2022-2023学年山东省烟台市龙口市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市龙口市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面是青岛、济南、郑州、太原四个城市的地铁图标，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列说法正确的是(    )

A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个全等图形形状一定相同
C. 两个周长相等的图形一定是全等图形 D. 两个正三角形一定是全等图形

4. 如图，在中，，点在上，，垂足为，则的边上的高是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为和，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，要测池塘两端，的距离，小明先在地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，发现那么判定和全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 用尺规作图如图所示，首先以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再是分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，最后作射线下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿、折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是等边三角形，为中线，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知三角形的两边长分别为和，设第三边长为，若为整数，则适合的值为______写出一个即可
12. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
    作直线交于点，连接．
    若，，则______．

13. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则______

14. 将一张边长为的正方形纸片经过折叠、打开、画线得到如图所示一副七巧板，再将图沿实线分割，拼成如图所示一个“家”的图形，该图形中的小正方形阴影部分的面积为______．

15. 一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别，，，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短路程为______．

16. 如图，中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在中，点为边上任意一点，过点作，交于点是等腰三角形吗？说说你的理由．

18. 本小题分
    如图，在中，是角平分线，是边上的高，，求的度数．

19. 本小题分
    尺规作图：已知线段和作一个，使，，．
    要求：不写作法，保留作图痕迹．

20. 本小题分
    如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，已知旗杆原长米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
     
21. 本小题分
    如图，与中，与交于点，且，．
    与相等吗？请说明理由；
    若，求的度数．

22. 本小题分
    如图，在中，，，，平分，，垂足为，求的周长．

23. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    在直线上找一点，使得的周长最小；
    求的面积．

24. 本小题分
    如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为，长方形的另一边是有一辆厢式小货车，高米，宽米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．

25. 本小题分
    如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
    连接、，交于点，则在、运动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
    求何时是直角三角形；
    如图，若点、在运动到终点后继续在射线、上向前运动，直线、交于点，请直接写出的度数．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形定义进行解答．
此题主要考查了轴对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据全等图形的定义进行判断即可．
本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：，
，
的边上的高是，
故选：．
本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为以两个直角边为边长的正方形面积为，，
则边长为和，
所以斜边长的平方，
正方形的面积斜边长的平方，
故正方形的面积为，
故选：．
根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的两直角边，根据勾股定理可以计算斜边，即正方形的边长，根据边长可以计算的面积．
本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中根据勾股定理求斜边长的平方是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
在和中，
，
≌．
故选：．
由题意知，，由于，根据“”即可证明≌．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由基本作图方法可得：，，
在和中，
，
≌，
，，故选项B，，D正确，不合题意；
无法得出，
故选项A错误，符合题意．
故选：．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
由折叠得：，，
．
．
故选：．
利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定义求出角的度数．
本题考查了折叠的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

9.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，为中线，，
，，，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质、角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得、的长，从而可以得到的长．
本题考查含度角的直角三角形、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
由折叠的性质得：，，，
设，则，
在中，，即
解得
在中，，即
所以．
故选：．
由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理即可求出的长．
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

11.【答案】或或 

【解析】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
为整数，
或或，
故答案为：或或．
首先根据三角形的三边关系定理确定出的取值范围，再找出符合条件的偶数即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：
垂直平分，
．
．
，，
．
，
，．

故答案为：
根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出和即可．
本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
在和中，
≌，
，
，
．
故答案为：．
首先证明≌，利用全等三角形的性质可得，进而可得答案．
此题主要考查了全等三角形的判定及性质，关键是掌握全等图形的判定方法和性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：图的正方形的边长为，
正方形对角线长为，
阴影小正方形的边长为，

故答案为：．
由图的正方形的边长为，可求正方形的对角线长，进而得出小正方形的边长，故可得出结论．
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知七巧板中三角形、四边形各边的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：

如图所示：
，
，
如图所示：
，
．
，
爬行的最短路程是，
故答案为：．
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：中，，，
，
如图，有三种情形：

当时，．
当时，．
当时，，
故答案为：或或．
分三种情形分别求解即可．
本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：是等腰三角形，
理由：，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】利用等腰三角形的性质可得，利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
是角平分线，，
．
，是的外角，
．
，
，
． 

【解析】先根据角平分线的性质求出的度数，再由得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求作的三角形．
 

【解析】先作，在角的两边分别截取，，然后连接即可．
本题考查了尺规作图作三角形，熟练掌握作图方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：设旗杆在离底部米的位置断裂，在给定图形上标上字母，如图所示．

，，
．
在中，，，，
，即，
解得：．
故旗杆在离底部米的位置断裂． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于的方程．本题属于基础题，难度不大．
设旗杆在离底部米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于的方程，解方程求出的值，此题得解．
 

21.【答案】解：，理由如下：
在和中，
，
≌，
；
由知，，
，
，，
，
． 

【解析】证明≌，即可得出结论；
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，因为，，，
所以，，
所以，
所以是直角三角形，且．
因为平分，，
所以，
所以．
在和中，
，
≌，
所以，
所以，
所以的周长． 

【解析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用角平分线的性质得到，那么，进而求得的周长．
本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求；
的面积． 

【解析】根据轴对称的性质即可画出；
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可使得的周长最小；
根据网格即可求的面积．
本题考查了作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，准确找到点．
 

24.【答案】解：小货车能通过此桥洞，
理由：设半圆的圆心为，米．
过点作直径的垂线，交半圆于点，交长方形另一边于点，
在中，由勾股定理可得：，
即．
所以米，
所以米．
由于米米，
所以小货车能通过此桥洞． 

【解析】设半圆的圆心为，于是得到米过点作直径的垂线，交半圆于点，交长方形另一边于点，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
 

25.【答案】解：不变．
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
，
在与中，
，
≌，
，
；
设时间为秒，则厘米，厘米，
当时，
，
，得，
；
当时，
，
，得，
；
当第秒或第秒时，为直角三角形．
在等边三角形中，，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，由外角的性质可求；
分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
由“”可证≌，可得，由三角形内角和定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．