(全国版)高考物理一轮复习课时练习选修3-1 第九章 第2讲 (含解析)

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知识排查
洛伦兹力、洛伦兹力的方向和大小
1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则：
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．洛伦兹力的大小
F＝qvBsin θ(θ为电荷运动方向与磁感应强度方向的夹角)
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
如下图，带电粒子在匀强磁场中，①中粒子做匀速圆周运动，②中粒子做匀速直线运动，③中粒子做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝eq \f(mv2,R)
(2)轨道半径公式：R＝eq \f(mv,qB)
(3)周期公式：T＝eq \f(2πm,qB)
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。
小题速练
1．带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是 ( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
答案 B
2．[人教版选修3－1·P98·T1改编]下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )
答案 B
3．(多选)如图1所示，在匀强磁场中，磁感应强度B1＝2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的( )
图1
A．速率将加倍
B．轨迹半径加倍
C．周期将加倍
D．做圆周运动的角速度将加倍
答案 BC
洛伦兹力的特点及应用
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面。注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
【例1】 四根等长的导线固定在正方体的四条沿x轴方向的棱上，并通以等大的电流，方向如图2所示。正方体的中心O处有一粒子源在不断地沿x轴负方向喷射电子，则电子刚被喷射出时受到的洛伦兹力方向为 ( )
图2
A．沿y轴负方向 B．沿y轴正方向
C．沿z轴正方向 D．沿z轴负方向
解析 根据右手螺旋定则，判断出四根导线在O点产生的合磁场方向沿z轴负方向，电子初速度方向沿x轴负方向，即垂直纸面向里，根据左手定则，判断出洛伦兹力方向沿y轴正方向，B正确。
答案 B
1.如图3所示，a是竖直平面P上的一点，P前有一条形磁铁垂直于P，且S极朝向a点，P后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a点。在电子经过a点的瞬间，条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向( )
图3
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
解析 条形磁铁的磁感线在a点垂直P向外，电子在条形磁铁的磁场中向右运动，由左手定则可得电子所受洛伦兹力的方向向上，A正确。
答案 A
2．(多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2，若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍
为v0，小球上升的最大高度为h4，如图4所示。不计空气阻力，则( )
图4
A．一定有h1＝h3 B．一定有h1＜h4
C．h2与h4无法比较 D．h1与h2无法比较
解析 图甲中，由竖直上抛运动的最大高度公式得h1＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)，图丙中，当加上电场时，由运动的分解可知，在竖直方向上，有veq \\al(2,0)＝2gh3得h3＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)，所以h1＝h3，故A正确；图乙中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，又由于eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgh1，所以h1＞h2，D错误；图丁中，因小球电性不知，则电场力方向不清，则h4可能大于h1，也可能小于h1，故C正确，B错误。
答案 AC
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．圆心的确定方法
方法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图5(a)；
方法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图(b)。
图5
2．半径的计算方法
方法一 由物理方法求：半径R＝eq \f(mv,qB)；
方法二 由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角求：t＝eq \f(θ,2π)T；
方法二 利用弧长求：t＝eq \f(s,v)。
4．带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图6所示)。
图6
(2)平行边界(存在临界条件，如图7所示)。
图7
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8所示)。
图8
【例2】 [圆形边界磁场](2017·全国卷Ⅱ，18)如图9，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
图9
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1 C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
解析 根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcs 60°＝eq \f(1,2)R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcs 30°＝eq \f(\r(3),2)R；根据轨道半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，v2∶v1＝r2∶r1＝eq \r(3)∶1，故选项C正确。

