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2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

方程有实数根的条件是( )

A. B. C. D. 为任何实数

如图，点、分别在的边、的延长线上，且，已知，，，则的长为( )

A.
B.
C.
D.

用配方法解方程时，配方后正确的是( )

A. B. C. D.

在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为( )

A. B. C. D.

如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的坐标为，则点的坐标为( )

A.
B.
C.
D.

如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为( )

A. B. C. D. 或

下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是( )

A. B.
C. D.

若直角三角形的两边长分别是方程：的两根，则该直角三角形的面积是( )

A. B. C. 或 D. 或

如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，，则折痕的长为( )

A. B. C. D.

如图，四边形是平行四边形，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，连接，若，点为的中点，，则的值为( )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

已知关于的方程的一个根是，则______．
袋中有个小球，除颜色外完全相同，其中个红球，标号分别为、、，个绿球，标号分别为、，若从袋中任意摸出个小球，则这个小球的标号之和不小于的概率为______．
制作一块长方形广告牌的成本是元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是______元．
如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为______．
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，，分别是线段，上的点，将沿折叠后，点恰好落在轴上点处，若与相似，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分
解方程：
；
．
本小题分
已知．
求的值；
若，求，，的值．
本小题分
如图，在四边形中，，，点在上，．
求证：∽；
若，，，求的面积．

本小题分
已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度．
本小题分
如图，在和中，，，、交于点．
求证：≌；
作，，交于点，四边形是什么四边形？请证明你的结论．

本小题分
某水果批发商场经销一种高档水果，进价元每千克，如果每千克元销售，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销售量相应减少千克．
若以每千克元的单价出售，求每天的利润为多少元；
现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
本小题分
端午节是我国的传统节日，某食品厂为了解市民对去年销量较好的豆沙粽子、椰蓉粽子、花生粽子，红枣粽子分别用、、、表示这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
本次参加抽样调查的居民有多少人？
将两幅统计图补充完整；
小明喜欢吃豆沙粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，小明从中任意选出两个，求他同时选中豆沙粽子和红枣粽子的概率用列表或画树状图的方法求解．
本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
求经过几秒，的面积等于？
的面积能否等于？请说明理由．
求经过多少秒，与相似？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：方程有实数根，
，
；
故选A．
根据题意得出，再进行整理即可．
此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出．

2.【答案】

【解析】解：，
，即，解得，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例的性质求出，然后计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

3.【答案】

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

4.【答案】

【解析】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

5.【答案】

【解析】解：如图所示，作轴于，轴于，则，
，
的坐标为，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故选：．
作轴于，轴于，先证，再证明≌，得出对应边相等，，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明≌是解决问题的关键．

6.【答案】

【解析】解：，，
，
，
分两种情况：
当时，
为的中点，
，为的中点，，
；
当时，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述，的值为或，
故选：．
分或两种情形，分别利用含角的直角三角形的性质解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
：，，
，
，
，
，
≌；
：为等腰三角形，则不是等腰三角形，所以不相似；
：中，而中，对应角不相等，所以不相似；
：，，
，所以不相似．
故选：．
由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．

8.【答案】

【解析】解：，
或．
当长是的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
当长是的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是．
故选：．
先解出方程的两个根为和，再分长是的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出、是解题的关键．
由折叠的性质可知，、、、，结合即可得出，进而可得出为等边三角形，在中，通过解含度角的直角三角形及勾股定理即可得出、，再由结合矩形面积为，即可求出的长度，根据即可求出结论．
【解答】
解：由折叠的性质可知，，，，．
，
．
，，
，
为等边三角形，
．
，，
．
在中，，
，
．
，
．
矩形的面积为，
，
，．
故选C．

10.【答案】

【解析】解：连接，

四边形是平行四边形，
；
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
；
，
，
；
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形，
，
是的中点，，
，
为等边三角形，
，；
在中，，
又，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知；然后由全等三角形的判定定理推知≌；最后根据全等三角形的对应边相等知，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接交于点，根据推知平行四边形是菱形，根据菱形的邻边相等知；然后结合已知条件证得≌，所以，从而证得是正三角形；最后在中，求得，利用等量代换求解即可．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱是菱形是解题的难点．

11.【答案】

【解析】解：关于的方程的一个根是，
当时，由原方程，得
，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程解的定义，将代入原方程，然后解关于的一元一次方程即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．

12.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中个小球的标号之和不小于的结果数为，
所以个小球的标号之和不小于的概率．
故答案为：．
先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出个小球的标号之和不小于的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．

13.【答案】

【解析】解：将此广告牌的四边都扩大为原来的倍，
面积扩大为原来的倍，
扩大后长方形广告牌的成本为：元．
故答案为：．
直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
本题考查相似多边形的性质，正确记忆相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，点在对角线上，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在中，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的对角线平分一组对角可得，证明≌，得，由三角形的内角和定理可得，最后由等腰三角形的性质和平角的定义可得结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明≌．

15.【答案】或

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，，
若∽，
则，
设，
则，，
即，
解得：，
；
若∽，
则，
设，则，则，
解得：，
可得：．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
由点的坐标为，点的坐标为，可得，，，然后分别从∽与∽去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可取得答案．
此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解．

16.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，．

【解析】移项，然后利用提取公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
整理成，然后利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

17.【答案】解：设为实数．
，，．
．
由得，，，．
，
．
．
．
或．
当，则，，；
当，则，，．

【解析】根据比例的性质解决此题．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．

18.【答案】解：，，
，，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，，，
，
，
，
．

【解析】首先得出，再根据已知得到，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；
利用相似三角形的性质得出的长，由代数得出答案即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．

19.【答案】解：根据题意，得：
当：：时，解得：；
当：：时，解得：；
当：：时，解得：；
则所添线段的长度为或或．

【解析】根据四条线段成比例可得：：、：：、：：，分别求出即可得．
本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解．

20.【答案】解：如图所示

在和中，

≌，
，
，
在和中，
，
≌
四边形是菱形，其理由如下：
，
，
又，
，
在和中，
，
≌
，，
又，
，
四边形是菱形．

【解析】由角角边证明≌，其性质得，再根据角角边证明≌；
由平行线的性质得，，角边角证明≌，其性质得，，再根据菱形的判定证明四边形是菱形．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质．

21.【答案】解：根据题意，得元．
答：每天的利润为元；
设每千克涨价元，则每千克盈利元，日销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要使顾客得到实惠，
．
答：每千克应涨价元．

【解析】利用每天的总利润每千克的利润日销售量，即可求出结论；
设每千克涨价元，则每千克盈利元，日销售量为千克，根据每天盈利元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可得出每千克应涨价元．
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

22.【答案】解：人，
所以本次参加抽样调查的居民有人；

喜欢类的人数为人，
喜欢类的人数的百分比为；
喜欢类的人数的百分比为；
两幅统计图补充为：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中小明同时选中豆沙粽子和红枣粽子的结果数为，
所以小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率．

【解析】用喜欢类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出喜欢类的人数，再计算出喜欢类的人数的百分比和喜欢类的人数的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．