河南省新乡市辉县市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

2. 下列根式中，不是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如果两个相似三角形的相似比是：，那么这两个相似三角形的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定∽的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某超市年的销售利润是万元，计划到年利润要达到万元，若设每年平均增长率是，则可得方程(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点、两点均不与端点重合，作，交边于点若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是______．
12. 已知，则______．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 将根号外面的式子移到根号内是______．
15. 如图，中，，，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点是点，若点始终在边上，当与相似时，的长为______．

三、解答题（本大题共11小题，共75分）

16. 计算：．
17. 计算：．
18. 解方程：用配方法．
19. 解方程：．
20. 如图，设网格中每个小正方形的边长均为点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：∽．

21. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；
    若该方程的两根都是整数，求整数的值．
22. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
    在坐标系中画出关于轴的对称图形；
    在坐标系中原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为的位似图形；
    求出的面积．

23. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
    求证：∽；
    若，，，求的长．

24. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价元，平均每天可多售出件．设每件童装降价元．
    每天可销售多少件，每件盈利多少元？用含的代数式表示
    每件童装降价多少元时，平均每天盈利元．
    平均每天盈利能否达到元，请说明理由．
25. 【阅读学习】
    小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：
    设其中，，，均为整数，则有．
    ，这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．
    【解决问题】
    当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：______，______；
    利用的结论，找一组正整数，，，，使得成立，且的值最小．请直接写出，，，的值；
    若，且，，均为正整数，求的值．
26. 如图，，，点是平面内一点，连接，且，将线段绕点递时针旋转得到线段，连接，，则的值为______；
    如图，，，点是平面内一点，连接，且，将线段绕点递时针旋转得到线段，连接，．
    求的值；
    若，，当点，，在同一直线上时，直接写出线段的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下面两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
故选：．
方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：这两个相似三角形的面积比：：．
故选：．
直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
当时，∽；
当时，∽；
当时，∽．
故选：．
由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先根据把二次根式开方，得到，再计算结果即可．
【解答】解：，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意，可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，如图所示：

点、分别为边、的中点，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，
是的中位线，
，
，
故选：．
延长交于，由三角形中位线定理得到，，，再证≌，得，然后由三角形中位线定理得，求解即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∽；
，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
先证明∽；利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于的一元二次方程，再判别式，建立方程求解，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
，，．
，
故答案为：．
根据等比的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出，，是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
依据的符号，将变形为，再根号外面的非负因式移到根号内即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，，
，，
当与相似时，
点始终在边上，
根据折叠，
设，则，
分两种情况：
∽，
此时，
，
即，
解得，
，
∽，
此时，
，
即，
解得，
，
综上，的长为或，
故答案为：或．
根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：∽，∽，分别列方程求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先将各二次根式化为最简二次根式，合并括号内的同类二次根式，再根据除法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先利用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
所以，． 

【解析】先计算判别式的值，然后代入一元二次方程的求根公式中求解．
本题考查了解一元二次方程：把叫做一元二次方程的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
 

20.【答案】证明：由图形知：，，，
，，，
，
∽． 

【解析】由勾股定理求出与各边的长，通过三边对应成比例的两三角形相似，即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

21.【答案】解：证明：
，
，
，
无论取何值，方程总有两个实数根；

解：
，
，，
因为该方程的两根都是整数，
所以为整数，
所以整数为． 

【解析】先计算判别式得值得到，然后根据非负数的性质得到，则根据判别式的意义即可得到结论；
先理由求根公式得到的解为，，则二次函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为和，然后根据整数的整除性可确定整数的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了抛物线与轴的交点．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
的面积． 

【解析】利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
本题考查作图位似变换，三角形的面积轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
∽；
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的长为． 

【解析】利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；
利用的结论即可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：，；

根据题意，得：．
解得：，，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价元，平均每天盈利元；

依题意，可列方程：
，
化简，得，
．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到元． 

【解析】根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可；
根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得；
根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：．
，．
故答案为：，．
当，时，，，
故，，，时，的值最小．
，
，，
，
、、均为正整数，
令，或，；
当，时，．
当，时，．
综上，的值为或．
根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出、的值；
根据的结论即可得到结果；
根据题意得到，，求得，分类讨论即可得到结论．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

，，
是等边三角形，
，，
由旋转知，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
连接、，如图，

，，
，，
由旋转知，，，
，，
，，
，
∽，
；
如图，连接、，

，，
，，
由旋转知，，，
，，
，，
，
∽，
，
，
点，，在同一直线上，
，
，
．
连接、，证明是等边三角形，是等边三角形，再证明≌得，便可求得结果；
连接、，证明∽，便可求得结果；
如图，连接、，证明∽，得，再由勾股定理求得，进而得，便可求得．
本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，关键在于证明三角形的全等与相似．