2022-2023学年安徽省合肥五十中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥五十中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 将抛物线向上平移个单位后所得的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点

3. 如图，在中，为上的一点，过点作交于点，过点作交于点，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，已知是边上的一点，连接以下条件中不能判定∽的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

5. 的三边长分别为，，，另有一个与它相似的三角形，其最长边为，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 的边上有、、三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，以为边作等边，交斜边于，若，则：的值(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 若：：，则：______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为______．

13. 如图，在中，，棱长为的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为______．

14. 已知为任意实数，随着的变化，抛物线的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 已知某抛物线过点，对称轴为，顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
16. 如图，中，点、分别在边、上，若，，，求的长．

17. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为的正方形，、、、、，都是格点，与相交于，与相交于，求与的比值．

18. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”．
    求双曲线上的“黎点”；
    若抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，当时，求的取值范围．
19. 对于抛物线．
    它与轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
    在下面的坐标系中利用描点法画出此抛物线；
    利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是______直接写出结果

20. 如图，在等边三角形中，、分别在、上，且，．
    求证∽；
    已知的面积为，求长．

21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在轴上，若正方形的边长为，点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点．
    
    求该反比例函数的解析式；
    当函数值时，请直接写出自变量的取值范围；
    若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．
22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度与水平距离的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为羽毛球沿水平方向运动时，达到羽毛球距离地面最大高度是
    求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；
    通过计算判断此球能否过网；
    若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．

23. 如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．
    若平分，求证：；
    找出图中与相似的三角形，并说明理由；
    若，，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
故选：．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴没有公共点．
故选：．
根据抛物线的性质由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线与轴没有公共点．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点式为，的顶点坐标是，对称轴直线，当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，故A正确；
，
，故B正确；
，，
，，故C错误；
，，
，，
，故D正确；
故选C．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
∽，故选项A正确；
，，
∽，故选项B正确；
，
，
又，
∽，故选项C正确；
，
但未说明，
不能判断∽，故选项D错误；
故选D．
根据题目中各个选项可以判断哪个选项中的说法是错误的，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是明确相似三角形的判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：方法一：设对应的边是，对应的边是，
∽，
，
，，
的周长是；
方式二：∽，
，
，
；
故选：．
方法一：设对应的边是，对应的边是，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故选：．
首先求出抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故A，选项不符合题意；
当时，
，
对称轴，
故B选项不符合题意；
当时，，
对称轴，
故C选项符合题意，
故选：．
根据，可知，可排除，选项，当时，可知对称轴，可排除选项，当时，可知对称轴，可知选项符合题意．
本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：，
同法可证∽，
，
，
：：，
：：：，
故选：．
证明∽，推出，推出，可得，推出：：，同法：：，由此可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】
解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点交于点．

是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，过点作于点交于点首先证明，再利用，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
 

11.【答案】： 

【解析】解：：：，
可设，，
：：：，
故答案为：：．
根据比例设，，再代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点．

直线与轴，轴分别交于点，，
，，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
故答案为：．
过点作轴于点求出点的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明∽，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】
解：设立方体展开图的各顶点如图所示，由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，
，，，
，，
∽，
，
在和中，

，
，
，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
设，则，
抛物线顶点在直线上，
将代入得，
将代入得，
解得，
直线经过，，
顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点所在函数解析式，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握求抛物线顶点轨迹的方法．
 

15.【答案】解：当时，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为． 

【解析】由于抛物线对称轴为直线，则顶点的横坐标为，再利用顶点在直线上可确定抛物线的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点坐标代入求出即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】解：，，
，
，，
∽，
：：，
即：：，
． 

【解析】根据线段的和差可得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：如图
，
，即，
，
，
，
∽，
．
故A与的比值为． 

【解析】如图，由，利用平行线分线段成比例可求出，则，再证明∽，然后利用相似比可得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
 

18.【答案】解：设双曲线上的“黎点”为，
则有，
，
双曲线上的“黎点”为或；

抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，
方程有且只有一个解，
即，，
，
，
，
． 

【解析】设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论．
本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：令，．
解得，，，
它与轴交点的坐标为，
化为顶点式为：
顶点为：；
故答案为：，；



关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
，
，
解得，，
 把代入，
得，
把代入，
得，
的取值范围是．
故答案为：．
令，求出抛物线与轴交点的坐标；
如图所示，把表格中的值分别代入求出对应的数值；
根据关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，得，求出取值范围，再把、分别代入，求出的值，进而求出的取值范围．
本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
 

20.【答案】证明：为正三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：如图，过点作于点，

设，则，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
解得负值舍去，
，，，
，
在中，由勾股定理可知，． 

【解析】先根据等边三角形的性质得到，，由可得到，再由，得到，则，然后根据两边及其夹角法可得到结论；
过作交于，根据平行线等分线段定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，含的直角三角形的三边关系，熟知相似三角形的判定定理是解题关键．
 

21.【答案】解：

过作轴于，则，
正方形的边长为，
，，
，
即，
所以反比例函数的解析式是；
把代入得：，
所以当函数值时，自变量的取值范围是或；
设点的纵坐标为，
正方形的边长为，
由勾股定理得：，
的面积恰好等于正方形的面积，
，
解得：，
即点的纵坐标是或，
代入得：或，
即点的坐标是或． 

【解析】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
求出点的坐标，即可求出函数解析式；
根据反比例函数的性质求出即可；
根据面积求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．
 

22.【答案】解：
依题意，函数的顶点为，
故设函数的解析式为：，
点在抛物线上
代入得，解得
则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：
由知羽毛球经过的路线对应的函数关系式，
则当时，

通过计算判断此球能过网
当时，
有
解得舍去，
则此时乙与球网的水平距离为： 

【解析】依题意，函数的顶点为，则可设函数的解析式为：，再由点在抛物线上，代入求得即可
将代入所求的函数解析式，求得即可判断
将，代入函数解析式，求得即可求乙与点的距离，从而求得乙与球网的距离．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型即可求解．
 

23.【答案】证明：如图，

在矩形中，，，，
，，
，
，
又平分，
，
，
，
；
解：与相似的三角形有，，理由如下：
，
，
，，
，
，
又，
∽，
，，
∽，
解：∽，
，
，即，
，
∽，
，
，
，
联立，可得负值舍去，
． 

【解析】根据矩形的性质和角平分线的定义，求得，从而求证；
根据相似三角形的判定进行分析判断；
利用相似三角形的性质分析求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．