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江苏省盐城市阜宁县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份江苏省盐城市阜宁县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省盐城市阜宁县2022--2023学年上学期九年级数学期中学情调研试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1
2．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数或平均数
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m与方程另一个根分别是（ ）
A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，5
4．已知⊙O的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
6．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．45° D．80°
7．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）
9．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的 ．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2x1+3x1x2+2x2的值是 ．
11．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为 ．
12．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 ．
13．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
14．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意，可以列出关于x的方程为 ．
15．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 cm．（结果保留π）
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知一组数据3，4，9，a，5的平均数是6，求这组数据的众数和中位数．
18．（6分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
19．（8分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圆片的半径R．
20．（8分）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
21．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D和点E，DF∥AB交⊙O于F，连接AF，AD．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所围成的图形的面积．（结果保留π）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
26．（12分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
27．（14分）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作∠BAC＝30°，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
（1）请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为 ；②△ABC面积的最大值为 ；
【类比探究】
（2）小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为A'，请你证明∠BA'C＞30°；
【问题拓展】
（3）结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），使得∠OPC＝45°的位置有两个，求m的取值范围．
江苏省盐城市阜宁县2022--2023学年上学期九年级数学期中学情调研试卷
【参考答案】
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数或平均数
【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．
故选：C．
【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m与方程另一个根分别是（ ）
A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，5
【分析】由于x＝1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
【解答】解：∵x＝1是方程的一个根，
∴1﹣m+5＝0，
∴m＝6，
设另一个根为x2，则1+x2＝6，
∴x2＝5，
∴m的值是6，另一个根是5．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后根据根与系数的关系就可以求出方程的另一个根．
4．已知⊙O的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5，r＝3，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1
配方得（x﹣1）2＝2．
故选：D．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．45° D．80°
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后根据BO＝CO可得∠OBC＝∠OCB，进而可利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF＝OC＝OD是解题的关键．
8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】连接OA、OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）
9．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的 平均数 ．
【分析】根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，得出数20表示这组数据的平均数．
【解答】解：在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的平均数；
故答案为：平均数．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2x1+3x1x2+2x2的值是 5 ．
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，再把2x1+3x1x2+2x2变形为2（x1+x2）+3x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
所以2x1+3x1x2+2x2＝2（x1+x2）+3x1x2＝2×4+3×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
11．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为 2 ．
【分析】首先连接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的长，然后由垂径定理求得弦CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝1，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
12．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 3 ．
【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
13．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 10 ．
【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意，可以列出关于x的方程为 500（1+x）2＝800 ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故答案为：500（1+x）2＝800．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 2π cm．（结果保留π）
【分析】连接OC，OD，先求出∠COD的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
【解答】解：如图所示，连接OC，OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD
＝360°﹣90°﹣90°﹣120°
＝60°．
∴的长＝＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，求出∠COD的度数是解题的关键．
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，13） ．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，根据切线的性质得到AB⊥PB，根据直角三角形的性质求出PA，根据勾股定理求出PD，进而求出OP，得到答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，
则四边形ADOC为矩形，
∵点A的坐标为（6，5），
∴AD＝OC＝6，OD＝AC＝5，
∵⊙A与x轴相切，PB与⊙A相切于点B，
∴AB＝AC＝5，AB⊥PB，
在Rt△APB中，∠APB＝30°，
则PA＝2AB＝10，
∴PD＝＝＝8，
∴OP＝5+8＝13，
∴点P的坐标为（0，13），
故答案为：（0，13）．
【点评】本题考查的是切线的性质、坐标与图形性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知一组数据3，4，9，a，5的平均数是6，求这组数据的众数和中位数．
【分析】根据平均数求出a的值，然后得出众数和中位数即可．
【解答】解：由题意知，＝6，
解得a＝9，
∴这组数据的众数为9，中位数为5．
【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数的概念，熟练掌握平均数、众数和中位数的概念是解题的关键．
18．（6分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+px+q＝0，
x2+px＝﹣q，
x2+px+＝﹣q+，
（x+）2＝，
∵p2﹣4q＞0，
