(全国版)高考物理一轮复习课时练习必修2 第四章 第3讲 (含解析)

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知识排查
匀速圆周运动
1.定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
2．特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
3．条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
角速度、线速度、向心加速度
匀速圆周运动的向心力
1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．大小：F＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r。
3．方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
离心现象
1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2．
小题速练
1．思考判断
(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。( )
(2)做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的。( )
(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。( )
(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。( )
(5)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(多选)(2019·安徽合肥模拟)如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，它们的边缘有三个点A、B、C。关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的说法中正确的是( )
图1
A．A、B两点的线速度大小相等
B．B、C两点的角速度大小相等
C．A、C两点的周期大小相等
D．A、B两点的向心加速度大小相等
解析 自行车的链条不打滑，A点与B点的线速度大小相等，故A正确；B点与C点同一转轴转动，角速度相等，故B正确；由T＝eq \f(2πr,v)可知，A点 的半径大于B点的半径，A点的周期大于B点的周期，而B点的周期与C点的周期相等，所以A点的周期大于C点的周期，故C错误；由向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)，A点的半径大于B点的半径，可知A点的向心加速度小于B点的向心加速度，故D错误。
答案 AB
3．[人教版必修2·P25·T3改编]如图2所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是 ( )
图2
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
答案 C
圆周运动的运动学问题
1．对公式v＝ωr的进一步理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比。
2．对a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。
3．常见的三种传动方式及特点
(1)同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
(2)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)摩擦传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
1．2018年2月23日在平昌冬奥会上，我国选手武大靖在短道速滑男子500 m比赛中勇夺金牌。如图3所示为他比赛中的精彩瞬间，假定他正沿圆弧形弯道做匀速圆周运动，则他运动过程中( )
图3
A．速度恒定
B．加速度恒定
C．相等时间内转过的角度相同
D．相等时间内经过的位移相同
解析 速度、加速度、位移均为矢量，在做圆周运动时，方向是变化的，选项A、B、D均错误，C正确。
答案 C
2．(多选)(2018·江苏单科，6)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
解析 在此10 s时间内，火车运动路程s＝vt＝60×10 m＝600 m，选项A正确；火车在弯道上运动，做曲线运动，一定有加速度，选项B错误；火车匀速转过10°，约为eq \f(1,5.7) rad，角速度ω＝eq \f(θ,t)＝eq \f(1,57) rad/s，选项C错误；由v＝ωR，可得转弯半径约为3.4 km，选项D正确。
答案 AD
3．(多选) (2019·辽宁丹东质检)在如图4所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点( )
图4
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
解析 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度大小一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，B、D错误。
答案 AC
圆周运动中的动力学问题
1．向心力的来源
(1)向心力的方向沿半径指向圆心。
(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
【例1】 (多选)(2019·江苏省如东县第一次检测)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图5所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
图5
A．该弯道的半径r＝eq \f(v2,gtan θ)
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
解析 火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(v2,gtan θ)，故选项A正确；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(grtan θ)，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故选项C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故选项D错误。
答案 AB
“一、二、三、四”求解圆周运动问题
1．在草地赛车训练场，甲、乙两人(甲的质量大于乙的质量)各开一辆相同规格的四轮草地赛车，在经过同一水平弯道时，乙的车发生了侧滑而甲的车没有，如图6所示，其原因是( )
图6
A．乙和车的总质量比甲和车的小，惯性小，运动状态容易改变
B．两车转弯半径相同，而转弯时乙的车比甲的车角速度大
C．乙的车比甲的车受到地面的摩擦力小，而两车转弯速率一样
D．转弯时，乙和车比甲和车的向心加速度小
解析 两车经过同一水平弯道转弯时，转弯半径相同，可得μmg＝meq \f(veq \\al(2,m),R)，最大转弯速度vm＝eq \r(μgR)相等，乙的车发生侧滑而甲的车没有，说明v乙＞vm＞v甲成立，与质量无关，故A、C错误；由v＝Rω可知B正确；由a＝Rω2可知D错误。
答案 B
2．(多选)[人教版必修2·P25·T2拓展]如图7所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图7
A．A、B球受到的支持力之比为 eq \r(3)∶3
B．A、B球的向心力之比为eq \r(3)∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
解析 设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsin θ＝mg，FNA∶FNB＝eq \r(3)∶1，选项A错误；F＝eq \f(mg,tan θ)，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确。
答案 CD
