2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷

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2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）下列图形中有稳定性的是（　　）A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，144．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）A．62° B．72° C．76° D．66°5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（　　）A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（　　）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）A．20° B．40° C．60° D．80°8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）A．32 B．24 C．16 D．89．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（　　）A．110° B．118° C．120° D．130°10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）A．2 B．7 C．16 D．17二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为　   　．12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝　   　．13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 　   　．14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为　   　．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 　   　．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 　   　°．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 　   　．20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）如图1，连接AC．①∠ACB＝　   　°；②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；（2）已知，P为AF边上一点，①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如图2，求证：BE⊥AE；②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长． 24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．（1）若α＝90．①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短． 
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．（3分）下列图形中有稳定性的是（　　）A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有三角形具有稳定性．故选：B．3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能组成三角形，不符合题意；B．∵4+4＜9，∴不能组成三角形，不符合题意；C．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，不符合题意；D．∵8+7＞14，∴能组成三角形，符合题意．故选：D．4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）A．62° B．72° C．76° D．66°【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝76°，故选：C．5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（　　）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝5，解得n＝8，故选：B．6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（　　）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，AD＝BDAB，∵△EBC的周长是22cm，∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，∵△ABC的周长是36cm，∴AB+AC+BC＝36cm，∴AB＝36﹣22＝14（cm），∴ADAB14＝7（cm）．故选：A．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠ADB＝2∠C，∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝20°，∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，故选：C．8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）A．32 B．24 C．16 D．8【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，∴∠MON＝∠OB1A1，∴B1A1＝OA1＝2，∴△A1B1A2的边长为2， 同理得：∠OB2A2＝30°，∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，∴△A2B2A3的边长为4，同理可得：、△A3B3A4的边长为：23＝8，△A4B4A5的边长为：24＝16，则△A5B5A6的边长为：25＝32，故选：A．9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（　　）A．110° B．118° C．120° D．130°【解答】解：如图所示：∵∠EAD＝∠BAC＝80°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BAC＝80°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA＝50°，∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，又∵∠BDC＝160°，∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，∴∠DCE＝20°+100°＝120°，故选：C．10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）A．2 B．7 C．16 D．17【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，∴∠QBP＝∠ABM，又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，∴△QBP≌△ABM（SAS），∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，∵AM＝BN，在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，∴∠MBN＝MPQ，在△QMP和△NMB中，，∴△QMP≌△NMB（SAS），∴MQ＝MN，在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，∴2＜MN＜16，∴选项B，MN＝7符合题意，故选：B．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为　（2，5）　．【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝　5　．【解答】解：∵n边形的每个外角都相等，∴这个n边形是正多边形，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷72°＝5．故答案为：5．13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 　SSS　．【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．故答案为SSS．14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为　20°或80°　．【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角是100°，∴①当顶角的外角是100°，∴顶角等于180°﹣100°＝80°，②当底角的外角是100°，∴底角等于180°﹣100°＝80°，∴顶角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，∴其顶角的度数为：20°或80°．故答案为：20°或80°．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 　①③④　．