上海市华东模范中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）下列图形中一定相似的是（　　）

A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 

C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似

2．（4分）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，则是∠B的（　　）

A．正切 B．余切 C．正弦 D．余弦

3．（4分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则S△ADE：S△ABC为（　　）

A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2

4．（4分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定∥（　　）

A．∥，∥ B．＝2，＝ C．＝﹣5 D．||＝||

5．（4分）如图，已知D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．（4分）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 　   　千米．

8．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝　   　．（保留根号）

9．（4分）计算：2（﹣）﹣＝　   　．

10．（4分）如图，如果，那么AD∥BE∥CF，这个命题是　   　命题（填“真”或“假”）．

11．（4分）若（x，y，z均不为0），则的值为 　   　．

12．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，那么GA＝　   　．

13．（4分）如果两个相似三角形的面积的比等于16：9，那么它们的对应边上的高的比等于 　   　．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，O是边AB的中点，过点O的直线l将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线l共有　   　条．

15．（4分）在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣cotB）2＝0，则△ABC的形状是　   　．

16．（4分）如图，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，那么BD＝　   　．

17．（4分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，BC＝，cos∠ACD＝，则CD＝　   　．

18．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，那么△ABB'与△ACC'的周长之比为 　   　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）sin60°•（cos245°）+

20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，且EC＝AB，AC与BE交于点F．

（1）若＝，＝，请用，来表示、；

（2）请直接在图中画出在，方向上的分向量．

21．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．

求证：．

22．（10分）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC，

（1）求证：△APC∽△ACB；

（2）若AP＝2，PC＝4，S△ABC＝12，求S△APC．

23．（12分）已知点A（1，0）和点B（5，0），点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．

（1）求直线l的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点．联结AP、BP，若线段CP是线段CA、CB的比例中项．

①求证：△CPA∽△CBP；

②求tan∠CPA的值．

24．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE＝∠ACD，联结CE．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；

（2）求证：AC2＝AD•AE．

25．（14分）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）设CD＝x，tan∠BAE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．

2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）下列图形中一定相似的是（　　）

A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 

C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似

【分析】根据相似图形的定义一一判断．

【解答】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似．

故选：D．

【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．

2．（4分）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，则是∠B的（　　）

A．正切 B．余切 C．正弦 D．余弦

【分析】根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答．

【解答】解：如图，tanB＝．

故选：A．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．（4分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则S△ADE：S△ABC为（　　）

A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2

【分析】由DE∥BC，根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．

【解答】解：∵AD：DB＝3：2，

∴AD：AB＝3：5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝（）2＝9：25．

故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．

4．（4分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定∥（　　）

A．∥，∥ B．＝2，＝ C．＝﹣5 D．||＝||

【分析】根据平面向量的性质即可判断．

【解答】解：∵∥，，

∴∥，

故A能判定∥，不符合题意；

∵＝2，＝，

∴与方向相同，

∴∥，

故B能判定∥，不符合题意；

∵＝﹣5，

∴与方向相反，

∴∥，

故C能判定∥，不符合题意；

∵||＝||不能确定与的方向，

∴不能判定向量与向量平行，

故D不能判定∥，符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了平面向量，掌握向量平行的判定是解题关键．

5．（4分）如图，已知D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得B正确．

【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，

∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，

∴＝，故A错误；

＝＝，故B正确；

＝，＝，故C错误；

＝＝，故D错误；

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．

6．（4分）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．

【解答】解：观察可以发现AC＝，BC＝2，AB＝，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，

第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，

第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，

第4个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，

∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．

故选：B．

【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 　34　千米．

【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．

【解答】解：根据题意，3.4÷＝3400000（厘米）＝34（千米）．

即实际距离是34千米．

故答案为：34．

【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．

8．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝　﹣1　．（保留根号）

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．

【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP＝AB＝×2＝﹣1．

故答案为﹣1．

【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．

9．（4分）计算：2（﹣）﹣＝　﹣2　．

【分析】先去括号，然后合并同类项．

【解答】解：2（﹣）﹣

＝2﹣2﹣

＝（2﹣）﹣2

＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样适用于平面向量的计算过程中．

10．（4分）如图，如果，那么AD∥BE∥CF，这个命题是　假　命题（填“真”或“假”）．

【分析】当B是AC的中点，E是DF的中点时比例成立但不一定平行，由此得出是假命题．

【解答】解：当B是AC的中点，E是DF的中点时比例成立但不一定平行，

则这是假命题；

故答案为：假．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案．

11．（4分）若（x，y，z均不为0），则的值为 　1　．

【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+2•﹣，再代入求值．

【解答】解：已知（x，y，z均不为0），由比例的性质得：

＝＝，

＝，

则＝+2•﹣＝+﹣1＝1，

故答案为：1．

【点评】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算．

12．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，那么GA＝　2　．

【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长．

【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，

∴AD⊥BC，CD＝BC＝×8＝4，

∴AD＝＝＝3，

∴GA＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一．此题难度不大，属于基础题．

13．（4分）如果两个相似三角形的面积的比等于16：9，那么它们的对应边上的高的比等于 　　．

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．

【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为16：9，

∴相似比是4：3，

又∵相似三角形对应高的比等于相似比，

∴对应高线的比为 4：3，即．

故答案为：．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，O是边AB的中点，过点O的直线l将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线l共有　3　条．

