2022-2023学年河南省郑州四中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州四中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在实数，，，，，中，是无理数的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.    下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    如图，笑脸盖住的点的坐标可能为(    )

A.
B.
C.
D.

4.    已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C.  D. ：：：：

5.    下列说法：数轴上的点与实数成一一对应关系；一个数的算术平方根仍是它本身的数有三个；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无限小数都是无理数，正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.    九章算术中第七章盈不足记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出钱，则多出钱；若每人出钱，则还差钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为分，分，分，则小颖本学期的学业成绩为(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

8.    已知点的坐标为，且点到两坐标轴距离相等，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.    如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点出发以个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在处．(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，、、、，点在轴上，直线将四边形面积分成：两部分，求的长度(    )

A.
B.
C.
D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 的平方根是______．
12. 比较大小： ______ 填“”、“”或“”
13. 若方程组的解满足，则的值为______．
14. 棱长分别为，两个正方体如图放置，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是______．

15. 如图，纸片中，，，，，点在边上，以为折痕折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长是______．

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    ；
    先化简，再求值：，其中是的小数部分．
17. 本小题分
    在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点，的坐标分别为，．
    请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，并作出关于轴对称的．
    求的面积．
    已知为轴上一点，使得的面积等于，求出点的坐标．

18. 本小题分
    年新冠肺炎疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了解全校共名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
    【收集数据】甲班名学生测试成绩分别为：
    ，，，，，，，，，，，，，，．
    乙班名学生测试成绩分别为：
    ，，，，，，，，，，，，，，．
    【分析数据】

【应用数据】
根据以上信息，可以求出：______分，______分；
若规定测试成绩分及其以上为优秀，请你根据甲乙两班的测试成绩估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由．

19. 本小题分
    如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
    根据题意可知： ______填“”、“”、“”．
    若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．结果保留根号

20. 本小题分
    随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
    求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
    若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，请你帮助该公司设计购买方案；
    若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故在实数，，，，，中，无理数有，，，共个．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项运算不正确；
，
此算式无意义，
选项不正确；
，
选项的运算不正确；
，
选项的运算正确，
故选：．
利用算术平方根的意义，二次根式的性质，立方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，算术平方根的意义，立方根的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图形可得：笑脸盖住的点在第二象限，
A、在第二象限，故本选项符合题意；
B、在第一象限，故本选项不符合题意；
C、在第三象限，故本选项不符合题意；
D、在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：．
根据图形得出笑脸的位置在第二象限，进而得出答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、：：：：，，
，
不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数轴上的点与实数成一一对应关系，故正确；
一个数的算术平方根仍是它本身的数有两个，分别是和，故不正确；
任何实数不是有理数就是无理数，故正确；
两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，故不正确；
无限不循环小数都是无理数，故不正确；
所以，上列说法，正确的个数有个，
故选：．
根据实数与数轴，实数的运算，实数的分类，逐一判断即可解答．
本题考查了实数的运算，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据每人出钱，则多出钱，可得，根据每人出钱，则还差钱，可得，从而可以列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

7.【答案】 

【解析】解：她本学期的学业成绩为：
分．
故选：．
根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，且点到两坐标轴距离相等，
，
或，
解得或，
故选：．
根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，再解方程即可．
本题考查了点的坐标，是基础题，列出绝对值方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
第秒瓢虫所在位置坐标为：，
，
瓢虫所在位置坐标具有周期性，
，
第秒瓢虫在处．
故选：．
分别求出瓢虫第秒、第秒、第秒、第秒、第秒、第秒、第秒、第秒、第秒所在的位置坐标，根据其周期性，再求第秒瓢虫所在位置坐标即可．
本题考查了点的坐标，通过求前面几秒瓢虫所在的位置坐标，观察其坐标的变化发现规律，再根据其周期性求值是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：轴，与轴交于点，

根据题意可得，
，
，
，
，
，
：：：，
当：：时，
即：：，解得：，
点的坐标为，
；
：：时，
即：：，解得：，
点的坐标为，
；
综上所述，．
故选：．
用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．
本题考查了三角形的面积知识点，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根及算术平方根和平方根的知识．
先求的的值，再求的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
【解答】

解：，
的平方根是．
故答案为：．

 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
即，
，
故答案为：．
通分得出，，根据和的大小推出，即可得出答案．
本题考查了通分、二次根式的性质、实数的大小比较等知识点的应用，关键是找出巧妙的方法比较两个数的大小，注意发现比较两实数的大小的技巧性．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
得，，
，
，解得．
故答案为：．
先把方程组中的方程相减用表示出的值，再与相比较即可得出的值．
本题考查的是二元一次方程组的解，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，有两种展开方法：
方法一：，
方法二：．


故需要爬行的最短距离是．
故答案为：．
求出两种展开图的值，比较即可判断；
本题考查平面展开最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或 

【解析】解：纸片中，，，，
，
以为折痕，折叠得到，
，，
如图所示：当时，过点作，垂足为，

设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，舍去，
，
如图所示：当时，与点重合，

，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
先依据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，，接下来分为和，两种情况画出图形，设，然后依据勾股定理列出关于的方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；


，
，
，
的整数部分是，
的小数部分是，
，
当时，原式

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，零指数幂，估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作．

的面积．
设点坐标为，
的面积等于，
，
解得或，
点坐标为或． 

【解析】先根据点、点的坐标建立平面直角坐标系，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
 

18.【答案】   

【解析】解：甲班级成绩重新排列为，，，，，，，，，，，，，，，
所以甲班级成绩的中位数分，
乙班级成绩的众数分，
故答案为：、；
人，
答：估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有人；
甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班答案不唯一，合理均可．
根据众数和中位数的定义求解即可；
用总人数乘以样本中测试成绩分及其以上人数所占比例即可；
根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

19.【答案】 

【解析】解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
故答案为：；
连接，如图所示：
则点、、三点共线，
在中，由勾股定理得：米，
米，
在中，由勾股定理得：米，
由得：，
米，
小男孩需向右移动的距离为米．
由绳长始终保持不变即可求解；
由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，
由题意可得，
解得，
答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元；
设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意可得且，，
解得或或，
该公司共有三种购买方案，
方案一：购买辆型汽车，购买辆型汽车；
方案二：购买辆型汽车，购买辆型汽车；
方案三：购买辆型汽车，购买辆型汽车；
当，时，获得的利润为：元，
当，时，获得的利润为：元，
当，时，获得的利润为：元，
由上可得，最大利润为元，
购买辆型汽车，购买辆型汽车获利最大，最大值为元． 

【解析】根据辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据中的结果和该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；
根据中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润．
本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．