【解答】解：如图1，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，∴∠OBC＝∠OBA∠ABC，∠OCB＝∠OCA∠ACB，∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，故①正确；如图2，在BC上截取BM＝BE，连接OM，在△BOE和△BOM中，，∴△BOE≌△BOM（SAS），∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，∵∠COD＝∠EOB＝60°，∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COM，在△COD和△COM中，，∴△COD≌△COM{ASA），∴CD＝CM，∴BE+CD＝BC，故②错误；如图3，作OH⊥AC于点H，OG⊥BC于点G，连接OA，∵OF⊥AB于点F，∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，∵OF＝OG，OH＝OG，∴OF＝OH，在Rt△AOF和Rt△AOH中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），∴AF＝AH，∵∠EAC＝∠COD＝60°，∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，∴∠OEF＝∠ODH，在△OEF和△ODH中，，∴△OEF≌△ODH（AAS），∴EF＝DH，∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，故③正确；如图2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，∴S四边形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，故④正确，故答案为：①③④．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 　30　°．【解答】解：作△BCD的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，OD，如图，∵∠BCD＝150°，∴∠BOD＝60°．∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形．∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．在△OBA和△OCA中，，∴△OBA≌△OCA（SSS）．∴∠BOA＝∠COA∠BOC．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB∠ADC．∵∠BDC∠BOC，∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．∵∠BOD＝∠BDO＝60°，∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．∴∠AOD＝∠ADO．∴AO＝AD．在△OBA和△DBA中，，∴△OBA≌△DBA（SSS）．∴∠ABO＝∠ABD∠OBD＝30°．故答案为：30．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，又∵∠AED＝42°，∴∠BDF＝∠A+∠AED＝45°+42°＝87°．18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．【解答】证明：∵BE＝CF（已知），∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 　7　．【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，解得n＝1，三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；②如果n+6＝3n，解得n＝3，三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9； （2）n的最大值为7．由三角形三边关系知，，解得，∵三角形的三条边都不相等，∴3n≠n+6，∴n≠3，∴且n≠3，∵n为正整数，∴n的最大值为7．故答案为：7．20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）如图1，连接AC．①∠ACB＝　30　°；②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；（2）已知，P为AF边上一点，①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．【解答】解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC（180°﹣120°）＝30°，故答案为：30； ②如图1中，△ACE即为所求；（2）①如图2中，点Q即为所求；②如图3中，线段PH即为所求．21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，CB＝CA，∵∠ACE＝20°，∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，∴∠CAD＝∠D＝80°，∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，∴∠CED＝80°﹣20°＝60°． （2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，∴∠ACD＝60°﹣2α，∵CA＝CD，∴∠CAD（180°﹣60°+2α）＝60°+α，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，∵CT⊥AD，CA＝CD，∴AT＝DT，∴∠ECT＝30°，∴ETEC＝2，∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，∴AD＝2AT＝2．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【解答】（1）证明：∵ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD，∵∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：连接AP，BQ，∵△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵△ACD是等边三角形，∴CP垂直平分AD，∴DP＝AP，同理得EQ＝BQ，∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，∴当点P、Q落在AB上时，PD+PQ+QE的最小值为AB，∵∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴PD+PQ+QE的最小值为4．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如图2，求证：BE⊥AE；②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长． 【解答】（1）证明：如图1中，延长CE交AB于点J．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵CE平分∠ACB，∴CJ⊥AB，AJ＝JB，∴EA＝EB，∵∠ADC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠EBD＝30°，∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，∴∠EBD＝∠BED＝30°，∴DB＝DE； （2）①证明：如图2中，过点C作CH⊥CE交AE于点H．∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，∴∠CEH＝∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵∠ACB＝∠ECH＝90°，∴∠ACH＝∠BCE，在△ACH和△BCE中，，∴△ACH≌△BCE（SAS），∴∠CAH＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠ACD＝∠BED＝90°； ②解：如图3中，过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接BH．同法可证，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，∴BH＝AE＝1，∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝2．24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．（1）若α＝90．①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短． 【解答】（1）①解：如图1中，过点C作CH⊥x轴于点H．∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠OAB＝∠ACH，在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴OB＝AH，CH＝OA，∵B（0，1），A（3，0），∴OB＝1，OA＝3，∴AH＝1，CH＝3，OH＝4，∴C（4，3）； ②证明：如图2中，过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝DB＝DC，∠DAB＝∠DAC＝45°，∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，∴∠MDN＝∠ADB＝90°，∴∠BDN＝∠ADM，∵∠ADB＝∠AOB＝90°，∴∠DAM+∠DBO＝180°，∵∠DBO+∠DBN＝180°，∴∠DBN＝∠DAM，在△DNB和△DMA中，，∴△DNB≌△DMA（AAS），∴DM＝DN，∵DM⊥OA，DN⊥OB，∴OD平分∠AOB； （2）解：作NE∥AB交AC于点E，连接PM，AN，PA，过点O作OF⊥PA交PA的延长线于点F．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA＝∠CAB＝∠C＝60°，∵NE∥AB，∴∠CNE＝∠CBA＝60°，∠CEN＝∠CAB＝60°，∴△CEN是等边三角形，∴CN＝NE＝CE，∵BM＝CN，CB＝CA，∴NE＝BM，BN＝AE，∵∠CBA＝∠CEN＝60°，∴∠MBN＝∠AEN＝120°，在△NBM和△AEN中，，∴△NBM≌△AEN（SAS），∴NM＝AN，∵NM＝NP，∴AN＝NP，∴∠NMA＝∠NAM，∠NAP＝∠NPA，∵∠MNP＝120°，∴2∠NAM+2∠NAP＝240°，∴∠PAM＝∠NAM+∠NAP＝120°，∴∠OAP＝∠OAB+∠MAP＝165°，∴∠AOF＝180°﹣165°＝15°，∴点P在直线PA上运动（∠OAP＝165°），根据垂线段最短可知，当点P与F重合时，OP的值最小，此时∠AOP＝90°﹣15°＝75°．