3．某游乐场有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看作一个质点，则可简化为如图8所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动。设绳长l＝10 m，人和座椅的质量m＝60 kg，转盘静止时座椅与转轴之间的距离d＝4 m。转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°(不计空气阻力及绳重，绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳的拉力大小。
图8
解析 质点做圆周运动的半径R＝d＋lsin θ＝10 m①
求质点做匀速圆周运动的角速度及所受拉力，可以通过以下两种方法：
法一 合成法
质点受力分析如图甲，将质点所受拉力和重力合成，合力提供向心力FT＝eq \f(mg,cs θ)＝750 N②
F合＝mgtan θ＝mRω2③
结合①③两式解得ω＝eq \f(\r(3),2) rad/s。
法二 正交分解法
将质点所受拉力和重力沿水平方向和竖直方向分解，如图乙
在竖直方向上FTcs θ＝mg④
在水平方向上FTsin θ＝mRω2⑤
联立④⑤两式解得FT＝750 N，ω＝eq \f(\r(3),2) rad/s。
答案 eq \f(\r(3),2) rad/s 750 N
竖直面内圆周运动中的临界问题eq \x(模型建构)
常见模型
【例2】 如图9甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示。下列说法正确的是( )
图9
A．当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
B．小球的质量为eq \f(aR,b)
C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
解析 在最高点，若v＝0，则FN＝a＝mg；若FN＝0，则mg＝meq \f(v2,R)＝meq \f(b,R)，解得g＝eq \f(b,R)，m＝eq \f(a,b)R，故A错误，B正确；由题图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则FN＋mg＝meq \f(2b,R)，解得FN＝a＝mg，故D错误。
答案 B
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
1．如图10所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
图10
A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案 D
2．如图11，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为( )
图11
A．3mg B．4mgC．5mg D．6mg
解析 设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点：FN1－mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，
在最高点：FN2＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)
同时从最高点到最低点，根据机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＋mg·2R
联立以上三式可得FN1－FN2＝6mg，故选项D正确。
答案 D
3．如图12所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时( )
图12
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
解析 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq \f(veq \\al(2,B),2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误，由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),L)，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误。
答案 C
课时作业
(时间：40分钟)
基础巩固练
1．如图1所示，a、b是地球表面上不同纬度上的两个点，如果把地球看作是一个球体，a、b两点随地球自转做匀速圆周运动，这两个点具有大小相同的( )
图1
A．线速度 B．加速度C．角速度 D．轨道半径
答案 C
2．如图2所示是一个时钟，有关时钟的秒针、分针和时针的角速度，下列判断正确的是( )
图2
A．秒针和分针角速度大小之比为60∶1
B．分针和时针角速度大小之比为60∶1
C．时针和秒针角速度大小之比为720∶1
D．时针和秒针的角速度大小之比为1∶3 600
解析 秒针周期60 s，分针周期60×60 s，时针周期12×3 600 s，故秒针和分针周期之比为1∶60，由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度之比为60∶1，选项A正确；分针和时针的周期之比为1∶12，角速度大小之比为12∶1，B错误；时针和秒针的周期比为720∶1，其角速度大小之比为1∶720，C、D错误。
答案 A
3．(2018·11月浙江选考)如图3所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
图3
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
解析 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，但向心力是根据力的效果命名的，不是物体实际受到的力，选项A错误；当汽车转弯速度为20 m/s时，根据Fn＝meq \f(v2,R)，得所需的向心力Fn＝1×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以车也不会侧滑，所以选项B、C错误；汽车转弯达到最大静摩擦力时，向心加速度最大为an＝eq \f(Ffm,m)＝eq \f(1.4×104,2.0×103) m/s2＝7.0 m/s2，选项D正确。
答案 D
4．飞机由俯冲到拉起时，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞行员所受的重力，这种现象叫过荷。过荷过重会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的影响。g取10 m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲、拉起的速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为( )
图4
A．100 m B．111 m C．125 m D．250 m
解析 在飞机经过最低点时，对飞行员受力分析，受重力mg和支持力FN，两者的合力提供向心力，由题意知，当FN＝9mg时，圆弧轨道半径最小为Rmin。由牛顿第二定律列方程，FN－mg＝meq \f(v2,Rmin)，联立解得Rmin＝eq \f(v2,8g)＝125 m，故选项C正确。
答案 C
5．(2018·广西重点中学三模)在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图5
A．将运动员和自行车看成一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力大小为meq \f(v2,R)，做圆周运动的向心力大小也是meq \f(v2,R)
C．运动员做圆周运动的角速度为vR
D．如果运动员减速，运动员将做离心运动
解析 向心力是整体所受力的合力，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项B正确；运动员做圆周运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)，选项C错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D错误。
答案 B
6．(多选)当汽车通过圆弧形凸桥时，下列说法中正确的是( )
A．汽车在桥顶通过时，对桥的压力一定小于汽车的重力
B．汽车通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小
C．汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供
