2021-2022学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2. 两个完全相同的长方体，按如图方式摆放，其主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，点、、均在的正方形网格的格点上，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 在两个不透明的口袋中，各自装有编号为，，的三个球，球除编号外无其他区别，则在两个口袋中各取一个球，两球上的编号的和为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在▱中，对角线，，，为的中点，为边上一动点，以的速度从点向点运动，运动时间为，连接并延长交于点，连接、，下列结论不成立的是(    )

A. 四边形为平行四边形
B. 若，则四边形为菱形
C. 若，则四边形为矩形
D. 若，则四边形为正方形

6. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点为，对称轴为直线，有下列四个结论：；；当时，随的增大而减小；，其中正确的结论个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
8. 已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是，则这个二次函数的表达式可以是______．
9. 如图，正方形，，、点分别是、边上的点，与相交于点，，点是上的中点，则的长为______．

10. 如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则点的坐标为______．

11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点、，则点的坐标为______．

12. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点为直线上一动点不与、重合，过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    计算：．
    用适当的方法解一元二次方程：．
14. 本小题分
    已知，且，求的值．
15. 本小题分
    已知关于的一元二次方程的两根为，．
    若，分别为矩形的两条对角线的长，求的值；
    若，分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为，求的值；
16. 本小题分
    如图，在▱中，，，点在的延长线上，与交于点，且，求和的长．

17. 本小题分
    在如图中，、两点在反比例函数的图象上，过点，是等边三角形，点为的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
    在图中，在轴上画出点，使四边形为矩形；
    在图中，画出菱形．
     
18. 本小题分
    年月以来，教育部相继出台文件，对加强中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质“五项管理”作出部署．抚州市某中学积极响应教育部的号召，对本校“五项管理”落实情况进行抽查，各年级分别抽查一项不同的管理项目．
    若先抽查九年级，则选到“作业”这项管理检查的概率是______；
    若先抽查九年级，恰好选到“作业”，用画树状图或列表的方法求七年级和八年级选到“手机”和“体质”两项管理的概率．
19. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点和，与轴交于，两点点在点的左侧．
    求二次函数的表达式及对称轴；
    若点在此抛物线上，且在轴上方，求的最大面积．
20. 本小题分
    如图是一种建筑行业用的小型吊机实如图，图，图是吊机的示意图，支架，吊杆，，．
    
    如图，若，求点到直线的距离；
    如图，当液压杆伸长时，此时点比中的点到直线的距离升高了，求的度数．参考数据：，，
21. 本小题分
    如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是．
    若馨望家地的面积比馨雨家的多了，则馨望家地的面积是______；
    在的条件下，求田埂的宽度；
    若馨雨家今年收获了斤西瓜，种西瓜的成本是元斤，若以元斤进行销售，每可销售斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价元，每天就可多销售斤西瓜，为了每天获利元，且售价不得低于元斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？
     
22. 本小题分
    如图，反比例函数的图象上的点与反比例函数的图象上的点关于原点对应经过原点，且，我们称反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”，其中为位似中心．
    反比例函数______比例函数的“位似反比例函数”；填“是”或“不是”
    若反比例函数的图象过点．
    则的值为______；
    若在反比例函数的图象上，对应点在“位似反比例函数”的图象上，求证：；
    在的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标．

23. 本小题分
    问题探究：
    在图和图中，，于点．
    如图，若点是的中点，，，则______，______，______；
    如图，：：，，，则______，______，______；
    请你观察中的计算结果，猜想，，三者之间的关系．
    请利用图证明你发现的关系式；
    应用结论：
    如图，在矩形中，，两点均在边上，交于点，：：，，求证：；
    拓展应用：
    如图，已知为的中线，交于点，交于点，，，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故选：．
方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，根据所学知识可得：其主视图是，
故选：．
根据主视图的定义即可得到结果．
此题考查了三视图主视图、正确记忆三视图的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为．