【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．

【解答】解：∵三角形ABC是直角三角形，

∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；

①当L∥BC时，可得三角形相似；

②当L∥AC时，亦可得三角形相似；

③当L⊥AB时，三角形也相似，

故满足题中的直线L共有3条．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定问题，应熟练掌握．

15．（4分）在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣cotB）2＝0，则△ABC的形状是　钝角三角形　．

【分析】先根据非负数的性质求出cosA及cotB的度数，再根据特殊角的三角函数值得出∠A及∠B的度数，进而可判断出△ABC的形状．

【解答】解：∵在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣cotB）2＝0，

∴cosA＝，cotB＝1，

∴∠A＝30°，∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，

∴△ABC是钝角三角形．

故答案为：钝角三角形．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

16．（4分）如图，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，那么BD＝　cm或cm　．

【分析】由△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，可求得AB的长，然后分别从△ABC∽△ADB或△ABC∽△BDA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，

∴AB＝＝＝3（cm），

若△ABC∽△ADB，则＝，

即＝，

解得：BD＝（cm）．

若△ABC∽△BDA，则＝，

即＝，

解得：BD＝（cm）．

综上所述．BD的长为：cm或cm．

【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

17．（4分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，BC＝，cos∠ACD＝，则CD＝　3　．

【分析】易得CD＝AD，那么∠A＝∠ACD，则可得AC与AB之比为2：3，利用勾股定理可得BC的份数，进而可得BA的长，除以2即为CD的长．

【解答】解：

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，

∴CD＝AB＝AD，

∴∠A＝∠ACD，

∴cos∠A＝cos∠ACD＝，

设AC为2x，则AB＝3x，

∴BC＝x，

∵BC＝，

∴x＝2，

∴AB＝3x＝6，

∴CD＝AB＝3，

故答案为3．

【点评】考查解直角三角形的知识；突破点是得到∠A的余弦值；用到的知识点为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

18．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，那么△ABB'与△ACC'的周长之比为 　3：4　．

【分析】旋转的性质：对应点与旋转中心的连线长度相等，夹角为旋转角，旋转角相等．可知△BAB′与△CAC′是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题．

【解答】解：由旋转的性质可知，

AB＝AB′，AC＝AC′，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，

所以，△BAB′∽△CAC′，相似比AB：AC＝3：4，

根据相似三角形的周长比等于相似比可知，

△ABB’与△ACC’的周长之比为3：4，

故答案为：3：4．

【点评】本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）sin60°•（cos245°）+

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．

【解答】解：原式＝×（）2+

＝×+

＝+

＝．

【点评】此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，且EC＝AB，AC与BE交于点F．

（1）若＝，＝，请用，来表示、；

（2）请直接在图中画出在，方向上的分向量．

【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；

（2）利用平行四边形法则画出图形即可．

【解答】解：（1）∵CD∥AB，EC＝AB，

∴＝，

∵E是CD的中点，

∴＝2＝，

∵EC∥AB，

∴＝＝，

∴AF＝AC，

∵＝+＝+，

∴＝+；

（2）过点C作CT∥AD交AB于点T，，即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．

21．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．

求证：．

【分析】由DE∥BC，将问题分解为DF∥BM，FE∥MC，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可．

【解答】证明：∵DE∥BC，

∴＝，＝

∴＝，

∴＝．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理．关键是利用中间比过渡，得出新的比例．

22．（10分）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC，

（1）求证：△APC∽△ACB；

（2）若AP＝2，PC＝4，S△ABC＝12，求S△APC．

【分析】（1）证明∠B＝∠ACP，结合∠A＝∠A，即可解决问题．

（2）由△APC∽△ACB，得到，利用AP＝2，PC＝4，AB＝6，即可解决问题．

【解答】解：（1）∵PB＝PC，

∴∠B＝∠PCB；

∵PC平分∠ACB，

∴∠ACP＝∠PCB，∠B＝∠ACP，

∵∠A＝∠A，

∴△APC∽△ACB（AA）．

（2）∵△APC∽△ACB，

∴，

∵AP＝2，PC＝4，AB＝6，

∴AC＝．

∵△APC∽△ACB，

∴＝，

S△ABC＝3S△ACP，

∴S△ACP＝．

【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．

23．（12分）已知点A（1，0）和点B（5，0），点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．