D．汽车通过桥顶时，若汽车的速度v＝eq \r(gR)(R为圆弧形桥面的半径)，则汽车对桥顶的压力为零
解析 当汽车过桥顶时，汽车做圆周运动的向心力由汽车的重力和桥顶对汽车支持力的合力提供，有mg－FN＝meq \f(v2,R)，所以汽车过桥顶时，汽车对桥的压力一定小于汽车的重力，A正确，C错误；由上式得FN＝mg－meq \f(v2,R)，当v增大时，FN减小，B错误；当FN＝0时有mg＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(gR)，D正确。
答案 AD
7．如图6所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图象正确的是( )
图6
解析 设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，选项A正确；mgtan θ＝mω2lsin θ，得h＝lcs θ＝eq \f(g,ω2)，选项B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，小球运动的角速度不同时，sin θ不同，选项C错误；小球的线速度v＝ωlsin θ，选项D错误。
答案 A
8．质量为m的杂技演员(可视为质点)抓住一端固定于O点的绳子，从距离水平安全网高度为h的A点由静止开始运动，A与O等高。运动到绳子竖直时松开绳子，落到安全网上时其与A点的水平距离也为h，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
图7
(1)松开绳子前瞬间绳子拉力的大小；
(2)O、A之间的距离。
解析 (1)设绳长为l，从A到B，由机械能守恒定律得
mgl＝eq \f(1,2)mv2
在B点，由牛顿第二定律得F－mg＝meq \f(v2,l)
联立解得松开绳子前瞬间绳子拉力大小为F＝3mg
(2)离开B点后该演员做平抛运动
h－l＝eq \f(1,2)gt2
h－l＝vt
联立解得l＝eq \f(h,5)
答案 (1)3mg (2)eq \f(h,5)
综合提能练
9．如图8甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
图8
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝meq \f(v2,R)，可得图线的函数表达式为FT＝meq \f(v2,R)－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝meq \f(a,R)－mg，得g＝eq \f(a,R)，则a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝meq \f(2a,R)－mg，可得b＝mg，B错误；eq \f(b,a)＝eq \f(m,R)，C错误；由b＝mg得m＝eq \f(b,g)，由a＝gR得R＝eq \f(a,g)，则D正确。
答案 D
10．(多选) (2018·湖南怀化)如图9所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图9
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B的向心力等于A的向心力大小
C．盘对B的摩擦力大小是B对A的摩擦力大小的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
解析 A所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，同理，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故A错误；根据Fn＝mrω2，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力大小相等，故B正确；对A、B整体分析，可得盘对B的摩擦力大小fB＝2mrω2，对A分析，可得B对A的摩擦力大小fA＝mrω2，可知盘对B的摩擦力大小是B对A摩擦力大小的2倍，故C正确；对A、B整体分析，盘与B间静摩擦力最大时有μB·2mg＝2m·rωeq \\al(2,B)，解得ωB＝eq \r(\f(μBg,r))，对A分析，A、B间静摩擦力最大时有 μAmg＝mrωeq \\al(2,A)，解得ωA＝eq \r(\f(μAg,r))，因为B先滑动，可知B先达到临界角速度，可知B的临界角速度较小，即ωB＜ωA，可得μB＜μA，故D错误。
答案 BC
11．(2019·河北保定一模)如图10所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则 ( )
图10
A．小球在管顶部时速度大小一定为eq \r(2gR)
B．小球运动到管底部时速度大小可能为eq \r(2gR)
C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg
D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg
解析 小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力。如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(2gR)，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2，可得v1＝eq \r(6gR)，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN1－mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，解得FN1＝7mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg。如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝2mgR，解得v2＝2eq \r(gR)，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN2－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，解得FN2＝5mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg，选项C正确，A、B、D错误。
答案 C
12．有一如图11所示的装置，轻绳上端系在竖直杆的顶端O点，下端P连接一个小球(小球可视为质点)，轻弹簧一端通过铰链固定在杆的A点，另一端连接在P点，整个装置可以在外部驱动下绕OA轴旋转。刚开始时，整个装置处于静止状态，弹簧处于水平方向。现在让杆从静止开始缓慢加速转动，整个过程中，绳子一直处于拉伸状态，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力。已知：eq \(OA,\s\up6(——))＝4 m，eq \(OP,\s\up6(——))＝5 m，小球质量m＝1 kg，弹簧原长l＝5 m，重力加速度g取10 m/s2。求：
图11
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)当弹簧弹力为零时，整个装置转动的角速度ω。
解析 (1)开始整个装置处于静止
甲
状态，如图甲所示，对小球进行受力分析有eq \f(F弹,\(AP,\s\up6(——)) )＝eq \f(mg,\(OA,\s\up6(——)) )
F弹＝k(l－eq \(AP,\s\up6(——)))
联立解得k＝3.75 N/m
(2)当弹簧弹力为零时，小球上移至P′位置，如图乙所示，绕eq \(OA,\s\up6(——))中点C做匀速圆周运动
乙
向心力mgtan θ＝mrω2
tan θ＝eq \f(\(CP′,\s\up6(——)),\(OC,\s\up6(——)) )
eq \(AP′,\s\up6(—))＝eq \(OP′,\s\up6(——))＝5 m，eq \(OC,\s\up6(——))＝2 m
代入数据解得ω＝eq \r(5) rad/s
答案 (1)3.75 N/m (2)eq \r(5) rad/s
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
受力
示意图
力学
方程
mg＋FN＝meq \f(v2,R)
mg±FN＝meq \f(v2,R)
临界
特征
FN＝0
mg＝meq \f(veq \\al(2,min),R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点
的条件
在最高点的速度
v≥eq \r(gR)
v≥0