∴x+＝±，
x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
19．（8分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）作图思路：可根据AB，AC的垂直平分线来确定圆心．
（2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接AO交BC于E．先求出AE的值，然后在直角三角形OBE中，用半径表示出OE，OB，然后根据勾股定理求出半径的值．
【解答】解：（1）分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心．
（2）连接AO交BC于E，连接OB．
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，BE＝BC＝12（厘米），
在Rt△ABE中，AE＝＝＝5（厘米），
设⊙O的半径为Rcm，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，即R2＝122+（R﹣5）2，
∴R2＝144+R2﹣10R+25，
∴R＝．
所以所求圆的半径为cm．
【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
20．（8分）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）x+3﹣x（x+3）＝0，
（x+3）﹣x（x+3）＝0，
（x﹣3）（1﹣x）＝0，
∴x﹣3＝0或1﹣x＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4，
2x2+5x﹣7＝0，
（2x+7）（x﹣1）＝0，
∴2x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
21．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2，由偶次方的非负性可得出（m+1）2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝m+2，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出m的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2．
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2）＝m2+2m+1＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣（m+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+2．
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m≥﹣1，且m为整数，
∴m的最小值为﹣1．
当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
【分析】（1）由切线长定理可知BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠OBC和∠OCB的度数可求出，进而可求出∠BOC的度数；
（2）连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°，即可解决问题．
【解答】解：
（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣35°＝115°；
（2）如图所示；连接OE，OF．
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠BAC+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝130°，
∴∠EDF＝∠EOF＝65°．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠EOF的度数是解题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D和点E，DF∥AB交⊙O于F，连接AF，AD．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所围成的图形的面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EDF＝∠ECB＝90°，求得OC＝，于是得到结论；
（2）连接OD，于是得到∠DOF＝2∠E＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DF∥AB，CD⊥AB，
∴∠EDF＝∠ECB＝90°，
∴EF为⊙O的直径，
∵点C为半径OA的中点，
∴OC＝，
∴∠E＝30°，
∴∠DAF＝∠E＝30°；
（2）连接OD，
则∠DOF＝2∠E＝60°，
∵DF∥AB，
∴S△ADF＝S△DOF，
∴S阴影＝S扇形，
∵OD＝AB＝5，
∴弦AD，AF和所围成的图形的面积＝＝π．
【点评】本题考查了扇形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
【分析】设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；
（1）由题意可得CQ＝tcm，AP＝4tcm，即知S梯形PADQ＝＝9t+42，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，9t+42＝×14×6，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，9t+42＝×14×6，解方程可得答案；
（2）过P作PM⊥CD于M，可证明四边形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．
【解答】解：设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；
（1）∵点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，
∴CQ＝tcm，AP＝4tcm，
∴DQ＝（14﹣t）cm，
∴S梯形PADQ＝＝＝9t+42，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，
9t+42＝×14×6，
解得t＝2，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，
9t+42＝×14×6，
解得t＝﹣2（舍去），
∴运动2秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分；
（2）过P作PM⊥CD于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵PM⊥CD，
∴∠APM＝90°，
∴四边形ADMP是矩形，
∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm
∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），
∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q两点之间的距离是10cm，
∴|14﹣5t|2+62＝102，
解得t＝或t＝（大于，舍去），
∴运动秒时，P，Q两点之间的距离是10cm．
【点评】本题考查一元一元一次方程和一元二次方程的应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度．
26．（12分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；
（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF，过点O作OH⊥GF于点H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．
【解答】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出HF的长是解题的关键．
27．（14分）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作∠BAC＝30°，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
（1）请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为 2 ；②△ABC面积的最大值为 +2 ；
【类比探究】
（2）小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为A'，请你证明∠BA'C＞30°；
【问题拓展】
（3）结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），使得∠OPC＝45°的位置有两个，求m的取值范围．
【分析】（1）①由圆周角定理可得∠BOC＝60°，可证△OBC是等边三角形，即可求解；
②由题意可得当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，即可求解；
（2）由同弧所对的圆周角相等可得∠BHC＝∠BAC，由三角形的外角的性质可得结论；
（3）以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点O为圆心，OD为半径作圆D，可得当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，分别求出点B在圆D和线段AB与圆D相切时，m的值，即可求解．
【解答】（1）解：①如图1，设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2，
故答案为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图1，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝＝＝，
∴DE＝+2，
∴△ABC的最大面积为×2×（+2）＝+2，
故答案为：+2；
（2）证明：如图1﹣1，延长BA′，交圆于点H，连接CH，
∵＝，
∴∠BHC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BHC+∠A′CH，
∴∠BA′C＞∠BHC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）解：如图2，以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点D为圆心，OD为半径作圆D，
∴OD＝CD＝，∠ODC＝90°，
∴当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，
当点A或点B在圆D上时，BC＝OC＝2，即m＝2，
当AB与圆D相切时，m＝1+，
∴2≤m＜1+．
故答案为：2≤m＜1+．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，圆的有关知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点P的运动轨迹．
