2022-2023学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解关于的一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现是一元二次方程的一个根；丙同学发现函数的最大值为；丁同学发现当时，，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 点与点关于原点对称，则点的坐标______．
10. 请写出一个开口向上且经过的抛物线的解析式______．
11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ______ ．
12. 如图，在中，，，则的度数是______．

13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数、的值：_______________，_____________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为          ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的，写出一种由得到的过程：______．

16. 如图，是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，以下结论：
    ；
    ；
    若四边形是正方形，则；
    若为的中点，则为中点；
    所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点，，．
    根据点和的位置确定旋转中心是点______．
    请在图中画出．

19. 本小题分
    已知：，是直线上的两点．
    
    求作：，使得点在直线上方，且．
    作法：
    分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；
    以点为圆心，长为半径画圆；
    在劣弧上任取一点不与，重合，连接，就是所求作的三角形．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：在优弧上任取一点不与，重合，连接，，，．
    ，
    是等边三角形．
    ．
    ，，在上，
    ______填推理的依据．
    ．
    四边形内接于，
    ______填推理的依据．
    ．
20. 本小题分
    如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
    求证：≌；
    连接，若，求的度数．

21. 本小题分
    一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为，水面宽为由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为，求水面下降的高度．

22. 本小题分
    已知关于的方程．
    求证：方程总有两个不相等的实数根；
    若方程有一个根大于，求的取值范围．
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
    求抛物线的解析式；
    求抛物线的顶点的坐标；
    设过，两点的直线解析式为，直接写出当时自变量的取值范围．

24. 本小题分
    某公司以每件元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售单价元满足一次函数关系：．
    当时，总利润为______元；
    若设总利润为元，则与的函数关系式是______；
    若每天的销售量不少于件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25. 本小题分
    某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．

请解决以下问题：
在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
求关于的函数表达式；
公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为米，游船的平顶棚到湖面的高度约为米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度不考虑其他因素就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中中，抛物线的顶点在轴上．
    求抛物线的表达式；
    点是轴上一点，
    若在抛物线上存在点，使得，求点的坐标．
    抛物线与直线交于点，点在点的左侧，将此抛物线在点，包含点和点之间的部分沿轴向左平移个单位后得到的图象记为，若在图象上存在点，使得，求的取值范围．

27. 本小题分
    四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于，连接．
    依题意补全图；
    直接写出的度数；
    连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
     
28. 本小题分
    对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：
    过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
    已知点，
    在，，中，是的覆盖特征点的为______ ；
    若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
    以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在的覆盖的特征点，直接写出的取值范围______ ．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
常数项移到方程的左边，两边都加上配成完全平方式即可得出答案．
【解答】
解：，
，
则，即，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】
解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，可得到抛物线．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
的度数为：
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角等基本知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
该函数开口向下，对称轴为直线，
该函数图象上有、、三点，，
，
故选：．
根据二次函数的性质可以判断、、的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：、抛物线的开口向下，，故正确；
B、抛物线与轴交于正半轴，，故正确；
C、抛物线的对称轴在轴的右边，在直线的左边，，故正确；
D、从图象可以看出，当时，对应的函数值在轴的上方，，故错误．
故选D．
由抛物线的开口方向判定的取值范围，由抛物线于轴的交点判定的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，时的函数值即可判定的取值范围．
本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：对称轴是直线时，；
是一元二次方程的一个根时，；
函数的最大值为时，；
当时，时，；
当甲不对时，由和联立，，不满足，故不成立；
当乙不对时，由和联立，，不满足，故不成立；
当丙不对时，由和联立，，不满足，故不成立；
当丁不对时，由和联立，，成立；
故选：．
分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，则点的坐标：．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为
等，答案不唯一．
故本题答案为：等．
开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点，说明常数项．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，解得．
故答案为．
把代入方程得，然后解关于的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

由，得，．
．
．
，
在中，，
，
故答案为；．
根据垂径定理，可得，，根据圆周角定理，可得，根据直角三角形的性质，可得答案．
本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出，是解题关键，又利用了圆周角定理．
 

13.【答案】； 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得到，找一组满足条件的数据即可．
【解答】
解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
当时，，
故，时满足条件．
故答案为；．  

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标．
根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的方程的解为或．
故答案为：或．  

15.【答案】将绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移一个单位 

【解析】

【分析】
考查了坐标与图形变化旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
根据旋转的性质，平移的性质即可得到由得到的过程．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移一个单位得到，
故答案为：将绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移一个单位．  

16.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
、，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，故正确，
，，
，故正确，
当四边形是正方形时，，
，
，故错误，
若是的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，故正确．
故答案为：．
正确，证明≌，可得结论．
错误，证明，可得结论．
正确，证明是等边三角形，可得结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

17.【答案】解：；
，，，
，
，
，；
，
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】利用求根公式法求解即可；
移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，根据点和的位置确定旋转中心是点，
故答案为：．
如图所示，即为所求．