由格点三角形可知：，
．


，


．
，
．


．


．
故选：．
过点作，垂足为根据格点和勾股定理先求出、，利用三角形的面积求出、，最后求出的正切．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中两球上的编号的和为偶数的有种，
所以两球上的编号的和为偶数的概率为，
故选：．
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，用列表法表示所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形，
故A正确；
当时，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
故B正确；
如图，作于点，则，
，，
，
，
，
当时，，
，
点与点重合，
，
四边形为矩形，
故C正确；
当时，，
，
点在点的右侧，
，
，
四边形不可能是正方形，
故D错误，
故选：．
由，得，而，即可证明≌，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，可判断A正确；
当时，，此时为的中点，可根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明，则四边形为菱形，可判断B正确；
作于点，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”可求得，当时，，点与点重合，则，所以四边形为矩形，可判断C正确；
当时，，此时点在点的右侧，则，因此四边形不可能是正方形，可判断D错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确理解且能灵活运用平行四边形及特殊的平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，正确．
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，错误．
抛物线经过，
，
，
，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断；由时可判断；由时可判断；由时可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：设另一个根为，
关于的一元二次方程的一个根为，
，
解得，
故答案为：．
设另一个根为，根据根与系数的关系可得，进一步求解即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设抛物线解析式为，
抛物线开口向下，
，
符合题意，
故答案为：答案不唯一．
由抛物线顶点为可得，由抛物线开口向下可得．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
，
点是上的中点，
．
，，
．
，
．
故答案为：．
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的性质得到，再利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴，如图所示，

设点的坐标为，由题意得
，，
是等腰直角三角形，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，，，
，
，
，即，
点在反比例函数图象上，
，即．
解得，不合题意舍去，
，，
点的坐标为．
故答案为：．
过点作轴于点，设点的坐标为，则，由是等腰直角三角形可得，，再由反比例函数的图象经过点，可得，，从而得到，然后利用反比例函数的几何意义，得到关于的方程，解之即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活把点的坐标转化为线段的长或把有关线段的长转化为点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，点的坐标为，
，
抛物线经过点、，，
，
，
，，，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据抛物线经过点、和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点的坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

12.【答案】，或 

【解析】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则的坐标为，
当时，，则的坐标为，
，，
点为直线上一动点，
设点的坐标为，
，，
当∽时，
，
则，
解得：，
则，
故点的坐标为；
当∽时，
，
则，
解得：，
则，
故点的坐标为；
若点在第二象限时，
则有：，
即，
解得：，
点坐标为：，
综上所述，点的坐标为，或
故答案为：，或
设点的坐标为，分三种情况讨论：∽；∽；当点在第二象限时，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，进行求解即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
 

13.【答案】解：

；
，
，
，
，
． 

【解析】根据特殊角的三角函数值求解即可；
根据配方法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

14.【答案】解：设，
，，，
，
，
，
，
，，，
，
的值为． 

【解析】利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 

15.【答案】解：由根与系数的关系可知，，
，分别为矩形的两条对角线的长，
，
，
，
；
由根与系数的关系可知，
，分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为，
，
，
解得：． 

【解析】利用根与系数的关系得到，，由矩形的两条对角线的长相等求得，进而由，即可求得；
利用菱形的面积等于两条对角线的长的一半建立关于的方程求得答案即可．
此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握矩形、菱形的性质是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质证明∽，可得的长，再证明∽，进而求出的长．
本题是相似三角形的性质和判定的综合运用，平行四边形的性质，本题运用三角形相似列比例式是关键．
 