甲 乙
答案 C
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法
1．[直线边界磁场] (2019·广东模拟)如图10所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝eq \f(mv,qB)，正确的图是( )
图10
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则和R＝eq \f(mv,qB) 知沿x轴 负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个圆周，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D正确。
答案 D
2．[平行直线边界磁场]如图11所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角θ＝30°，磁场区域的宽度为d，则下列说法正确的是 ( )
图11
A．该粒子带正电
B．磁感应强度B＝eq \f(\r(3)mv,2dq)
C．粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝eq \f(2\r(3),3)d
D．粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(πd,3v)
解析 由左手定则可知，该粒子带负电，A错误；分别作出入射方向和出射方向的垂线，交点为圆周运动的圆心O，由几何关系可得，圆心角θ＝30°，半径R＝eq \f(d,sin 30°)＝2d，C错误；由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，得R＝eq \f(mv,qB)，将R＝2d代入可得B＝eq \f(mv,2qd)，B错误；粒子做圆周运动的周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，将B＝eq \f(mv,2qd)代入可得T＝eq \f(4πd,v)，则运动时间t＝eq \f(30°,360°)T＝eq \f(1,12)×eq \f(4πd,v)＝eq \f(πd,3v)，D正确。
答案 D
3．[三角形边界磁场] (2018·湖北武汉高三调考)如图12所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1。直角边bc的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是 ( )
图12
A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(π,Bt1)
D．粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(v2,2BL)
解析 由于t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R20)的粒子以速度v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为 ( )
A.eq \f(\r(3)mv0,3qR) B.eq \f(mv0,qR) C.eq \f(\r(3)mv0,qR) D.eq \f(3mv0,qR)
解析 带电粒子运动轨迹如图所示，由于偏转角等于圆心角，所以有tan 30°＝eq \f(R,r)，r＝eq \r(3)R，由r＝eq \f(mv0,qB)可得B＝eq \f(mv0,qr)＝eq \f(\r(3)mv0,3qR)，选项A正确。
答案 A
7．如图6所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )
图6
A.eq \f(v,Ba) eq \f(2πa,3v) B.eq \f(v,2Ba) eq \f(2πa,3v)
C.eq \f(v,2Ba) eq \f(4πa,3v) D.eq \f(v,Ba) eq \f(4πa,3v)
解析 粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有rsin θ＝a，斜向下射入时有rsin θ＋a＝r，联立求得θ＝30°，且r＝2a，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,Bq)，即粒子的比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(v,2Ba)，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t＝eq \f(T,3)＝eq \f(4πa,3v)，选项C正确。
答案 C
8．(多选)如图7所示，MN两侧均有垂直纸面向里的匀强磁场，MN左侧磁感应强度大小为B1，右侧磁感应强度大小为B2，有一质量为m、电荷量为q的正离子，自P点开始以速度v0向左垂直MN射入磁场中，当离子第二次穿过磁场边界时，与边界的交点Q位于P点正上方，PQ之间的距离为eq \f(mv0,B1q)。不计离子重力，下列说法正确的是( )
图7
A．B2＝eq \f(2,3)B1
B．B2＝eq \f(1,2)B1
C．离子从开始运动至第一次到达Q点所用时间为eq \f(5πm,2B1q)
D．离子从开始运动至第一次到达Q点所用时间为eq \f(4πm,3B1q)
解析 画出离子在匀强磁场中的运动轨迹，如图所示。由qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，在磁感应强度为B1的区域，r1＝eq \f(mv0,qB1)，在磁感应强度为B2的区域，r2＝eq \f(mv0,qB2)，根据题述，2r2－2r1＝eq \f(mv0,B1q)，联立解得B2＝eq \f(2,3)B1，选项A正确，B错误；由T＝eq \f(2πm,qB)可知，离子在左侧匀强磁场中的运动时间t1＝eq \f(πm,qB1)，离子在右侧匀强磁场中的运动时间t2＝eq \f(πm,qB2)＝eq \f(3πm,2qB1)，离子从开始运动到第一次到达Q点所用时间为t＝t1＋t2＝eq \f(πm,qB1)＋eq \f(3πm,2qB1)＝eq \f(5πm,2B1q)，选项C正确，D错误。
答案 AC
