2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在四个数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日央视新闻网全程直播“神舟十三号”载人飞船返航，截止当天下午五时，全网共万人在线观看．数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 某车间名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

7. 下列命题是假命题的是(    )

A. 平分弦的直径垂直于这条弦
B. 三角形两条内角角平分线的交点是三角形的内心
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半

8. 如图，，平分交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 使函数表达式有意义的自变量的取值范围是______．
12. 若是方程的一个根，则的值为______．
13. 将本艺术类、本文学类、本科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为______ ．
14. 若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是          ．
15. 如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则四边形的周长是______．

16. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，在中，，．
    通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______．
    在所作的图中，求的度数．

20. 本小题分
    为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
    根据以上信息，解答下列问题：
    参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图；
    图中扇形的圆心角度数为______度；
    若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
    计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
21. 本小题分
    如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，．
    求证：四边形是平行四边形．
    当，时，求的长．

22. 本小题分
    我国传统数学名著九章算术记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有个头，从下面数有只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
    笼中鸡、兔各有多少只？
    若还是只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少只且不超过只．问这笼鸡兔最多有多少只鸡？
23. 本小题分
    如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的值以及的半径．

24. 本小题分
    定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”，其“青一点”为．
    判断：函数 ______“青一函数”填“是”或“不是”；
    函数的图象上的青一点是______；
    若抛物线上有两个“青一点”，求的取值范围；
    若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当时，的最小值为，求的值．
25. 本小题分
    如图，四边形内接于以为直径的，为上一点，且，连结并延长交的延长线于点，与交于点，连接．
    求证：；
    若求证：．
    如图，在的条件下，连结，，求的最小值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数中最小的数是．
故选：．
根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知实数大小比较的法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据万用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.图案不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.图案不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则、单项式除以单项式的运算法则进行解答即可．
本题考查了幂的乘方、完全平方公式、合并同类项、单项式除以单项式，解题的关键是掌握幂的乘方的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则、单项式除以单项式的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点为，在第二象限．
故选：．
根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”求出对称点，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标：两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
 

6.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，则众数是；
把这些数从小到大排列，中位数第、个数的平均数，
则中位数，
平均数是，
故选：．
根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

7.【答案】 

【解析】解：平分弦的直径垂直于这条弦非直径，故A是假命题；
三角形两条内角平分线的交点是三角形的内心，故B是真命题；
菱形的对角线互相垂直符合菱形的性质，故C是真命题；
直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半符合直角三角形的性质，故D是真命题．
故选A．
分别根据垂径定理，三角形内角的定义，菱形的性质及直角三角形的性质进行解答即可．
本题考查的是命题与定理，熟知垂径定理，三角形内角的定义，菱形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：．
根据平行线性质求出的度数，根据角平分线求出的度数，根据平行线性质求出的度数即可．
本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意平行线的性质有：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为，
它的侧面积，
故选：．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么侧面积底面半径母线长．
本题考查了圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：过、分别作轴，轴，垂足为、，
，，
，
轴，轴，垂足为、，
，
．
，
，
，
∽，
，
设，，则，，
，，
反比例函数的图象经过点，，
反比例函数的解析式为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：．
根据，，可求出与的比，设出点的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点的坐标，进而求出的值．
考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
即．




．
故答案为：．
先把代入方程得到，变形后整体代入要求解的代数式．
本题考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一共有本书籍，其中文学类有本，
小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为，
故答案为：．
用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出边数．
首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】
解：正多边形的一个内角等于，
它的外角是：，
它的边数是：．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
矩形的对角线，相交于点，
，，，
，
，
平行四边形是菱形，
菱形的周长，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，得，，再由矩形的性质得，则，得平行四边形是菱形，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质得知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

是半圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，先根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用整数指数幂的性质、负指数幂的性质、绝对值的性质分别、二次根式分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】垂直平分线  角平分线 

【解析】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线；
垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
平分，
．
根据作图痕迹判断即可．
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，结合三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义即可求出的度数．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图形信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
 

20.【答案】   

【解析】解：调查学生总数为人，
选择“数学园地设计”的有人，
补全统计图如下：

故答案为：；

，
故答案为：；

人，
答：参加成果展示活动的名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有人；

在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
从两个统计图中可得样本中选择“七巧板”的有人，占调查人数的，根据频率频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；
求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中参与“测量”所占的百分比，进而估计总体中“测量”的百分比，求出相应人数即可；
用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
是的中点，
，
在中，，，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设鸡有只，兔有只，据题意得：
．
解方程得只．
只．
答：鸡有只、兔有只．
设鸡有只，则兔有只，
据题意得：，
解不等式组得：，
．
答：这笼鸡兔最多有只鸡． 

【解析】方程问题，列方程或方程组都可以，鸡有两只脚，兔有四只脚，列出方程或方程组．
不等式组的问题，根据鸡有两只脚，兔有四只脚列出不等式组．
本题考查的是一元一次方程和一元一次不等式组，根据鸡兔的脚的总数列出方程或不等式组是解题的关键．
 

23.【答案】证明：与相切于点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】根据切线的性质可得，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等即可解答；
根据已知可得，然后利用的结论可得∽，从而利用相似三角形的性质可得，然后根据，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】不是  或 

【解析】解：令，方程无解，
函数不是“青一函数”；
令，解得或，
函数的图象上的青一点是或；
故答案为：不是；或；
由题意可知，，
整理得，，
抛物线上有两个“青一点”，
且，
解得且．
由题意可知，，
整理得，，
，
整理得，，
对称轴为直线，此时的最小值为；
根据题意需要分类讨论：
，
；
，无解；
，
或舍去．
综上，的值为或．
根据“青一函数”的定义直接判断即可导出结论；
根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；
根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想等，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

25.【答案】证明：连接，

，，
∽，
，
，
，
，
；
证明：为的直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，
由，
，
，
；
解：如图，过点作于，

≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，
，
在中，，
，
当时，的最小值为，
的最小值为． 

【解析】连接，证明∽，利用相似三角形的性质可得，由得出，即可得结论；
由可得，得出，利用全等三角形的判定可得≌可得，即可得结论；
过点作于，可得≌，得，由相似三角形的判定可得∽，设，由相似的性质得，在中，由勾股定理知，即可得最小值．
本题是圆的综合题，考查圆的性质．全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点，解本题的关键要熟练掌握本知识．