江苏省盐城市阜宁县2022--2023学年上学期九年级数学期中学情调研试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1
2．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数或平均数
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m与方程另一个根分别是（ ）
A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，5
4．已知⊙O的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
6．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．45° D．80°
7．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）
9．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的 ．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2x1+3x1x2+2x2的值是 ．
11．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为 ．
12．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 ．
13．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
14．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意，可以列出关于x的方程为 ．
15．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 cm．（结果保留π）
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知一组数据3，4，9，a，5的平均数是6，求这组数据的众数和中位数．
18．（6分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
19．（8分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圆片的半径R．
20．（8分）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
21．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D和点E，DF∥AB交⊙O于F，连接AF，AD．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所围成的图形的面积．（结果保留π）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
26．（12分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
27．（14分）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作∠BAC＝30°，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
（1）请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为 ；②△ABC面积的最大值为 ；
【类比探究】
（2）小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为A'，请你证明∠BA'C＞30°；
【问题拓展】
（3）结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），使得∠OPC＝45°的位置有两个，求m的取值范围．
江苏省盐城市阜宁县2022--2023学年上学期九年级数学期中学情调研试卷
【参考答案】
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数或平均数
【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．
故选：C．
【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m与方程另一个根分别是（ ）
A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，5
【分析】由于x＝1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
【解答】解：∵x＝1是方程的一个根，
∴1﹣m+5＝0，
∴m＝6，
设另一个根为x2，则1+x2＝6，
∴x2＝5，
∴m的值是6，另一个根是5．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后根据根与系数的关系就可以求出方程的另一个根．
4．已知⊙O的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5，r＝3，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1
配方得（x﹣1）2＝2．
故选：D．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．45° D．80°
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后根据BO＝CO可得∠OBC＝∠OCB，进而可利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF＝OC＝OD是解题的关键．
8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】连接OA、OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）
9．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的 平均数 ．
【分析】根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，得出数20表示这组数据的平均数．
【解答】解：在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的平均数；
故答案为：平均数．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2x1+3x1x2+2x2的值是 5 ．
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，再把2x1+3x1x2+2x2变形为2（x1+x2）+3x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
所以2x1+3x1x2+2x2＝2（x1+x2）+3x1x2＝2×4+3×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
11．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为 2 ．
【分析】首先连接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的长，然后由垂径定理求得弦CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝1，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
12．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 3 ．
【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
13．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 10 ．
【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意，可以列出关于x的方程为 500（1+x）2＝800 ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故答案为：500（1+x）2＝800．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 2π cm．（结果保留π）
【分析】连接OC，OD，先求出∠COD的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
【解答】解：如图所示，连接OC，OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD
＝360°﹣90°﹣90°﹣120°
＝60°．
∴的长＝＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，求出∠COD的度数是解题的关键．
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，13） ．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，根据切线的性质得到AB⊥PB，根据直角三角形的性质求出PA，根据勾股定理求出PD，进而求出OP，得到答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，
则四边形ADOC为矩形，
∵点A的坐标为（6，5），
∴AD＝OC＝6，OD＝AC＝5，
∵⊙A与x轴相切，PB与⊙A相切于点B，
∴AB＝AC＝5，AB⊥PB，
在Rt△APB中，∠APB＝30°，
则PA＝2AB＝10，
∴PD＝＝＝8，
∴OP＝5+8＝13，
∴点P的坐标为（0，13），
故答案为：（0，13）．
【点评】本题考查的是切线的性质、坐标与图形性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知一组数据3，4，9，a，5的平均数是6，求这组数据的众数和中位数．
【分析】根据平均数求出a的值，然后得出众数和中位数即可．
【解答】解：由题意知，＝6，
解得a＝9，
∴这组数据的众数为9，中位数为5．
【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数的概念，熟练掌握平均数、众数和中位数的概念是解题的关键．
18．（6分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+px+q＝0，
x2+px＝﹣q，
x2+px+＝﹣q+，
（x+）2＝，
∵p2﹣4q＞0，
∴x+＝±，
x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
19．（8分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）作图思路：可根据AB，AC的垂直平分线来确定圆心．