分别作、的中垂线、，两者的交点即为所求；
作出点绕点顺时针旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得．
本题主要考查作图旋转变换，掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点是解题的关键．
 

19.【答案】解：如下图即为所求：
；
在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补． 

【解析】

【分析】
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
根据题意补全图形；
根据画图过程得出是等边三角形，则，根据圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】
解：见答案；
证明：在优弧上任取一点不与，重合，连接，，，，

，
是等边三角形，
，
，，在上，
在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
，
四边形内接于，
圆内接四边形对角互补，
．
故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．  

20.【答案】解：证明：是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
≌．
如图，

，，
为等边三角形．
，
≌
．
． 

【解析】由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证≌可得答案；
由，知为等边三角形，即，继而由可得．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，下降后的水面宽为，连接，，过点作于，交于．
．
，
．
，，
，，
在中，
，
．
同理可得，
米．
答：水面下降了米． 

【解析】连接，，过点作于，交于先根据垂径定理求得、，然后根据勾股定理求出、的长，即可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
即．
方程总有两个不相等的实数根．
解：，
，
解得，．
方程有一个根大于，
．
． 

【解析】先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案；
利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于，得出不等式解答即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，也考查了解一元二次方程的方法．
 

23.【答案】解：将，代入得，
解得，
．
，
抛物线顶点的坐标为．
如图，

可得或时，． 

【解析】通过待定系数法求解．
根据图象抛物线在直线上方时的取值范围求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

24.【答案】   

【解析】解：当时，销售量为件，
利润为：元，
故答案为：；
由题意得：


，
与的函数关系式为，
故答案为：；
，
，
解得：．

，
对称轴为，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为：．
销售单价定为元时，利润最大，最大利润是元．
根据题意先求出当时的销售量，再求出利润即可；
每件进价是元，销售单价为元，则每件利润为元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得关于的函数关系式；
每天的销售量不少于件，可得不等式，解得的取值范围，将中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
所以；
设水枪高度向上调整米，
设平移后二次函数关系式为，
当时，，
，
答：水枪高度至少向上调整米． 

【解析】根据对应点画图象即可；
由图象可得答案；
利用待定系数法可得关系式；
设水枪高度向上调整米，设平移后二次函数关系式为，
再根据二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

26.【答案】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
作直线，交抛物线于点，如图所示．
联立直线及抛物线的表达式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为或．
当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
分两种情况考虑：
当点，在轴右侧时，抛物线与直线交于点，
当时，图象上存在点，使得，
，解得：；
当点，在轴左侧时，同可得出，抛物线与直线交于点或，
当时，图象上存在点，使得，
，解得：．
综上所述：若在图象上存在点，使得，的取值范围为． 

【解析】利用二次函数的性质结合抛物线的顶点坐标在轴上，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
作直线，交抛物线于点，联立直线与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，分点，在轴右侧及点，在轴左侧两种情况考虑：当点，在轴右侧时，由抛物线与直线交于点，可得出当时，图象上存在点使得，解不等式组即可求出的取值范围；当点，在轴左侧时，同可得出，抛物线与直线交于点或，进而可得出当时，图象上存在点使得，解不等式组即可求出的取值范围．综上，此题得解．
本题考查了二次函数的性质、解一元一次方程、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与变换以及解一元一次不等式组，解题的关键是：利用二次函数的性质，找出关于的一元一次方程；联立直线与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组求出点的坐标；分点，在轴右侧及点，在轴左侧两种情况，找出关于的一元一次不等式组．
 

27.【答案】解：补全图形，如图所示：

；
，
证明：如图，作，交的延长线于点，

由得，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，，
，
． 

【解析】解：见答案；
，
设与交于点，如图所示：

由题意得，，，，
，，
，，
．
，
．
，
，
；
见答案．
本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
按照题中的表述画出图形即可；
的度数为由题意得，，，，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
作，交的延长线于点，判定≌，可得，，则可得，，从而可得与的数量关系，则可得线段与的数量关系．
 

28.【答案】，  或 

【解析】解：如图中，

观察图象可知，，是的覆盖特征点．
故答案为：，．

当时，结合函数图象可知符合题意．

当时，由题意得：当且时，点为的覆盖的特征点图中的阴影部分．
又点在一次函数的图象上，
当直线过点时，解得：，
结合函数图象可知，
综上所述：．

如图中，

观察图象可知，当时，抛物线上存在的覆盖的特征点，
当时，抛物线经过，对称轴，当抛物线经过或时，抛物线满足条件，
，
解得，
观察图象可知，当时，抛物线上存在的覆盖的特征点，
综上所述，满足条件的的取值范围为：或．
故答案为：或．
画出图形，根据点为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可．
分两种情形：，分别求解即可．
观察图象可知，当时，抛物线上存在的覆盖的特征点，当时，抛物线经过，对称轴，当抛物线经过或时，抛物线满足条件，求出的值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，点为这个覆盖的一个特征点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．