17.【答案】解：如图，点为所作；
如图，菱形为所作．
 

【解析】先延长交反比例函数图象于点，再连接并延长交反比例函数图象于点，然后连接交轴于点；
与一样方法得到点，则和的延长线相交于点，则扇形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质、菱形的判定和反比例函数的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：手机、睡眠、读物、作业、体质“五项管理”，对本校“五项管理”落实情况进行抽查，各年级分别抽查一项不同的管理项目，
若先抽查九年级，则选到“作业”这项管理检查的概率是，
故答案为：；
先抽查九年级，恰好选到“作业”，
只剩下手机、睡眠、读物、体质四项管理项目，
把手机、睡眠、读物、体质分别用、、、表示，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中七年级和八年级选到“手机”和“体质”两项管理的结果有种，
七年级和八年级选到“手机”和“体质”两项管理的概率为：．
由概率公式即可得出结果；
画树状图，共有种等可能的结果，其中七年级和八年级选到“手机”和“体质”两项管理的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：把，，，，分别代入得，
，，
二次函数的表达：，
对称轴是直线：；
令得，，
，，
，，
，
设点的坐标为，

，
，
时，的最大面积是． 

【解析】把，，，，分别代入，求出、，从而求出解析式，再根据求出对称轴；
设点的坐标为，把的面积用表示，再根据二次函数的性质求出最大面积．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式，面积的表示是解题关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
答：点到直线的距离是；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
在中，，
，
． 

【解析】要求点到直线的距离，所以过点作，垂足为，再过点作，垂足为，这样把分成与的和，利用已知易求，然后放在中即可解答；
根据点比中的点到直线的距离升高了，想到过点作，垂足为，再过点作，垂足为，然后放在中即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：．
答：馨望家地的面积是，
故答案为：；
设田埂的宽度为，
根据题意得，
即，
解得：，舍去，
答：田埂的宽度是；
设每斤西瓜降价元，
根据题意得，
解得：，，
当时，不合题意，舍去，
即售价为元斤，
．
答：售完所有的西瓜馨雨家能赚元．
根据“馨望家地的面积比馨雨家的多了”列出式子可得出；
设田埂的宽度为，根据题意得，求解即可；
设每斤西瓜降价元，根据题意得，求解得出，求出单价，根据利润售价成本数量可解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】是   

【解析】解：设比例函数上一点的坐标为，
，过点，
点的坐标为，
，
点在反比例函数上，
即反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”，
故答案为：是；
点的坐标为，，且过点，
点的坐标为，
，
故答案为：；
证明：如下图，

在反比例函数的图象上，对应点在“位似反比例函数”的图象上，
，
，
∽，
，
即；
在轴的正半轴上存在一点，使为直角三角形，
设，
当时，如下图：

由题意知，，，
，，，
，
，
即，
解得或舍去，
；
当时，此时，
即，
解得，
；
综上所述，符合条件的点坐标为或．
根据“位似反比例函数”的定义得出结论即可；
根据点的坐标得出点的坐标，然后根据点坐标得出的值即可；
根据边的比例关系和对顶角相等得出三角形相似，根据相似得出结论即可；
设点的坐标为，分情况求出点的坐标即可．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
 

23.【答案】           

【解析】解：，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；；；
，
∽，
：：：，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；；；
解：，，三者之间的关系为：；
证明：如图，过点作交的延长线于点，

，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
；
证明：如图，连接，
 
四边形为矩形，
，，
：：，
设，则，
，，
由中的结论得可知：，
，．
，
，
解得，不合题意，舍去，
，
，
，
，
，
，
，，
；
解：如图，延长至，使，连接，

，，
≌，
，，
，
由的结论得：，
，
，，
，
，
，，
．
证明≌，可得，，进而可以解决问题；
根据，可得∽，所以：：：，结合进而可以解决问题；
观察中的计算结果，即可猜想，，三者之间的关系；
过点作交的延长线于点，证明四边形为平行四边形，然后根据勾股定理得，再等量代换即可解决问题；
连接，设，则，根据，，由中的结论得可知：，列出方程，解得，不合题意，舍去，可得，，然后根据角平分线的性质即可证明结论；
延长至，使，连接，证明≌，可得，，所以，由的结论得，求出，，根据，可得，求得，，然后根据勾股定理可得．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，解决本题的关键是运用已有的经验解决问题，