（2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接AO交BC于E．先求出AE的值，然后在直角三角形OBE中，用半径表示出OE，OB，然后根据勾股定理求出半径的值．
【解答】解：（1）分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心．
（2）连接AO交BC于E，连接OB．
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，BE＝BC＝12（厘米），
在Rt△ABE中，AE＝＝＝5（厘米），
设⊙O的半径为Rcm，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，即R2＝122+（R﹣5）2，
∴R2＝144+R2﹣10R+25，
∴R＝．
所以所求圆的半径为cm．
【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
20．（8分）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）x+3﹣x（x+3）＝0，
（x+3）﹣x（x+3）＝0，
（x﹣3）（1﹣x）＝0，
∴x﹣3＝0或1﹣x＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4，
2x2+5x﹣7＝0，
（2x+7）（x﹣1）＝0，
∴2x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
21．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2，由偶次方的非负性可得出（m+1）2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝m+2，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出m的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2．
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2）＝m2+2m+1＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣（m+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+2．
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m≥﹣1，且m为整数，
∴m的最小值为﹣1．
当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
【分析】（1）由切线长定理可知BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠OBC和∠OCB的度数可求出，进而可求出∠BOC的度数；
（2）连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°，即可解决问题．
【解答】解：
（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣35°＝115°；
（2）如图所示；连接OE，OF．
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠BAC+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝130°，
∴∠EDF＝∠EOF＝65°．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠EOF的度数是解题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D和点E，DF∥AB交⊙O于F，连接AF，AD．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所围成的图形的面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EDF＝∠ECB＝90°，求得OC＝，于是得到结论；
（2）连接OD，于是得到∠DOF＝2∠E＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DF∥AB，CD⊥AB，
∴∠EDF＝∠ECB＝90°，
∴EF为⊙O的直径，
∵点C为半径OA的中点，
∴OC＝，
∴∠E＝30°，
∴∠DAF＝∠E＝30°；
（2）连接OD，
则∠DOF＝2∠E＝60°，
∵DF∥AB，
∴S△ADF＝S△DOF，
∴S阴影＝S扇形，
∵OD＝AB＝5，
∴弦AD，AF和所围成的图形的面积＝＝π．
【点评】本题考查了扇形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
【分析】设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；
（1）由题意可得CQ＝tcm，AP＝4tcm，即知S梯形PADQ＝＝9t+42，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，9t+42＝×14×6，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，9t+42＝×14×6，解方程可得答案；
（2）过P作PM⊥CD于M，可证明四边形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．
【解答】解：设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；
（1）∵点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，
∴CQ＝tcm，AP＝4tcm，
∴DQ＝（14﹣t）cm，
∴S梯形PADQ＝＝＝9t+42，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，
9t+42＝×14×6，
解得t＝2，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，
9t+42＝×14×6，
解得t＝﹣2（舍去），
∴运动2秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分；
（2）过P作PM⊥CD于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵PM⊥CD，
∴∠APM＝90°，
∴四边形ADMP是矩形，
∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm
∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），
∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q两点之间的距离是10cm，
∴|14﹣5t|2+62＝102，
解得t＝或t＝（大于，舍去），
∴运动秒时，P，Q两点之间的距离是10cm．
【点评】本题考查一元一元一次方程和一元二次方程的应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度．
26．（12分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；
（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF，过点O作OH⊥GF于点H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．
【解答】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出HF的长是解题的关键．
27．（14分）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作∠BAC＝30°，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
（1）请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为 2 ；②△ABC面积的最大值为 +2 ；
【类比探究】
（2）小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为A'，请你证明∠BA'C＞30°；
【问题拓展】
（3）结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），使得∠OPC＝45°的位置有两个，求m的取值范围．
【分析】（1）①由圆周角定理可得∠BOC＝60°，可证△OBC是等边三角形，即可求解；
②由题意可得当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，即可求解；
（2）由同弧所对的圆周角相等可得∠BHC＝∠BAC，由三角形的外角的性质可得结论；
（3）以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点O为圆心，OD为半径作圆D，可得当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，分别求出点B在圆D和线段AB与圆D相切时，m的值，即可求解．
【解答】（1）解：①如图1，设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2，
故答案为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图1，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝＝＝，
∴DE＝+2，
∴△ABC的最大面积为×2×（+2）＝+2，
故答案为：+2；
（2）证明：如图1﹣1，延长BA′，交圆于点H，连接CH，
∵＝，
∴∠BHC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BHC+∠A′CH，
∴∠BA′C＞∠BHC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）解：如图2，以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点D为圆心，OD为半径作圆D，
∴OD＝CD＝，∠ODC＝90°，
∴当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，
当点A或点B在圆D上时，BC＝OC＝2，即m＝2，
当AB与圆D相切时，m＝1+，
∴2≤m＜1+．
故答案为：2≤m＜1+．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，圆的有关知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点P的运动轨迹．
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