综合提能练
9．(多选) (2019·名师原创预测)如图8所示，在xOy平面内有一个半径为R、圆心位于坐标原点O的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，在圆形磁场区域的左边有一个宽度也为R且关于x轴对称的粒子源，它能连续不断地沿x轴正方向发射速度相同的带正电粒子，已知粒子的质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用。若粒子均能够从y轴上的P点离开磁场区域，则下列说法正确的是( )
图8
A．磁场方向垂直xOy平面向外
B．粒子的速度大小为eq \f(qBR,m)
C．粒子在磁场中运动的最大时间差为eq \f(πm,3qB)
D．粒子从P点离开磁场时与x轴正方向的夹角的范围为0≤θ≤eq \f(π,3)
解析 由于粒子均向上偏转，由左手定则可知，磁场方向垂直于xOy平面向里，A错误；由于粒子均能从P点离开磁场，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为R，由qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),R)，可知粒子的速度大小v0＝eq \f(qBR,m)，B正确；在磁场中运动时间最长的粒子与运动时间最短的粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的最长时间为t1，则有t1＝eq \f(T,3)＝eq \f(2πm,3qB)，同理粒子在磁场中运动的最短时间为t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，所以最大时间差为Δt＝t1－t2＝eq \f(πm,3qB)，C正确；由几何关系可知，粒子离开磁场时与x轴正方向的夹角的范围应为eq \f(π,3)≤θ≤eq \f(2π,3)，D错误。
答案 BC
10．(多选)如图9，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则( )
图9
A．磁感应强度的大小为eq \f(d,kv)
B．磁感应强度的大小为eq \f(v,kd)
C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为eq \f(7πd,6v)
D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为eq \f(πkd,6v)
解析 根据qvB＝meq \f(v2,R)和R＝d、eq \f(q,m)＝k得B＝eq \f(v,kd)，选项A错误，B正确；能打到板上的粒子中，在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图所示，由几何关系，最长时间t1＝eq \f(3,4)T，最短时间t2＝eq \f(1,6)T，T＝eq \f(2πR,v)，所以最大时间差Δt＝t1－t2＝eq \f(7,12)T＝eq \f(7πd,6v)，选项C正确，D错误。
答案 BC
11．如图10所示，在某电子设备中分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。AC、AD两块挡板垂直纸面放置，夹角为90°。一束电荷量为＋q、质量为m的相同粒子，从AD板上距离A点为L的小孔P以不同速率沿纸面方向射入磁场，速度方向与AD板之间的夹角均为60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求：
图10
(1)直接打在AD板上Q点的粒子从P到Q的运动时间；
(2)直接垂直打在AC板上的粒子运动的速率。
解析 (1)如图所示，根据已知条件画出粒子的运动轨迹，粒子打在AD板上的Q点，圆心为O1。由几何关系可知：轨迹Ⅰ对应的圆心角∠PO1Q＝120°，设粒子运动的轨迹Ⅰ的半径为R
洛伦兹力充当向心力qvB＝meq \f(v2,R)
圆周运动的周期公式T＝eq \f(2πR,v)
可得周期T＝eq \f(2πm,qB)
运动时间为t＝eq \f(T,3)
代入数据解得t＝eq \f(2πm,3qB)
(2)粒子垂直打到AC板上，运动轨迹Ⅱ如图所示，圆心为O2，∠APO2＝30°，
设粒子运动的轨迹Ⅱ的半径为r
rcs 30°＝L
洛伦兹力充当向心力qv′B＝meq \f(v′2,r)
解得v′＝eq \f(2\r(3)qBL,3m)
答案 (1)eq \f(2πm,3qB) (2)eq \f(2\r(3)qBL,3m)
12．(2019·名师原创预测)在xOy平面内有一个半径为R的圆形区域与x轴相切于O点，在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，如图11所示。发射源从坐标原点O以与x轴正方向成θ角的方向向第一象限发射一个比荷为k的带正电的粒子(不计重力)，该粒子恰好沿平行于x轴的方向进入圆形区域。
图11
(1)求粒子的速度大小v；
(2)若发射源能从坐标原点O以大小为v的速率向第一象限的不同方向射出同样的带电粒子，求带电粒子从射出到再次回到O点所用的最长时间。
解析 (1)带电粒子在磁场中运动的轨迹与区域圆相交于O、D两点，粒子从D点进入无磁场区域时速度方向平行于x轴，如图中轨迹①所示，由几何关系知OC′DC为菱形，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径与区域圆半径相等，即r＝R
由洛伦兹力提供向心力得
qvB＝meq \f(v2,r)
代入比荷k解得
v＝kBR
(2)由于带电粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝R，故以任意角θ射出的粒子均沿平行于x轴的方向进入无磁场区域。由分析可知，沿x轴正方向射出的粒子将沿圆形边界做圆周运动，回到O点所用的时间最短。沿y轴正方向射出的粒子(轨迹②)先在磁场中运动eq \f(3,4)圆周，进入圆形区域后沿直径做直线运动，再进入磁场又运动eq \f(3,4)圆周回到原点O，此运动所用时间最长。该粒子在磁场中的运动时间为
t1＝2×eq \f(3,4)T
其中周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π,kB)
该粒子在圆形区域内的运动时间
t2＝eq \f(2R,v)
最长时间t＝t1＋t2
联立解得t＝eq \f(3π＋2,kB)
答案 (1)kBR (2)eq \f(3π＋2,kB)
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向