辽宁省大连市高新园区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省大连市高新园区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 方程的解是(    )

A.  B. ，
C. ， D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线的顶点是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，点，分别在，上，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 抛物线经过原点，那么的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为中边上一点，，，，则线段长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接当点、、在同一条直线上时，下列结论：
   ；
   ；
   平分．
   其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员把铅球推出多远(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 二次函数图象与轴的交点坐标是______ ．
12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______．
13. 如图，在▱中，，若，则______．

14. 在二次函数中，当时，随的增大而______填“增大”或“减小”．
15. 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？“其意思为：今有一门，高比宽多尺，门对角线距离恰好为丈，问门高、宽各是多少？丈尺如图，设门高为尺，根据题意，可列方程为______将方程化简并写成一般形式．
16. 如图，是斜边上的中点，将绕点旋转，使得点落在射线上的点处，点落在点处，边的延长线交边于点如果那么的长等于______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
18. 本小题分
    如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出关于原点对称的，点、、的对应点分别为、，；
    请画出绕点逆时针旋转后的，点、、的对应边分别为、、，并写出点的坐标．

19. 本小题分
    如图，与有公共顶点，求证：∽．

20. 本小题分
    某市年底，城市树木花草的绿化面积约万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到年底绿化面积约万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．
21. 本小题分
    如图，小明同学用自制的直角三角形测量树的高度，，，他调整自己的位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线，测得边离地面高度，，求树高．

22. 本小题分
    如图，在中，，是中线，，垂足为．
    求证∽；
    若，，求的长度．

23. 本小题分
    某商店销售一种销售成本为元件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量件与当天的销售单价元件满足一次函数关系，并且当时，；当时，其中．
    求出与的函数关系式；
    求出每件售价多少元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是多少元．
24. 本小题分
    如图，在中，，于点，，，点是边上一动点点不与点、重合，过点作于点点在射线上，且，设，与重叠部分的面积为．
    求的长；
    求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

25. 本小题分
    综合与实践：
    问题情境：数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图，在中，，，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
    探究与之间的数量关系，并证明．
    独立思考：请解答张老师提出的问题．
    实践探究：在原有问题条件不变的情况下，张老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图，若，求证：”．
    问题解析：数学活动小组对上述问题特殊化研究之后发现，当时，若给出的腰和底的数量关系，则图中所有已经用字母标记的线段，任意两条线段之间的比值均可求．
    该小组提出下面问题，请你解答．
    “如图，在条件下，若，，求的值”．
     
26. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点在点左侧，与轴交于点，直线经过、两点．
    求抛物线的解析式；
    点在抛物线上，连接、，若的面积为，求点的坐标；
    如图，连接，点在抛物线上，连接，若，求点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，记住顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
的长为，
故选：．
由证明∽，根据“相似三角形的对应边成比例”得，而，则，于是得到问题的答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线经过原点，
，
解得，
故选：．
根据抛物线经过原点，可以得到，然后求出的值即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
．
故选：．
设，根据两角对应相等推出∽，得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：有两角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得：．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知，，
当点、、在同一条直线上时，，
故符合题意；
由旋转的性质可知，≌，
，，
由，
为等边三角形，
，
，
，
故符合题意；
为等边三角形，
，
，
，
，
平分，故符合题意；
故选：．
由旋转的性质可知，再借助题意可计算，故选项符合题意；先由旋转的性质证明≌，可推导、，借助可知为等边三角形，易知，再证明，故选项符合题意；借助为等边三角形，易知，由题意可计算，即有，可证明平分，故选项符合题意．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：当时，则，
，
，
不合题意，舍去，，
此运动员把铅球推出．
故选：．
由题意可知，推出铅球的距离即为时，自变量的取值，从而可得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为．
计算自变量对应的函数值即可得到抛物线与轴的交点坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，即，
则，
故答案为：．
把代入方程计算即可求出所求．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：：：，
设，，
，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，可证∽，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
 

14.【答案】增大 

【解析】解：，
顶点坐标，对称轴是直线，
又，抛物线开口向上，
所以，当时，随的增大而增大．
故答案为：增大．
先把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，再结合开口方向判断增减性．
本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设门高为尺，则门的宽为尺，丈尺，
依题意得：，
即．
故答案为：．
设门高为尺，则门的宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

在和中，
，
≌，
，
，
垂直平分线段，
，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
如图，连接证明≌，推出，证明垂直平分线段，再证明∽，可得，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 

17.【答案】解：由抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得．
． 

【解析】设抛物线的解析式为，将代入解析式求解．
本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
 

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点坐标为．
 

【解析】利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
，，
，
，
∽， 

【解析】利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．
 

20.【答案】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两年绿化面积的年平均增长率为． 

【解析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，利用该市年底绿化面积该市年底绿化面积这两年绿化面积的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
．
．
答：树高为． 

【解析】利用相似三角形的判定得到∽，由相似三角形的性质求得的长，则．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求得的长是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在中，，
是中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
在中，
是中线，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得，
． 

【解析】根据相似三角形的判定方法即可得证；
根据相似三角形对应边成比例可得，设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是得到∽．
 

23.【答案】解：设与的函数关系式为：，
将当时，，当时，代入得：
，
解得，
，
与的函数关系式为；
设销售利润为元，


，
，抛物线开口向下，
当时，，
答：每件售价元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据当时，，当时，，用待定系数法求函数解析式即可；
根据“利润售价成本销售量”列出函数解析，利用二次函数图象的性质进行解答．
本题主要考查二次函数的实际应用．数学建模题，借助二次函数以及不等式解决实际问题．
 

24.【答案】解：设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
；
由知：，
，，
，
∽，
，
，
，
当时，与重叠部分的面积为的面积，
，
，，
；
当时，
设与交与点，如图，

，，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
综上，关于的函数解析式为：． 

【解析】设，则，，利用勾股定理解答即可得出结论；
利用分类讨论的方法解答：当时，与重叠部分的面积为的面积，利用三角形的面积公式解答即可；当时，设与交与点，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用解答即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
 

25.【答案】解：，理由如下：
由旋转的性质得：，
，
，
  


，
；
证明：过点作交于点，过点作交于点，
，，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
是等腰三角形，
，
；
解：过点作交于点，过点作交于点，
由知，≌，
，，
，
设，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先求出，再由，即可求解；
过点作交于点，过点作交于点，先证明≌，再由直角三角形中的角所对的边是斜边的一半得到，则可得，从而知道是等腰三角形，再求解即可；
过点作交于点，过点作交于点，由知，≌，设，，求出，再由题意推导出，由，求出，根据勾股定理求出，即可求，最后求出即可．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
；
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或，
或；
过点作交延长线于点，
，，
，
令，则，
解得或，
，
，，
，，，
，
，，
解得，，
，
作的垂直平分线与交于点，连接，则，
，
，
在中，，
解得，
，
，
，
，
过点作轴交于点，
设，
，
解得舍去或或，
或 

【解析】求出、点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交于点，设，则，则，求出的值即可求点坐标；
过点作交延长线于点，则，分别由，，求出，，，作的垂直平分线与交于点，连接，则，可得，在中，，求得，，即可得，再由已知得到，过点作轴交于点，设，由，求出的值即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，构造等腰三角形，利用三角形函数求出是解题的关键．