2022-2023学年上海市奉贤区六校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤区六校联考九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若两个相似三角形的相似比为：，则它们面积的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

2.    如图，在中，，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    在中，点、分别在边、上，：：，那么下列条件中能够判断的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在中，，，，那么边的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为(    )

A.  B. 是和的比例中项
C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.    如果，那么______．
8.    已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是______厘米．
9.    已知与单位向量的方向相反，且长度为，那么表示为______．
10. 计算：______．
11. 计算：______．
12. 已知∽，顶点、、分别与、、对应，：：，、分别是它们的对应角平分线，则：______．
13. 如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值______．

14. 如图，已知为角平分线，，如果，，那么______．

15. 如图，已知，，是线段的中点，且，，那么______．

16. 如图，在中，是中线，是重心，，，那么______用、表示

17. 已知菱形的边长为，对角线与相交于点，，垂足为点，，那么______．

18. 如图，在梯形中，，与相交于点，如果，那么：______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：，，求代数式的值．
20. 本小题分
    如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
    如果，，，求的长；
    如果：：，，，求的长．

21. 本小题分
    如图，在和中，，．
    求证：；
    判断与是否相似？并证明．

22. 本小题分
    已知：如图，在中，，．
    求：；
    的余弦值．

23. 本小题分
    如图，在中，点、分别在边、上，，，已知，．
    用向量、分别表示向量、；
    作出向量分别在、方向上的分向量写出结论，不要求写作法．

24. 本小题分
    如图，已知在四边形中，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且．
    求证：；
    如果，求证：．

25. 本小题分
    已知：如图，在梯形中，，，，，，点在边上，且，交于点，点、分别在射线和线段上．
    
    求线段的长；
    如图，当点在线段上，且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
    如果为等腰直角三角形，求线段的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的相似比为：，
它们面积的比等于．
故选：．
根据相似三角形面积的比等于相似比进行解答即可，
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，．
故选：．
本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，，时，不能判断，
故选项A、、不符合题意，
当时，
：：，
，
，
，
∽，
，
，
故选项C可以判断，
故选：．
根据给出的条件证明∽，根据相似三角形的性质得到，证明．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，，，

则，
．
故选：．
根据余弦函数定义可以求得，将代入即可求得．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，本题中明确三角函数的定义求得是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选B．
根据题意画出图形，因为点是线段的中点，所以根据线段中点的定义解答．
本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点且，
是和的比例中项，，
，
故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，
故选：．
根据黄金分割的概念进行判断即可．
本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据合比性质直接进行解答即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为：．
根据线段比例中项的概念，可得：：，可得，故的值可求．
本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
 

9.【答案】 

【解析】解：的长度为，向量是单位向量，
，
与单位向量的方向相反，
；
故答案为：．
根据向量的表示方法可直接进行解答．
本题考查的是平面向量的知识，即长度不为的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据向量的计算法则求解即可．首先去括号，再将同一向量的系数相加减即可求得答案．
此题考查了向量的运算．题目比较简单，先去括号，再加减运算即可．
 

12.【答案】： 

【解析】解：∽，
：：：，
故答案为：：．
根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，
，
，，
，
与轴正半轴所夹的角的正弦值为：．
故答案为：．
过点作轴于点，由点的坐标得、的长，根据勾股定理求出，然后根据正弦函数的定义得结论．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理．解决本题的关键是构造直角三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
由可得，再根据题干条件，即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是线段的中点，，
，
，，
，，
，即，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定及已知可得到∽，利用相似三角形的对应边成比例即可求得的长．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是推出∽．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据三角形的重心定理，，
于是．
故．
故答案为：．
根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可．
此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：菱形对角线互相垂直，，
，
，
∽，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据菱形对角线互相垂直，和，证明∽，可得，根据和的值，利用勾股定理求出，即可求得的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形正切函数的计算，菱形对角线垂直平分的性质，本题中求证是解题的关键．
 

18.【答案】： 

【解析】解：在梯形中，，，
：：；
，
∽，
：：：：，
：：，：：，：：，
设，则，，
，
：：：．
故答案为：：．
首先根据，可得：：；然后根据∽，可得：：：：，进而可得：：，：：，：：，设，分别表达和进而可得结论．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
 

19.【答案】解：设，
则，，，
，
，
解得，
，，，
． 

【解析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更简便．
 

20.【答案】解：，
，
，，，
，
解得：；
连接，交于，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
，
∽，
，即，
解得：． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；
连接，交于，先证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，证明∽，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
又，
∽，
；
与相似，
证明：由知：∽，
，
，
又，
与相似． 

【解析】根据两个角相等的三角形相似，可以得到∽，然后即可得到；
根据∽可以得到，从而可以得到，再根据，即可得到与相似．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，
设，则，
，
，
，
，
，，


，
；
在中，，，
，
，
的余弦值为． 

【解析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；

，，
，
，
过点作交的延长线于点，，即为所求． 

【解析】利用三角形法则求解即可；
证明，利用平行四边形法则解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：，
∽，
，
，
，
；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，即． 

【解析】由，得到∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；
由易得∽，所以，可得∽，再根据相似三角形的性质可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：过作，
，
，
，
，
，
，
；
过作于，反向延长交于，则，在中，，
，
，
，，，
，，
，
，，
∽，
，
即，
解得：，
当与重合是时，
则；
当在线段上时，
，≌，
≌，
，
，
，
，
当在的延长线上时，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
由知，，，，
，
，
，
，
如图，当时，过点作交，于点，，作交的延长线于点，交直线于点．

由≌，可得，，
设，则，，，
，，
由，可得，
，，
．
综上所述，为或或． 

【解析】过作，于是得到，解直角三角形即可得到结论；
过作于，于，反向延长交于，则，解直角三角形求得，，，于是得到，，推出∽，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
当在线段上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到，列方程得到，解方程即可得到结论；当在的延长线上时，根据已知条件得到≌，由全等三角形的性质得到，由知，，，列方程即可得到结论．当时，过点作交，于点，，作交的延长线于点，交直线于点利用全等三角形的性质求解．
本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，求函数的解析式，证明≌是解题的关键．