（1）求直线l的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点．联结AP、BP，若线段CP是线段CA、CB的比例中项．

①求证：△CPA∽△CBP；

②求tan∠CPA的值．

【分析】（1）根据A（1，0），B（5，0），求得OA＝1，AB＝4，得到C（﹣3，0）．设直线l的表达式为y＝kx+b，解方程组即可得到答案；

（2）①根据线段CP是线段CA、CB的比例中项，得到＝，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

②过P作PH⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠DCO＝45°，求得∠PCH＝45°，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∵A（1，0），B（5，0），

∴OA＝1，AB＝4，

∵AC＝AB且点C在点A的左侧，

∴AC＝4，

∴C（﹣3，0）．

设直线l的表达式为y＝kx+b，

∵C（﹣3，0），D（0，3）在直线上，

∴，

解得：，

∴直线l的表达式为y＝x+3；

（2）①∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，

∴＝，

又∵∠PCB是公共角，

∴△CPA∽△CBP；

②∵＝，CA＝4，CP＝8，

∴CP＝4，

∵△CPA∽△CBP，

∴∠CPA＝∠CBP，过P作PH⊥x轴于H，

∵OC＝OD＝3，∠DOC＝90°，

∴∠DCO＝45°，

∴∠PCH＝45°，

∴PH＝CH＝CPsin45°＝4，

∴H（﹣7，0），OH＝7，BH＝12，

∴P（﹣7，﹣4），

在Rt△BHP中，tan∠HBP＝＝，

∴tan∠CPA＝．

【点评】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得△CPA∽△CBP是解题的关键．

24．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE＝∠ACD，联结CE．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；

（2）求证：AC2＝AD•AE．

【分析】（1）由等腰梯形的性质得出∠ADC＝∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得出∠ACD＝∠BDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE＝∠CBD，证出BD∥CE，即可得出结论；

（2）证出CE＝AC，证明△EAC∽△EBC，得出对应边成比例，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝DC，

∴∠ADC＝∠BCD，

在△ADC和△BCD中，

，

∴△ADC≌△BCD（SAS），

∴∠ACD＝∠BDC，

∵BC＝DC，

∴∠CBD＝∠BDC，

∴∠CBD＝∠ACD，

∵∠BCE＝∠ACD，

∴∠BCE＝∠CBD，

∴BD∥CE，

又∵DC∥AB，

∴四边形DBEC是平行四边形；

（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形，

∴∠E＝∠BDC，

∵DC∥AB，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠BCE＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠BCE＝∠E，

∴CE＝AC，

又∵∠B＝∠B，

∴△EAC∽△EBC，

∴，

即，

∴AC2＝AD•AE．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．

25．（14分）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）设CD＝x，tan∠BAE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．

【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明△ADE∽△ACB；

（2）如答图1所示，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形；分别求出CF、DF、AF的长度，然后利用tan∠BAE＝tan∠CAD求解；

（3）首先确定△COD∽△BEA，然后证明AE为角平分线；如答图3，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出CD的长度．

【解答】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝45°，

∴∠CAD＝∠BAE；

∵CP∥AB，∴∠ACD＝∠CAE＝∠B＝45°．

∴△ACD∽△ABE，

∴，即，

又∵∠DAE＝∠CAB＝45°，

∴△ADE∽△ACB．

（2）解：∵等腰直角△ABC中，斜边AB的长为4，

∴AC＝BC＝．

如答图1，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形，

∴DF＝CF＝CD＝x，

∴AF＝AC﹣CF＝﹣x，

∴tan∠CAD＝＝＝．

由（1）知，∠BAE＝∠CAD，∴tan∠BAE＝tan∠CAD，

∴y＝，定义域0＜x＜2．

（3）解：在△COD与△BEA中，∠DCO＝∠B＝45°，∠DOC与∠AEB均为钝角，

∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA，∴∠1＝∠2．

∵∠AEC＝∠AED+∠3＝45°+∠3，∠AEC＝∠B+∠2＝45°+∠2，

∴∠3＝∠2，

∴∠1＝∠2＝∠3，∴CE＝CD．

∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝135°，

∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠DCE）＝22.5°，

∴∠2＝∠CAB，即AE为角平分线．

如答图2，过点E作EG⊥AB于点G，则EG＝CE，且△BEG为等腰直角三角形．

∴EG＝BG＝CE＝CD，BE＝EG＝CD．

∴BC＝CE+BE＝CD+CD＝2，

∴CD＝4﹣2．

【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．