝3

由翻折可得：，

∵°

在和中

∴

∴

∵

∴

∴°

∴PB∥x轴

∴P点纵坐标为

将代入中得

解得

∴点的坐标为；

情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD于M，PN⊥OB于N

 由翻折可得：

在和中

∴

∴PM＝PN

∵，，

∴解得

将代入中得

解得

∴点坐标为；

综上所述，存在点，且点坐标为或．

【点睛】本题考查了一次函数的解析式，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的灵活运用．